1、5.4 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉1.1.波的独立性原理：波的独立性原理：几列波相遇后，仍保持它们各自原几列波相遇后，仍保持它们各自原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向）不变，并按有的特性（频率、波长、振幅、振动方向）不变，并按照原来的方向继续前进，好象在各自传播过程中没有遇照原来的方向继续前进，好象在各自传播过程中没有遇到其它波一样。到其它波一样。2.2.波的叠加原理：波的叠加原理：在相遇区域内，介质任一点的振动为在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.叠加原理是由波动方程的叠加原理是由波
2、动方程的线性线性所决定所决定:当波强度过大时当波强度过大时(如强声波、强激光等如强声波、强激光等)，介质形变与，介质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。222221tyuxy波动方程波动方程：红红、绿绿光束空间光束空间交叉相遇交叉相遇（红红仍是仍是红红、绿绿仍是仍是绿绿）（仍能分别接收不同的电台广播仍能分别接收不同的电台广播）听乐队演奏听乐队演奏空中空中无线电波无线电波很多很多现象：现象：（仍可辨出不同乐器的音色、旋律仍可辨出不同乐器的音色、旋律）若若 、分别是它的解，则分别是它的解，则 也是它的解也是它的解,即上述波动方程遵从叠加
3、原理即上述波动方程遵从叠加原理。)(21yy 1y2y1.波的干涉现象波的干涉现象频率相同、振动频率相同、振动方向相同、位相方向相同、位相相同或位相差恒相同或位相差恒定定的两列波相遇的两列波相遇时会相互叠加，时会相互叠加，使某些地方振动使某些地方振动始终加强，而使始终加强，而使另一些地方振动另一些地方振动始终减弱，在空始终减弱，在空间间形成稳定的振形成稳定的振动加强和减弱的动加强和减弱的分布，分布，这种现象这种现象称为称为波的干涉波的干涉.2.波的相干条件波的相干条件2.振动方向相同；振动方向相同；1.频率相同；频率相同；3.位相相同位相相同或或相位差恒定。相位差恒定。满足相干条件的两列满足相
4、干条件的两列波称为波称为相干波。相干波。产生相干波的波源称产生相干波的波源称为为相干波源相干波源。3.干涉加强、减弱条件干涉加强、减弱条件设有两个频率相同的波源设有两个频率相同的波源 和和 ，1S2S其振动方程为：其振动方程为：)cos(11010tAy)cos(22020tAy1r2rP1S2S两列波传播到两列波传播到 P P 点引起的振动分别为：点引起的振动分别为：)cos()2cos(111111PtArtAy)cos()2cos(222222PtArtAy在在 P 点的振动为两个同方向、同频率振动的合成。点的振动为两个同方向、同频率振动的合成。A1、A2 是是 波源波源S1、S2 在在
5、P点引起的振动的振幅。点引起的振动的振幅。下面讨论干涉现象中的强度分布。下面讨论干涉现象中的强度分布。由代数法或旋转矢量法，可得由代数法或旋转矢量法，可得P 点的合成振动为：点的合成振动为：)cos(21tAyyy)(2)(121212rrPP1r2r1S2SPcos2212221AAAAA)2cos()2cos()2sin()2sin(122111222111rArArArAPPPPAAAA22112211coscossinsintan 由于波的由于波的强度强度(平均能流密度平均能流密度)与振幅的平方成正与振幅的平方成正比，所以合振动的强度为：比，所以合振动的强度为：cos22121IIII
6、I对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合成振动，因而合成振动的强度在空间形成稳定的分布，即有的强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。干涉现象。cos2212221AAAAA)(2)(121212rrPP(1).干涉加强条件干涉加强条件21maxAAAA2121max2IIIIII)(2)(1212rr,cos2212221AAAAA1cos当当时，时，干涉相长干涉相长(2).干涉减弱条件干涉减弱条件1cos当当时，时，干涉相消干涉相消|21minAAAA2121min2IIIIII,.)3,2,1,0(,2kk即即)3,2,1,0(,)12(kk即即当两相干波源初
7、位相相同时当两相干波源初位相相同时,有：有：2)()(2)(121212rr此时此时 只决定于波程差只决定于波程差，相干条件简化为：相干条件简化为：,.3,2,1,0,21kkrr,.3,2,1,0,2)12(21kkrr干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消 初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数倍时合振幅最小，干涉相消。倍时合振幅最小，干涉相消。2,2121rr 称为称为波程差。波
8、程差。其中其中例例1：如图有两相干波源如图有两相干波源 A、B，其振幅皆为其振幅皆为5cm，频率频率皆为皆为100 Hz,波速波速 u=10 m/s，但当但当A点为波峰时，点为波峰时，B点恰点恰为波谷为波谷.求求 A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时的干涉结果时的干涉结果.解：解：um1.0100105m1Arm25201522BrABPm205m1Br2002ABABrr201P点干涉相消。点干涉相消。P点的合振幅点的合振幅021AAA设设 A 的相位较的相位较 B 超前，则超前，则BA例例2：两相干波源分别在两相干波源分别在 P、Q 两点处，初相相同，它两点处，初相相同，它们相
9、距们相距 3 /2，由，由 P、Q 发出频率为发出频率为 ，波长为，波长为 的两的两列相干波，列相干波，R 为为 PQ 连线上的一点。求：自连线上的一点。求：自P、Q 发发出的两列波在出的两列波在 R 处的位相差。两波源在处的位相差。两波源在 R 处干涉时处干涉时的合振幅。的合振幅。2/3PQR解：解：)(2PQPQrr 2323为为 的奇数倍的奇数倍，|21AAAR点为干涉相消，合振幅点为干涉相消，合振幅例例3.S1、S2 为两相干波源为两相干波源,距距P点分别为点分别为8m和和10m,在在S1与与P点之间插入另一介质点之间插入另一介质,厚度为厚度为2m.已知介质内外的波已知介质内外的波速分
10、别为速分别为u1100m/s,u2=200m/s.设波源的振动方程为设波源的振动方程为y10=5cos(100t),y20=4cos(100t-),求求P点合振动的振动点合振动的振动方程。方程。10mPS1S28m2mu1u2解：解：)(cos(022111uxuxtAyP由时间推迟法由时间推迟法,得得 S1 发出的波在发出的波在 P 点的振动方程为点的振动方程为)5100cos(5t)20061002(100cos5t)()100cos(5mtcos2212221AAAAAPPPyyy21)()100cos(1mtyP)20010(100cos42tyP10mPS1S28m2mu1u2同样方
11、法，得同样方法，得S2 发出的波在发出的波在 P 点的振动方程为点的振动方程为y20=4cos(100t-)6100cos(4t)(100cos4mtP点合振动的振动方程点合振动的振动方程)100cos(tA)100cos(5tt100cos4)(1cos4524522m用旋转矢量法确定用旋转矢量法确定 A与与 更方便更方便 y1A2A450/)sinsin(sin2211AAA1/)coscos(cos2211AAAA1例例4.如图如图,B、C为同一介质中相距为同一介质中相距 30m 的两相干波源，的两相干波源，频率频率100Hz，波速，波速u400m/s，振幅相同，波源的初，振幅相同，波源的初相差为相差为，求，求BC间发生干涉相消的各点位置间发生干涉相消的各点位置.PCBr1r2,cos tAyB解解:）（tAyCcos),2cos(1rtAyBP)2cos(2rtAyCP122rrPCPBP：点的位相差：干涉相消条件)(41004003012murr：其中设两波源的振动方程为设两波源的振动方程为,.)2,1,0()12(212kkrr)(41004003012murr,.)2,1,0()12(42302r2112kkrr故,.)2,1,0()12(141kkr：可解得。，：处的各点因干涉而相消得到mr29.75311PCBr1r23001 r：取值范围k练习十二练习十二
