1、第二节 洛必达法则 未定式解法:洛必达法则 未定式解法0,0000,0,1,洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定义.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或称为称为那末极限那末极限大大都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与两个函数两个函数时时或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx0lnsinlim,lnsinxaxbx)00()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 设设在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必
2、达法则定未定式的值的方法称为洛必达法则.（1 1）当）当 时，函数时，函数 及及 都趋于零；都趋于零；xa()f x()F x（2）在点）在点a的某去心邻域内，的某去心邻域内，及及 都存在且都存在且 ()fx()F x()0F x（3 3）存在（或为无穷大），那么存在（或为无穷大），那么()lim()fxF xxa()()limlim()()f xfxF xF xxaxa机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 x
3、xxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 2.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(|)2(;)()(,)1(xFxfxxFxfxxFxfxxFxFxf，NxxFxfx那末或为无穷大存在都存在且及时当都趋于零及函数时当设机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4解解0lnsinlim.lnsinxaxbx求0cossinlimcossinxaaxbxbbxax原式.1)(0coslimcosxbxax例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limx
4、xx .1)00(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 .3)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原
5、式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe 2limxxe.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()(型型 0.1步骤步骤:,10 .0100 或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式
6、xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 .2步骤步骤:机动 目录 上页 下页 返回 结束 步骤步骤:型型00,1,0.3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1010解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln
7、1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应用法则时，每步必须验证条件，否则会得出错误的应用法则时，每步必须验证条件，否则会得出错误的结果结果sin1 cossinlimlimlim1sin1 cossinxxxxxxxxxxx 事实上，上式极限为事实上，上式极限为1，错误在于应用了一次法则后，错误在于应用了一次法则后已经不是不定式了，所以不能再用洛必达法则求极限。已经不是不定式了，所以不能再用洛必达法则求极限。机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习：练习：机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取对数取对数令令gfy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：习题3-2(p88)v1（1）（5）（7）（13）v2（1）
