1、目录目录学习要求学习要求1.1.理解极限的概念；熟练掌握基本初等函数在理解极限的概念；熟练掌握基本初等函数在自变量的某个过程中的极限。自变量的某个过程中的极限。2.2.掌握函数在一点极限存在的充要条件，会求掌握函数在一点极限存在的充要条件，会求分段函数在分段点的极限。分段函数在分段点的极限。1.2 极极 限限目录目录 割圆求周长割圆求周长思路：思路：利用圆的内接正多边形近似替代圆的周长利用圆的内接正多边形近似替代圆的周长 随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。问题：若正多边形边数问题：若正多边形边数n n无限增大，无限增大，两者之间的关系如何？两者之间
2、的关系如何？我国古代数学家刘徽用割圆术我国古代数学家刘徽用割圆术,初步解决了这个问题。初步解决了这个问题。1.1.求圆的周长问题求圆的周长问题一、极限概念的引入一、极限概念的引入目录目录割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽目录目录割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽目录目录割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至
3、于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之
4、弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则
5、与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录通过上面演示观察得通过上面演示观察得:若正多边形边数若正多边形边数n无限增大，则无限增大，则 正多边形周长无正多边形周长无 限接近于圆的周长。限接近于圆的周长。无限接近这种变化趋势无限接近这种变化趋势=数学上的极限数学上的极限 目录目录nan1;,1,41,31,21,1n2 2、求数列的变化趋势、求数列的变化趋势例例解：解：数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取.,1,31,21,1321naaaan 21413101.01,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大
6、时当当nann 对于对于“无限接近无限接近”这种变化趋势这种变化趋势 =数学上的极限数学上的极限通过上面演示观察得通过上面演示观察得:目录目录的极限的极限时时二二)(,.xfx,x即：即：?x1 xy10引例引例:讨论讨论 当当x+时时,函数函数 的变化趋势。的变化趋势。Oxyxy1x1x2x31y2y3y对于对于“无限接近无限接近”这种变化趋势这种变化趋势 =数学上的极限数学上的极限目录目录.)()()b,)x(f1时时的的极极限限当当为为函函数数称称，则则常常数数某某个个确确定定的的常常数数无无限限趋趋近近于于增增大大时时，函函数数取取负负值值且且绝绝对对值值无无限限有有定定义义，当当在在
7、区区间间（设设函函数数定定义义 xxfAAxfxAxfxAxfx)(,)(lim 或或记作记作的的极极限限的的定定义义时时)(.1xfx 2定定义义),a（x 正正),（3定定义义 x AxfxAxfx )(,)(lim 或或记作记作AxfxAxfx)(,)(lim 或或记作记作目录目录xyarctan,2arctanlim:xx由图形可知由图形可知.2arctanlim:xx同理可知同理可知2y 2y.时时的的极极限限、数数当当根根据据图图形形写写出出反反正正切切函函 xx那那?x例例目录目录.)(lim)(lim)(lim:1.1AxfxfAxfxxx 的的充充分分必必要要条条件件是是定定
8、理理2、当、当x时时,函数函数f(x)极限存在的充要条件极限存在的充要条件目录目录思考题：思考题：)11(limxx 的极限存在吗？的极限存在吗？1)11(lim xxxyo1.1)11(lim xx.1)11(lim xxxxf11)(目录目录xxe)1(limxxe)1(limxxe)1(lim xxelimxxelimxxe lim1、不存在不存在0不存在不存在0不存在不存在（2）（1）不存在不存在例：观察下列函数在例：观察下列函数在x趋于无穷时极限是否存在趋于无穷时极限是否存在.目录目录xycos xxcoslimxxcoslimxxcoslim 2、不存在不存在,1,1cos,之间摆
9、动之间摆动在在函数函数时时当当 xx.coslim,不存在不存在不能趋于一个确定的数不能趋于一个确定的数xx 目录目录cx limxx lim2lim xx xxsinlim xxlnlim练习：练习：c 不存在不存在目录目录的的极极限限时时四四)(,.0 xfxx x x0 时函数的极限,是描述当 x 无限接近 x0 时,函数 f(x)的变化趋势.目录目录.1 11)(,1)(:.1221时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数引引例例 xxxxfxxf解解：由图形可以看到由图形可以看到.xyo12)(xf)(xfy.21)(,1 1 xxfx时时当当 f 1(x)在点 x=1 处有定义
10、.函数 f 2(x)在点 x=1 处没有定义.11)(,1 22 xxxfx时时当当.2)1(1 xx目录目录2、xx0 时函数的极限时函数的极限注意注意:.)(0有有无无定定义义在在xxxf 我我们们不不必必考考虑虑这这类类极极限限过过程程时时在在讨讨论论 ,0 xx 目录目录2 例：观察并求出下列极限例：观察并求出下列极限)1(lim)1(20 xx 1o1-1xxsinlim)2(0=1=0目录目录0 xD 总结：若函数总结：若函数f(xf(x)是定义域为是定义域为DD的初等函数，且有限点的初等函数，且有限点，则极限，则极限)()(lim00 xfxfxx xCxxxx00limlim0
11、 x如：如：C目录目录3 3、单侧极限单侧极限(左极限和右极限左极限和右极限),)1(0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;0 xx记作记作,)2(0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近.0 xx记作记作左极限左极限右极限右极限#只有分段函数分段点需要用到单侧极限只有分段函数分段点需要用到单侧极限目录目录.)(lim)(lim)(lim 000AxfxfAxfxxxxxx 定理定理4.函数在一点极限存在的充分必要条件函数在一点极限存在的充分必要条件左、右极限相等左、右极限相等极限存在极限存在目录目录 0,10,1)(2xxxxxf设设yox1xy 112 xy解解)(lim0 xfxx)(lim
12、0 xfxx 例例0lim().xf x求求0lim()1xf x1)1(lim0 xx1)1(lim20 xx目录目录yx11 o xxx0lim:左极限左极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx证证1)1(lim0 xxxx 0lim:右极限右极限11lim0 x.0101 xxxxxxxx.lim0不存在不存在验证验证xxx例例目录目录).(lim ,00063)(0 xfxxxxfx 讨讨论论设设例例6)63(lim)(lim 00 xxfxx解解？如何求如何求分段点左右两边表达式相同不需分左右极限分段点左右两边表达式相同不需分左右极限目录目录2,
13、1,2,()2.,2,kxxf xxkxx 当当 取取何何值值时时函函数数在在处处极极限限存存在在解解222lim()lim(1)3xxf xx 1k 例例()2.f xx 函函数数在在处处极极限限存存在在22lim()lim()2xxf xkxk 22lim()lim()23xxf xf xk 目录目录01,0 1.()00lim().1,0 xxxf xxf xxx 设设讨讨论论练习练习31 02.()?2 0 xxf xkkxx 已已知知极极限限存存在在，求求 03sin10 3.(),lim().00 xxxf xf xx 设设讨讨论论目录目录01,0 1.()00lim()1,0 x
14、xxf xxf xxx 设设讨讨论论x-111-1oy11)xlim)(lim)1(00 （xxxf1)1(lim)(lim00 xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx 注意：此分段函数注意：此分段函数分分段点段点极限需考虑单侧极限需考虑单侧极限极限.)(lim0不不存存在在xfx解解目录目录213lim)(lim00 ）（xxxxf00 lim()lim2,xxf xxk （2 2k k+）解解31 02.()x=0?2 0 xxf xkkxx 已已知知在在极极限限存存在在，求求 1k()0.f xx 函函数数在在处处极极限限存存在在00lim()lim()22xxf xf xk
15、目录目录03sin10 3.(),lim().00 xxxf xf xx 设设讨讨论论00 lim()lim(3sin1)1xxf xx 解解目录目录五、极限的性质五、极限的性质.0,02 0,01 ,lim3 AyAyAy则则极极限限值值）如如果果变变量量（；则则极极限限值值）如如果果变变量量（那那么么：、保保号号性性：已已知知极极限限2 2、局部有界性、局部有界性1 1、唯一性、唯一性目录目录六、小结六、小结.1变化趋势的问题变化趋势的问题自变量变化下函数值的自变量变化下函数值的理解极限是研究函数在理解极限是研究函数在2.理解极限的七种变化过程的极限的定义理解极限的七种变化过程的极限的定义 00000 xxxxxxxxxxxxxxxnAxf)(lim目录目录3.用定理用定理1.1讨论分段函数在分段点的极限讨论分段函数在分段点的极限4.结合图形熟记基本初等函数在各点的极限结合图形熟记基本初等函数在各点的极限.；选选择择正正确确的的表表达达式式求求)(lim.10 xfxx；选选择择正正确确的的表表达达式式求求)(lim.20 xfxx.1.1.3得得出出结结论论根根据据定定理理
