1、1-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 1-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 1-3 1-3 由状态空间表达式求传递函数阵由状态空间表达式求传递函数阵 1-4 1-4 状态向量的线性变换状态向量的线性变换坐标变换坐标变换 第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式主要内容主要内容1经典控制理论的经典控制理论的传递函数传递函数描述方法的不足之处：描述方法的不足之处：l系统模型为单输入单输出系统；系统模型为单输入单输出系统；l忽略初始条件的影响；忽略初始条件的影响；l不包含系统的所有信息；不包含系统的所有信息；l无法利用系统的内部信
2、息来改变系统的性能。无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。用一个高阶微分方程或传递函数来描述一个线性定常系用一个高阶微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统显然有其不足之处，它们不能完全描述系统的全部运动状统显然有其不足之处，它们不能完全描述系统的全部运动状态。态。第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式2ykF udtdykdtydM 22)(1)()()(kMsssusysg eg1:如图系统，如图系统，y表示小车运动的位移，表示小车运动的位移，u表示外作表示外作用力，用力，F为摩擦力，为摩擦力，k为摩擦系数，为摩擦系数，M为小车的质量。为小车的质量。根据力学定理，
3、系统的方程为：根据力学定理，系统的方程为：系统的传递函数为：系统的传递函数为：第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式光有位置光有位置 y 还不能完全表达小车的状态。还不能完全表达小车的状态。MuyF3 五十年代后期开始，贝尔曼（五十年代后期开始，贝尔曼（BellmanBellman）等人提出了）等人提出了状状态变量法态变量法。在用。在用状态空间法分析状态空间法分析系统时，系统的动态特性系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。在数字计是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。在数字计算机上求解一阶微分方程组比求解与之相应在的高阶微分算机上求解一阶微
4、分方程组比求解与之相应在的高阶微分方程容易得多，而且可以同时得到系统全部独立变量的响方程容易得多，而且可以同时得到系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。此外，状应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。此外，状态空间法还可以方便地处理初始条件，可以用来分析设计态空间法还可以方便地处理初始条件，可以用来分析设计多变量、时变和非线性系统，也可以应用于随机过程和采多变量、时变和非线性系统，也可以应用于随机过程和采样数据系统，样数据系统，第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 对复杂的时变、非线性、多输入多输出系统的问题，对复杂的时变、非线性、多输入多输
5、出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法需要用对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。状态空间分析法。41-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 一、状态一、状态状态状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的数据来说明。数据来说明。状态变量状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部）：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部）变量。变量。二、状态变量二、状态变量设设 x1(t),x2(t)xn(t)为
6、系统的一组状态变量，则它应满足：为系统的一组状态变量，则它应满足：1 1、在任何时刻、在任何时刻t=tt=t0 0，x1(t0),x2(t0)xn(t0)这组变量的值这组变量的值都表都表示系统在该时刻的状态；示系统在该时刻的状态；2 2、当系统在、当系统在t tt t0 0的输入和上述初始状态确定以后，状态变的输入和上述初始状态确定以后，状态变量便能完全确定系统在任何量便能完全确定系统在任何t tt t0 0时刻的行为。时刻的行为。51-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 三、状态向量三、状态向量状态向量状态向量：一个：一个 n n 阶系统可以选择阶系统可以选择 n
7、n 个状态变量，即个状态变量，即x x1 1(t t),),x x2 2(t t),),x x3 3(t t),),x xn n(t t)，这这n n个状态变量作分量所构成的向量个状态变量作分量所构成的向量就叫做该系统的状态向量，就叫做该系统的状态向量，Tnntxtxtxtx)(,),()()(11)(t tx6 以状态变量以状态变量x1(t),x2(t),x3(t),xn(t)为坐标轴为坐标轴所构成的所构成的 n 维空间，称为维空间，称为状态空间。状态空间。在特定时刻在特定时刻t，状态向量，状态向量x(t)=x1(t),xn(t)T在状态空间中是一点在状态空间中是一点。随着时间的推移，状态向
8、量。随着时间的推移，状态向量x(t)在状态空间中描绘出一条轨迹，称为在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。状态轨迹。四、状态空间四、状态空间1-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 7 描述系统输入变量、状态变量和输出变量之间关描述系统输入变量、状态变量和输出变量之间关系的系的状态方程状态方程和和输出方程输出方程总合起来，构成对系统动态总合起来，构成对系统动态行为的完整描述，称为系统的行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式状态空间表达式。状态方程：描述系统状态变量与系统输入之间关系描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程组称为的一阶微分方程组称为状态方程。
9、状态方程。)()()(tttuxxBA系统矩阵或参数矩阵系统矩阵或参数矩阵输入矩阵或控制矩阵输入矩阵或控制矩阵五、状态空间表达式五、状态空间表达式1-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 8输出方程：输出方程：在指定系统输出的情况下，描述系统输在指定系统输出的情况下，描述系统输出与状态变量间关系的一组代数方程。出与状态变量间关系的一组代数方程。)()()(tttuxyDC输出矩阵直接传递矩阵 描述系统输入变量、状态变量和输出变量之间关描述系统输入变量、状态变量和输出变量之间关系的系的状态方程状态方程和和输出方程输出方程总合起来，构成对系统动态总合起来，构成对系统动态行为
10、的完整描述，称为系统的行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式状态空间表达式。五、状态空间表达式五、状态空间表达式1-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 9状态空间表达式的模拟结构图五、状态空间表达式五、状态空间表达式)()()(tttuxxBA)()()(tttuxyDC状态方程输出方程BAXXu+CY+D1-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 10CRLu(t)uc(t)i(t)例：方法一：方法一：令x1(t)=uc(t)x2(t)=i(t)(1)(21txCtx )()(tuCtic )()()()(tututRitiLc )(1)()
11、(1)(212tuLtxLRtxLtx )(0)()(0)()(1112121tutxtxtxtxLLRLC )()(01)()(211txtxtxty)()()(tttuxyDC)()()(tttuxxBA1-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 11)()()()(tututuRCtuLCccc 方法二：方法二：令x1(t)=uc(t)x2(t)=uc(t)(0)()(10)()(112121tutxtxtxtxLCLRLC )()(01)()(211txtxtxty)()(21txtx )(1)()(1)(212tuLCtxLRtxLCtx 1-1 1-1 状态变
12、量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 CRLu(t)uc(t)i(t)例：)()()()(tututRitiLc )()(tuCtic )(0)()(0)()(1112121tutxtxtxtxLLRLC )()(01)()(211txtxtxty121-1 1-1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 1.1.状态空间描述考虑了状态空间描述考虑了“输入输入-状态状态-输出输出”这一过程，因此这一过程，因此它提示了问题的本质。它提示了问题的本质。2.2.输入引起的状态变化是一个运动过程，用状态方程表示。输入引起的状态变化是一个运动过程，用状态方程表示。3.3.系统的系统的状态
13、变量个数状态变量个数仅等于系统包含的仅等于系统包含的独立贮能元件独立贮能元件的个的个数。数。4.4.对于给定系统，状态变量的选择不是唯一的。对于给定系统，状态变量的选择不是唯一的。5.5.一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，单从便于控制系统的结构来说单从便于控制系统的结构来说,把状态变量选为可测量或把状态变量选为可测量或可观察更为合适可观察更为合适.6.6.系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法。系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法。小结状态空间分析法的特点：小结状态空间分析法的特点：131-2 1-2 状态
14、空间表达式的建立状态空间表达式的建立 一、线性定常系统的状态空间表达式建立一、线性定常系统的状态空间表达式建立方法一：根据系统的作用机理建立状态空间方法一：根据系统的作用机理建立状态空间 表达式；表达式；方法二：根据系统的方框图建立状态空间表方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式；达式；方法三：根据系统输入输出之间的动态关系方法三：根据系统输入输出之间的动态关系 （微分方程或传递函数）建立状态（微分方程或传递函数）建立状态 空间表达式空间表达式即即“实现实现”问题。问题。141-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式方法一：根据
15、系统的作用机理建立状态空间表达式 例例1 R-C-L 1 R-C-L 网络如图所示。网络如图所示。e(te(t)-)-输入变量，输入变量，u uR2R2(t)-(t)-输出输出变变量量。试求其状态空间描述。试求其状态空间描述?)(teR1LucuR2(t)R2c icil解：解：1 1）确定状态变量）确定状态变量 选选 uc 和和 iL 构成最小变量组构成最小变量组,组成状态向量组成状态向量 x x=uc iL 2.)列写网络方程并化为一阶微分方程组列写网络方程并化为一阶微分方程组:)2()()()1()()(211teiRuiiRtedtdiLiiRCCLCLLC消去不是所确定的状态变量消去
16、不是所确定的状态变量,dtduccci 151-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式 由（由（3）式得）式得由（由（4）式得）式得（5）式代入（）式代入（6）式）式：)4()()3()(11211tedtdiLdtduCRiRtedtduCRudtduCRiRLCLCCCL)5()()(1)()(12121121teCRRiCRRRuCRRdtduLCC )6()(111teLiLRdtduLCRdtdiLCL )()()()(2122121211teLRRRiLRRRRuLRRRdtdi
17、LCL 161-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 3.)状态状态 方程方程:输出输出 方程方程:)()()(1)()()()(121221212121121121teLRRRCRRiuLRRRRLRRRCRRRCRRiuLCLC )(2122121212222teRRRiRRRRuRRRdtduCRiRuLCCCR )(21221212122teRRRiuRRRRRRRuLCR LRRRCRRBLRRRRLRRRCRRRCRRA)()(1,)()()()(1212212221212112112111212 RRRD212121212 RRRRRRRC171-2 1-2 状态
18、空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式(n-1)个节点的KCL方程+m 个网孔的KVL方程。例例2 设输入量为电流源，指定以电设输入量为电流源，指定以电容容C1和和C2上的电压为输出量。上的电压为输出量。11cux 22cux 13ix 24ix 利用支路电流法列写独立方程181-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式02213 cuCiii11cux 22cux 13ix 24ix 02111 iuCi
19、c04222 iuCic011131 cuiLiR014222 cuiRiL011222 iLiLuc)()()(tttuxyDC )()()(tttuxxBA 例例2消去不是所确定的状态变量消去不是所确定的状态变量,i3，i419k1-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式 例例3 3 设机械位移系统如图所示。力设机械位移系统如图所示。力F F及阻尼器汽缸速度及阻尼器汽缸速度v v为为两种外作用，给定输出量为质量块的位移两种外作用，给定输出量为质量块的位移 x x 及其速度、加及其速度、加
20、速度。图中速度。图中m m、k k、f f分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入求该双输入-三输出系统的动态方程。三输出系统的动态方程。双输入双输入-三输出机械位移系统三输出机械位移系统解：据牛顿力学，有解：据牛顿力学，有显见为二阶系统，选显见为二阶系统，选位移位移 x x 及速度及速度v v作为状态变量。设：作为状态变量。设：mxfxvkxF12xxxx，123yx yx yx，201-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式1222111223211
21、1xxxxf xvkxFmyxyxyf xvkxFm 123yxyxyx，解：解：mxfxvkxF12xxxx，123100001001yyykffmmmmyCD1200001xFkffxvmmmm xuAB1211-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式例例4J输入输入T输出输出 21,xx解：解：21xx BKTJ TJxJBxJKx1212 TJxxJBJKxx 10102121 21101xxxy221-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 例例5 2xix 1bKi
22、LRiuBiKJauLxxJBJKLKLRxxab 012121 21210 xxxy方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式解：解：输入输入u输出输出 231-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 1、四点备注、四点备注2）若一阶系统的方框图为：）若一阶系统的方框图为：1s+au(t)y(t)ax1(t)=y(t)x1(t)u(t)1）在绘制状态空间表达式的模拟结构图时，总是把每）在绘制状态空间表达式的模拟结构图时，总是把每 个个积分器的输出选作一个状态变量积分器的输出选作一个状态变量 xi(t)，其输入便其输入便 为相应的为相
23、应的xi(t)。xi(t)xi(t)可由积分器、放大器可由积分器、放大器和加法器等构成。和加法器等构成。方法二：根据系统的方框图建立状态空间表达式方法二：根据系统的方框图建立状态空间表达式KTs+1u(t)y(t)1/Tx(t)=y(t)x(t)u(t)KTxyuTKxTx 1241-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 asazaszsuy1)(1x1(t)ax1(t)u(t)z-ay(t)s+au(t)y(t)s+z3）若一阶系统的方框图含有零点时：）若一阶系统的方框图含有零点时：方法二：根据系统的方框图建立状态空间表方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式达式4 4）
24、对于二阶系统的方框图为：）对于二阶系统的方框图为：1s2+a1s+a0u(t)y(t)y(t)a1a0u(t)251-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法二：根据系统的方框图建立状态空间表方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式达式2、方法步骤、方法步骤将系将系统方统方框图框图分解分解绘 制 出绘 制 出系 统 的系 统 的模 拟 结模 拟 结构图构图由图列写由图列写出系统的出系统的状态空间状态空间表达式表达式261-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法二：根据系统的方框图建立状态空间表方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式达式l例例1:1
25、:已知系统方块图已知系统方块图,试导出系统状态空间描述试导出系统状态空间描述.l解解:1):1)把各环节传递函数化为最简形式组合把各环节传递函数化为最简形式组合.l 原方块图化为原方块图化为:)()()(sYsUasskpszs 1s+pz-p KS1(s+a)Y(s)U(s)271-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法二：根据系统的方框图建立状态空间表方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式达式解：解：2)2)把各环节化为相应的模拟结构图：把各环节化为相应的模拟结构图：a_y(t)x 1(t)u(t)x1(t)P_x3(t)Z-P_+Kx2(t)1s+pz-p KS
26、1(s+a)Y(s)U(s)321321321313312211001,00001)()(xxxyupzkxxxpzpkkaxxxupzpxxzpxkukxkxxxaxx281-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法三：根据系统输入输出之间的动态关系（微分方方法三：根据系统输入输出之间的动态关系（微分方程或传递函数）建立状态空间表达式程或传递函数）建立状态空间表达式即即“实实现现”问题。问题。对于对于SISO线性定常系统，其输入输出之间的动态关系线性定常系统，其输入输出之间的动态关系即微分方程或传递函数分别为：即微分方程或传递函数分别为：ububububyayayaymmm
27、mnnn01)1(1)(01)1(1)()()()()(01110111nmasasasbsbsbsbsUsYsWnnnmmmm 291-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 方法三：根据系统输入输出之间的动态关系（微分方方法三：根据系统输入输出之间的动态关系（微分方程或传递函数）建立状态空间表达式程或传递函数）建立状态空间表达式即即“实实现现”问题。问题。、直接型实现（或直接程序法）、并联型实现（或并联程序法）、串联型实现（或串联程序法）)()()()(01110111nmasasasbsbsbsbsUsYsWnnnmmmm301-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达
28、式的建立 、直接型实现（或直接程序法）、直接型实现（或直接程序法）传递函数中没有零点时的实现：传递函数中没有零点时的实现：此时系统的微分方程或传递函数分别为ubyayayaynnn001)1(1)(01110)()()(asasasbsUsYsWnnn )n(nyxyxyxyx1321 ubxaxaubyayayayxxyxxyxxyxnnnnnnnnnnn010100)2(21)()1(13221)1(311-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 +an-1a0a1an-1+y(t)u(t)b0第一种实现x1(t)x2(t)xn-1(t)xn(t)(000)()()()(10
29、00001000010)()()()(01211210121tubtxtxtxtxaaaatxtxtxtxnnnnn )(0001)()(1ttxtyX 321-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 y(t)u(t)+an-1a0a1an-1+b0 x1(t)x2(t)xn-1(t)xn(t)第二种实现)(1000)()()()(1000001000010)()()()(1211210121tutxtxtxtxaaaatxtxtxtxnnnnn )(000)()(010tbtxbtyX 331-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 uyyyy510147 yxy
30、xyx 321 uxxxyxxyxxyx57141032133221 71410100010321xxxuxxx 500321 321xxx例例:设系统的微分方程为：设系统的微分方程为：求系统的状态方程和输出方程。求系统的状态方程和输出方程。解：选取状态变量为解：选取状态变量为 则得状态方程组：则得状态方程组：y=1 0 0341-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 传递函数中有零点时的实现：第一种实现例1012230122)()()(asasasbsbsbsUsYsW 012230122111)()()()()()()()(asasasbsbsbsUsYsYsYsUsYsW
31、 a2a1u(t)a0y1y(t)b0b1b2)()()()(101112tybtybtybty x1(t)x2(t)x3(t)uxxxaaaxxx 100100010321210321 )()(210tbbbtyX 351-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 传递函数中有零点时的实现：第一种实现例201223012233)()()(asasasbsbsbsbsUsYsW 0122330031123223)()()()()()(asasasbabsbabsbabbsUsYsW 解：解：0122311)(asasassy )()()()()()()()()()()()()()(
32、1300131113223130031123223tybabtybabtybabtubtysYbabsbabsbabsUbsY 361-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 b3a2a1u(t)a0y1y(t)b1 a1b3b2a2b3b0-a0b3x1x2x3 131211yxyxyx)()()()()()()()(1300131113223tybabtybabtybabtubty 0122311)(asasassy 371-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 )(100)(100010)(210tutaaatXX)()()(3322311300tubtba
33、bbabbabtyXb3a2a1u(t)a0y1y(t)b1 a1b3b2a2b3b0-a0b3x1x2x3381-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 传递函数中有零点时的实现：第二种实现例201223012233)()()(asasasbsbsbsbsUsYsW 选择状态变量：选择状态变量：uxuuuyxuxuuyxuyx2221031110201 其中，待定系数为：其中，待定系数为：22110002120112022130aaabaababb391-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 a2a1a0y(t)0u(t)1(s+a2)2s(s+a2)+a1 3
34、ss(s+a2)+a1+a0传递函数中有零点时的实现：第二种实现例01223012233)()()(asasasbsbsbsbsUsYsW12213000223111322233aaabaababb012301232102121010010001bbbbaaaaaa401-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 )(100010012321210321tuxxxaaaxxx第二种实现a2a1a0y(t)u(t)0123+x1x2x301223012233)()()(asasasbsbsbsbsUsYsW)()(001)()(331tuttuxtyX41、并联型实现、并联型实现(或
35、并联程序法或并联程序法)传递函数中无重极点情况时的实现：传递函数中无重极点情况时的实现：例1ssssssUsY12723)()(232 412331)32(161 sss)4)(3()2)(1(sssss)(111400030000321tuxxx X)(233261)(ttyX -2/33-x2(t)x2(t)y(t)u(t)4-x3(t)x3(t)3/21/6x1x1+42传递函数中有重极点情况时的实现：传递函数中有重极点情况时的实现：例22)4)(3()2(3)()(sssssUsY4)21()4()23(31812 ssssy(t)u(t)-3/2+x4(t)4-x4(t)x3(t)4
36、-x3(t)-3 x2(t)x2(t)1/8x1x1-1/2+、并联型实现、并联型实现(或并联程序法或并联程序法)43)(1011)(4000140000300000)(tutt XX)(2123181)(ttyX 、并联型实现、并联型实现(或并联程序法或并联程序法)y(t)u(t)-3/2+x4(t)4-x4(t)x3(t)4-x3(t)-3 x2(t)x2(t)1/8x1x1-1/2+44传递函数中有共轭极点情况时的实现：传递函数中有共轭极点情况时的实现：2222)()(nnnssasAsUsY 例3y(t)a1a0u(t)1s2+a1s+a0u(t)y(t)1s+au(t)y(t)ax1
37、(t)=y(t)x1(t)u(t)、并联型实现、并联型实现(或并联程序法或并联程序法)45例1ssssssUsY12723)()(232 )4)(3()2)(1(sssss42311 sssss4)2(1 3)2(1 1 sssx1(t)4x1(t)-2y(t)u(t)x2(t)3x2(t)-2x3x3)(100000230224321321tuxxxxxx )(111)(ttyX、串联型实现、串联型实现(或串联程序法或串联程序法)461-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 二、线性时变系统的状态空间表达式建立二、线性时变系统的状态空间表达式建立 对于SISO线性时变系统，根
38、据其作用原理列写其微分方程（不存在传递函数），然后再转化为其状态空间表达式。)()()()()()()()()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tutbtutbtutbtutbtytatytatytatymmmmnnn )()()()()(tttttuxyDC)()()()()(tttttuxxBA471-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 二、线性时变系统的状态空间表达式建立二、线性时变系统的状态空间表达式建立例1)(3)()(tutytty解：令)()(1tytx)()(2tytx)()()(21txtytx)(30)(010)(tutttXX)(
39、3)()()(22tuttxtytx)(01)()(1ttxtyX481-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 二、线性时变系统的状态空间表达式建立二、线性时变系统的状态空间表达式建立例2)()()1()()(tutyettyetytt解：令)()(1tytx)()(2tytx)()()(21txtytx)(10)()1(10)(tuteettttXX)()()()1()()(212tutxetxettytxtt)(01)()(1ttxtyX491-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 三、非线性连续系统的状态空间表达式建立三、非线性连续系统的状态空间表达式建立
40、1、可线性化的非线性系统：、可线性化的非线性系统：例例1 试求下列非线性系统在试求下列非线性系统在x0 0=0，u0 0=0 处的线性化状态空间表达式。处的线性化状态空间表达式。21xx 221322122xxyuxxxx 解：令解：令21211),(xxuxxf uxxxxuxxf2),(32212212 22121),(xxyuxxg 501-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 例例1 试求下列非线性系统在试求下列非线性系统在x0 0=0，u0 0=0 处的线性化状态空间表达式。处的线性化状态空间表达式。解：令21211),(xxuxxf 2212132212212),(
41、2),(xxyuxxguxxxxuxxf 将将f1、f2、g 分别在分别在x0 0=0，u0 0=0附近作泰勒级数展开附近作泰勒级数展开 uufxxfxxfufufuuu 000000,12,211,110011),(),(xxxxxuufxxfxxfxxxuuu 000000,12,211,111101xxxQ Q511-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 21211),(xxuxxf 解：令2212132212212),(2),(xxyuxxguxxxxuxxf uufxxfxxfxxxuuu 000000,12,211,111101xxxuufxxfxxfxuuu 00
42、0000,22,221,122xxxuugxxgxxgyuuu 000000,2,21,1xxx 例例1 试求下列非线性系统在试求下列非线性系统在x0 0=0，u0 0=0 处的线性化状态空间表达式。处的线性化状态空间表达式。521-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 uufufxxxfxfxfxfxxuu 0000,2121,2212211121xxuugxgxgyuu 0000,21xxx线性化的增量状态空间表达式Q Quufxxfxxfxxxuuu 000000,12,211,111101xxxuufxxfxxfxuuu 000000,22,221,122xxxuugx
43、xgxxgyuuu 000000,2,21,1xxx531-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 例例1 试求下列非线性系试求下列非线性系统在统在x0 0=0，u0 0=0 处的线处的线性化状态空间表达式。性化状态空间表达式。21xx 221322122xxyuxxxx 解：令2212132212212),(2),(xxyuxxguxxxxuxxf 21211),(xxuxxf uufufxxxfxfxfxfxxuu 0000,2121,2212211121xxxuugxgxgguu 0000,21xxxuxx 20111021 2101xx541-2 1-2 状态空间表达式的
44、建立状态空间表达式的建立 三、非线性连续系统的状态空间表达式建立三、非线性连续系统的状态空间表达式建立2、不可线性化处理的非线性系统：、不可线性化处理的非线性系统：M-M-r典型的非线性特性M-Me0-e0r-rM-MrrM-M-M-M-r-551-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 三、非线性连续系统的状态空间表达式建立三、非线性连续系统的状态空间表达式建立2、不可线性化处理的非线性系统：、不可线性化处理的非线性系统：系统包括线性部分和非线性部分，在列写状态方程时可将它们分别处理。例1设含有饱和非线性特性的控制系统为：M-Me0-e0（M=e0）)1(TssK)(sY)(s
45、REU试列写该系统的状态方程和输出方程。561-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 1xy 例1设含有饱和非线性特性的控制系统为：M-Me0-e0（M=e0）)1(TssK)(sY)(sREU试列写该系统的状态方程和输出方程。解：对于线性部分，)()()(tkrtytyT取状态变量为,1yx yx221xx rTKxTx221状态反馈方程1xuyue非线性部分MMetr)()(01exue)(01exue)(01exue571-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 四、线性离散系统的状态空间表达式建立四、线性离散系统的状态空间表达式建立1、离散系统与连续系统的
46、主要区别、离散系统与连续系统的主要区别连续系统：系统中的信号不仅在时间上是连续的，而连续系统：系统中的信号不仅在时间上是连续的，而 且在幅值上也连续，常称这类信号为模拟且在幅值上也连续，常称这类信号为模拟 信号，此类系统为连续系统。信号，此类系统为连续系统。离散系统：系统中总有一处或多处的信号在时间上是离散系统：系统中总有一处或多处的信号在时间上是 断续的，而在幅值上如果是连续的，称为断续的，而在幅值上如果是连续的，称为 采样信号采样信号；如果幅值是经过整量化后的数；如果幅值是经过整量化后的数 码，称为码，称为数字信号数字信号。这两类信号都可称为。这两类信号都可称为 离散信号，相应的系统前者为
47、采样控制系离散信号，相应的系统前者为采样控制系 统，后者为数字控制系统，两者都为离散统，后者为数字控制系统，两者都为离散 控制系统。控制系统。58四、线性离散系统的状态空间表达式建立四、线性离散系统的状态空间表达式建立2、离散系统的差分方程、离散系统的差分方程离散系统的数学描述离散系统的数学描述差分方程差分方程脉冲传递函数脉冲传递函数动态结构图动态结构图差分的定义：差分的定义：t)(tf0 0*)()()(kkTtkTftf t)(*tf0T3T5T7T 0*)()()(kkTttftf 1-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 59差分的定义之一差分的定义之一向前差分向前差分
48、 0*)()()(kkTtkTftf t)(*tf0T3T5T7T一阶向前差分：一阶向前差分：)()1()(kfkfkf 二阶向前差分：二阶向前差分：)()1()(2kfkfkf )()1(kfkf )()1(2)2(kfkfkf n 阶阶向前差分：)()1()(11kfkfkfnnn 1-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 四、线性离散系统的状态空间表达式建立四、线性离散系统的状态空间表达式建立2、离散系统的差分方程、离散系统的差分方程60差分的定义之二向后差分 0*)()()(kkTtkTftf t)(*tf0T3T5T7T一阶一阶向后差分：)1()()(kfkfkf二阶
49、二阶向后差分：)1()()(2 kfkfkf)1()(kfkf)2()1(2)(kfkfkfn 阶阶向后差分：)()1()(11kfkfkfnnn 1-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 四、线性离散系统的状态空间表达式建立四、线性离散系统的状态空间表达式建立2、离散系统的差分方程、离散系统的差分方程61差分方程：若连续系统的微分方程)()()()(22tKrtbcdttdcadttcd 2222)()(Tkcdttcd2)()1(2)2(TkckckcTkcdttdc)()(Tkckc)()1()()(kctc)()(krtr)()()1()1()2()2(22krKTkc
50、bTaTkcaTkc1-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 四、线性离散系统的状态空间表达式建立四、线性离散系统的状态空间表达式建立2、离散系统的差分方程、离散系统的差分方程62差分方程：n 阶离散系统差分方程的一般表示为：)()1()1()()()1()2()1()(0110121krbkrbmkrbmkrbkcakcankcankcankcmmnn 其中，n 表示差分方程的阶次；m 表示输入信号差分阶次（m n）。此式称为常系数线性差分非齐次方程。1-2 1-2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 四、线性离散系统的状态空间表达式建立四、线性离散系统的状态空间表达式
