1、 归纳总结课归纳总结课方法之美方法之美 思维之美思维之美 应用之美应用之美浅谈实数与二次根式归纳总结浅谈实数与二次根式归纳总结 本讲总结提升本章总结提升包包含含有理数有理数无理数无理数概概念念分类分类实数实数平方根的性平方根的性质质立方根的性立方根的性质质积（商）的算术平方根积（商）的算术平方根二次根式的乘除法运算法则二次根式的乘除法运算法则二次根式的加、减、乘、二次根式的加、减、乘、除、方运算法则除、方运算法则算术平方根算术平方根立方根立方根平方平方根根重要性重要性质质开方开方法则法则运运算算 客观来讲的话本讲内容在中考中主要考查实数客观来讲的话本讲内容在中考中主要考查实数及其相关概念，二次
2、根式及其性质，二次根式的计及其相关概念，二次根式及其性质，二次根式的计算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查其主现，有时也与其他知识结合在一起综合考查其主要考点可概括为：五个概念、四个性质、两个运算、要考点可概括为：五个概念、四个性质、两个运算、两个技巧、两个应用、两种思想两个技巧、两个应用、两种思想本讲总结提升问题问题1 1平方根和算数平方根以及立方根平方根和算数平方根以及立方根平方根与算术平方根有什么关系？平方根与立方根平方根与算术平方根有什么关系？平方根与立方根有什么关系？开方运算与乘方运算有什么关系
3、？如何求一有什么关系？开方运算与乘方运算有什么关系？如何求一个数的平方根和立方根？个数的平方根和立方根？1考点考点五个概念五个概念1分别求出下列各数的平方根和算术平方根：分别求出下列各数的平方根和算术平方根：(1)0.022 5；(2)；(3)196.概念概念1 算术平方根与平方根算术平方根与平方根6259(1)0.022 5的平方根是的平方根是 0.15；0.022 5的算术平方根是的算术平方根是 0.15.(2)的平方根是的平方根是 ；的算术平方根是的算术平方根是 .(3)196的平方根是的平方根是 14；196的算术平方根是的算术平方根是 14.解：解：0.022 50.022 5625
4、91961966259253625962592532(1)【中考中考茂名茂名】8的立方根是的立方根是_；(2)0.027的立方根是的立方根是_；(3)1是是_的立方根；的立方根；(4)是是_的立方根的立方根概念概念2 立方根立方根21612160.31本讲总结提升【归纳总结归纳总结】开方与乘方互为逆运算，注意理解两者之间的互逆关系开方与乘方互为逆运算，注意理解两者之间的互逆关系本讲总结提升问题问题2 2实数的分类与识别实数的分类与识别什么是无理数？什么是实数？你知道哪些具有明显特什么是无理数？什么是实数？你知道哪些具有明显特征的无理数类型？征的无理数类型？3在在|1|中，中，整数有整数有_；有
5、理数有有理数有_；无理数有无理数有_概念概念3 实数实数31,3.14,0,21,9,1,652,2351,3.14,0,|41|2160，|1|3,2,21,9344本讲总结提升【归纳总结归纳总结】三种具有明显特征的无理数类型：三种具有明显特征的无理数类型：一是开方开不尽的数，二是化简后含一是开方开不尽的数，二是化简后含的数，三是人的数，三是人为构造的有特定结构但不循环的数为构造的有特定结构但不循环的数(如如0.5252252225(相邻相邻两个两个5之间之间2的个数逐次加的个数逐次加1)同类变式同类变式解：解：如图所示：如图所示：问题问题3 3二次根式的概念二次根式的概念本讲总结提升什么是
6、二次根式？其表示方法是什么？什么是二次根式？其表示方法是什么？4.下列各式一定是二次根式的是下列各式一定是二次根式的是()A.B.C.D.概念概念4 二次根式二次根式Da31x 21x21x 问题问题4 4二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性本讲总结提升二次根式的双重非负性是什么？如何利用这个性质解决二次根式的双重非负性是什么？如何利用这个性质解决“几个非负数和为几个非负数和为0”的类型的问题？的类型的问题？本讲总结提升本讲总结提升本讲总结提升本讲总结提升本讲总结提升【归纳总结归纳总结】二次根式二次根式(a0)具有双重非负性，即被开方数具有双重非负性，即被开方数a0，0.通通常用它来解决多
7、个非负数和为常用它来解决多个非负数和为0的问题的问题 已知已知x，y为实数，且满足为实数，且满足 0，那么，那么x2 018y2 019的值是多少？的值是多少？()111xyy 由已知可得由已知可得 0.因因为为1y0，所以，所以 0，由非负，由非负数的性质得数的性质得1x0且且1y0.所以所以x1，y1.所以所以x2 018y2 0190.解：解：()1+11xyy()11yy同类变式同类变式问题问题5 5最简二次根式最简二次根式本讲总结提升什么是最简二次根式？如何化简二次根式？什么是最简二次根式？如何化简二次根式？6.二次根式二次根式 (其中其中a，b 均大于或等于均大于或等于0)中，是最
8、简二次根式的有中，是最简二次根式的有()A4个个 B3个个 C2个个 D1个个概念概念5 最简二次根式最简二次根式 C314 5,2,8,3aaab根据最简二次根式的定义可知，只有根据最简二次根式的定义可知，只有 这两个二次根式是最简二次根式故选这两个二次根式是最简二次根式故选C.4 5,ab2考点考点四个性质四个性质7已知已知 (b5)2|c1|0，那么，那么ab c_性质性质1平方根的性质平方根的性质82a本讲总结提升例例3 已知某正数的两个平方根分别是已知某正数的两个平方根分别是2a7和和a4，b12的立方根是的立方根是2.(1)求求a，b的值；的值；(2)求求ab的平方根的平方根点点
9、已知一个正数的两个平方根分别是已知一个正数的两个平方根分别是x3和和x 1，求这个正数的立方根，求这个正数的立方根因为一个正数的两个平方根分别是因为一个正数的两个平方根分别是x3和和x1，所以所以x3x10.解得解得x1.所以这个正数是所以这个正数是(x3)24.所以这个正数的立方根是所以这个正数的立方根是 .解：解：34同类变式同类变式9.若若 互为相反数，求互为相反数，求 的值的值性质性质2立方根的性质立方根的性质333112ab 与与ab因为因为 互为相反数，互为相反数，所以所以3a1与与12b互为相反数互为相反数所以所以3a12b1.所以所以3a2b.又因为又因为b0，所以，所以 .解
10、：解：333112ab 与与23ab10实数实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a|a|的结果为的结果为()A B C.D2性质性质3实数的性质实数的性质2222B同类变式同类变式11.已知已知a ，b ，则化简，则化简|ab|的结果为的结果为()A B2 C0 D22322ab223312下列计算正确的是下列计算正确的是()A 7 B.5 C.性质性质4二次根式的性质二次根式的性质()27A()25244 613.若若a0，求，求 的值的值31abbbaa因为因为a0，ab30，0，b0，所以所以b0，a0，所以，所以b0.解：解：ba2.abab
11、ab32211bababaab bababag所所以以()()221ababbabag()11babaabbag化简根号内含字母的二次根式时，一定要先弄化简根号内含字母的二次根式时，一定要先弄清楚这些字母的取值范围清楚这些字母的取值范围同类变式同类变式14已知三角形的两边长分别为已知三角形的两边长分别为3和和5，第三边长，第三边长 为为c，化简：，化简：22144416.4cccc 问题问题3 3二次根式的性质及运算二次根式的性质及运算本章总结提升积积(商商)的算术平方根与二次根式的乘除法法则有什么关的算术平方根与二次根式的乘除法法则有什么关系？如何利用二次根式的运算法则进行二次根式的运算？系
12、？如何利用二次根式的运算法则进行二次根式的运算？3 两个运算两个运算考点考点15.计算：计算：23|2|(75)运算运算1实数的运算实数的运算4原式原式282(2)10.解：解：16计算：计算：(1)运算运算2二次根式的运算二次根式的运算()()32273432;(方法方法1：先将根号外的因数移到根号内，再计：先将根号外的因数移到根号内，再计算算)原式原式 27325.(方法方法2：先化简，再计算：先化简，再计算)原式原式 27325.解：解：()()27322732()3342()()()2233423342(2)【中考中考临沂临沂】()()331.212原式原式解：解：()()22321(
13、)3322 22.本章总结提升本章总结提升【归纳总结归纳总结】二次根式的运算结果必须化成最简二次根式最简二二次根式的运算结果必须化成最简二次根式最简二次根式满足两个条件：次根式满足两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整被开方数的因数是整数，因式是整式；式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式4两个技巧两个技巧考点考点17比较比较 的大小的大小技巧技巧1利用倒数法比较大小利用倒数法比较大小2 0162 01620170 512 与与解：解：120172 01620172 016,()()20172 01620172 01620172 016()(
14、)2220172 01620172 01612 0162 015.2 0162 015同同理理可可得得11.20172 0162 0162 015所所以以20172 0162 0162 015,而而20172 0160,2 0162 0150,又又因因为为20172 0162 0162 015.0，b0，如果，如果 ，那么，那么ab.11ab11ab 2 ，所以蚂蚁需要爬行的最短路程是所以蚂蚁需要爬行的最短路程是2 cm.1941641644141在将空间图形中最短路程问题转化为平面图形在将空间图形中最短路程问题转化为平面图形来解决的同时，还必须全方位考虑各种可能情来解决的同时，还必须全方位考
15、虑各种可能情况，只有这样才能得到正确的答案况，只有这样才能得到正确的答案问题问题5 5数形结合思想在实数化简中的运用数形结合思想在实数化简中的运用本讲总结提升当借助数轴解决数学问题时，可以运用数形结合思当借助数轴解决数学问题时，可以运用数形结合思想来解决应该如何利用数轴进行实数的化简呢？想来解决应该如何利用数轴进行实数的化简呢？6两种思想两种思想考点考点22如果表示如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置两个实数的点在数轴上的位置 如图所示，试化简如图所示，试化简|ab|.思想思想1 数形结合思想数形结合思想2(+)a b点点由数轴可知由数轴可知b0a，且，且|b|a|，所以，所以ab0，ab
16、0.所以原式所以原式|ab|ab|ab(ab)abab2b.解：解：本讲总结提升本讲总结提升【归纳总结归纳总结】通过数轴比较出各数的大小，然后利用绝对值和根通过数轴比较出各数的大小，然后利用绝对值和根式的性质去掉绝对值符号和根号，判断出各项的符号是解式的性质去掉绝对值符号和根号，判断出各项的符号是解题的关键题的关键23已知数轴上有已知数轴上有A，B两点，且这两点之间的距两点，且这两点之间的距 离为离为 ，若点，若点A在数轴上表示的数为在数轴上表示的数为3，则，则 点点B在数轴上表示的数为在数轴上表示的数为_思想思想2 分类讨论思想分类讨论思想2323+2或或整合思维提升已知已知a+b=5，ab=3，求，求 的值的值baab同类变式同类变式整合思维提升整合思维提升同类变式同类变式
