1、1/3/2023第一章 矢量分析1第一章第一章 矢量分析矢量分析简要介绍矢量分析和场论基础。简要介绍矢量分析和场论基础。散度、旋度和梯度的基本概念；散度、旋度和梯度的基本概念；算符运算公式；算符运算公式；散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。1/3/2023第一章 矢量分析21.1 1.1 矢量代数运算矢量代数运算1.2 1.2 场论场论-梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度1.3 1.3 矢量微分算子矢量微分算子1.4 1.4 矢量积分定理矢量积分定理1.51.5*并矢及其运算规
2、则并矢及其运算规则1.61.6*正交曲线坐标系正交曲线坐标系主要内容主要内容1/3/2023第一章 矢量分析3一、矢量与矢量场一、矢量与矢量场1 1、矢量及表示、矢量及表示2 2、标量场与矢量场、标量场与矢量场矢量场矢量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个矢量函数矢量函数,其大小和方向其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等电场、磁场等.uAA矢量标量场标量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个标量函数标量函数,其值随其值随空间坐标的变化而变化
3、，有时还可随时间变化。空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场电位场,高高度场等度场等1/3/2023第一章 矢量分析4二、矢量代数ABBACBACBA)()(cosABABBACABACBA)(uBAsinABABBACABACBA)(332211uuuAAAA321321321BBBAAAuuuBA33221uuuBBBB2.点乘（标量积、投影积）-对应分量相乘的和3.叉乘（矢量积）行列式展开1、矢量和1/3/2023第一章 矢量分析54、矢量代数公式)()()(BACACBCB)()(CBACBACBACBA)()
4、(CBCC)()()(（1）（2）（3）（4）1/3/2023第一章 矢量分析61、直角坐标系（、直角坐标系（x,y,z）x y z O P(x0,y0,z0)x0 y0 z0 Fxeyeze,xyzeee方向单位矢量方向单位矢量：矢量表示矢量表示：000 xyzx ey ez e位置矢量位置矢量：000 xyzrx ey ez e三、常用坐标系1/3/2023第一章 矢量分析7 x y z O P(r0,0,z0)0 r0 z0 reeze,zeee方向单位矢量方向单位矢量：矢量表示矢量表示：()()()rzzA r eA r eA r e位置矢量：位置矢量：00zrr ez e2、圆柱坐标
5、系()z,1/3/2023第一章 矢量分析8方向单位矢量方向单位矢量：矢量表示矢量表示：y O z x P(r0,0,0)0 0 r0 reee,reee()()()rrA r eA r eA r e位置矢量：位置矢量：0rrr e3、球面坐标系(),r1/3/2023第一章 矢量分析9圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系cossinsincosxyxyzzeeeeeeee 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系sincossinsincossincoscoscoscossinsinrxyzxyxyzeeee
6、eeeeeee 4、坐标变换1/3/2023第一章 矢量分析10一、一、标量场的梯度标量场的梯度1.1.等值面（线）等值面（线）由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：(,)uu x y z(,)u x y zcconstuPNleMuu ne1.2 场论梯度、散度和旋度1/3/2023第一章 矢量分析11max(,)ldugradu x y zedl式中：式中：为垂直于等值面（线）的方向。为垂直于等值面（线）的方向。le3、梯度的物理意义1)1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的
7、函数；、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。率。2、梯度的定义1/3/2023第一章 矢量分析121 1）在直角坐标系中：）在直角坐标系中：xyzuuugradueeexyz2 2）在柱面坐标系中：）在柱面坐标系中：1rzuuugradueeerrz3 3）在球面坐标系中：）在球面坐标系中：11sinruuugradueeerrr4、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式1/3/2023第一章 矢量分析
8、131 1、矢量线（力线）、矢量线（力线）2 2、矢量场的通量、矢量场的通量 矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；的方向；()SrdAS若若矢量场矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面分布于空间中，在空间中存在任意曲面S S，则定义则定义：()A r为为矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通的通量。量。()A r二、矢量场的通量 散度1/3/2023第一章 矢量分析14 矢量场的通量矢量场的通量 ()srd AS物理意义：表示穿入和穿出闭合物理意义：表示穿入和穿出闭合面面S S的矢量通量的代
9、数和。的矢量通量的代数和。讨论：讨论：1 1）面元）面元 定义；定义；dS()cos()sA rr ds 2 2）3)3)通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：a)a)若若 ，闭合面内有产生矢量线的正源；，闭合面内有产生矢量线的正源；0 b)b)若若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源；，闭合面内有吸收矢量线的负源；0 c)c)若若 ，闭合面无源。，闭合面无源。0 若若S S为闭合曲面为闭合曲面1/3/2023第一章 矢量分析15在场在场 空间中任意点空间中任意点M M 处作一个闭合曲面，所处作一个闭合曲面，所围的体积为围的体积为 ，则定义场矢量在，则定义场矢量在M M点处的
10、散度点处的散度为：为：()A rV0()div()limsvrdrv ASA3、矢量场的散度的定义1/3/2023第一章 矢量分析16 1)1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；2)2)矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量；3)3)矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；4、散度的物理意义(无源无源）()0divF r(正源正源)()0divF r 负负源源)()0divF r 4)4)矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，1 1）若）若 ，
11、则该矢量场称为有源场，则该矢量场称为有源场，为源密度为源密度；()0divA r()0divA r 2 2）若）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。处处成立，则该矢量场称为无源场。1/3/2023第一章 矢量分析171)1)在直角坐标系下：在直角坐标系下：()yxzFFFdivF rxyz()()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz5、散度的计算1/3/2023第一章 矢量分析18已知矢量已知矢量 ，求，求 穿过一个球心在穿过一个球心在原点，半径为原点，半径为a a的球面的通量和散度的球面的通量和散度 。()A rr【例题例题1.2.1】()A r1/3/2023第一章 矢量分析1
12、9 已知()()()xyzRe xxeyye zzRR求：矢量求：矢量3RDR在在R 0处的处的散度。散度。【例题1.2.2】*1/3/2023第一章 矢量分析201 1、矢量的环流、矢量的环流SSn 环流的计算ACP环流的定义：环流的定义：在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合空间中，取一有向闭合路径路径l l，则称则称 沿沿l l积分的结果称为积分的结果称为矢量矢量 沿沿l l的环流。即：的环流。即：()A r()A r()A r()lA rdl讨论：讨论：1 1）线元矢量）线元矢量 的定义；的定义；dl3 3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则）环流意义：若矢量场环流
13、为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动矢量场存在涡漩运动()()cos()llA rdlA rr dl2)2)反映矢量场漩涡源分布情况。反映矢量场漩涡源分布情况。三、矢量场的环流 旋度1/3/2023第一章 矢量分析21在场矢量在场矢量 空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M M取取一面元一面元S S，其边界曲线为其边界曲线为C C，面元法线方面元法线方向为向为 ，当面元面积无限缩小时，可定，当面元面积无限缩小时，可定义义 在点在点M M处沿处沿 方向的环量面密度方向的环量面密度()A r n n()A r0limcnsA dlrot As 表示矢量场表示矢量场 在点在点M M
14、处沿处沿 方向的漩涡源密度；方向的漩涡源密度；nrot A()Ar nSSnACM2.环流面密度1/3/2023第一章 矢量分析22 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用为最大环量密度的方向。用 表示，即：表示，即：rot Am ax0ro tlimcSAd lAnS式中：表示矢量场旋度的方向；式中：表示矢量场旋度的方向；n3.矢量场的旋度1/3/2023第一章 矢量分析231 1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量）矢量在空间某点处的旋
15、度表征矢量 场在该点处的漩涡源密度；场在该点处的漩涡源密度；4.旋度的物理意义1/3/2023第一章 矢量分析241)1)在直角坐标系下：在直角坐标系下：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe Fxyz5.旋度的计算1/3/2023第一章 矢量分析251.3 矢量微分算子一、微分算子的定义 gradxyzffffeeefxyz AAzAyAxAzyxdivzyxzyxeee微分算子微分算子 是一个是一个“符号符号”矢量，矢量，梯度散度1、直角坐标系1/3/2023第一章
16、 矢量分析26rotxyzxyzeeexyzAAAAA旋度注意注意：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某些性质对就不成立。些性质对就不成立。从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。
17、函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。例如例如：普通矢量有普通矢量有 ，但是，但是，即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含有算子的算式做进一步的补充定义。有算子的算式做进一步的补充定义。ABBAAA1/3/2023第一章 矢量分析271()zeeerrz()11zFFFFz2、圆柱坐标系1zzeeezAAAA1/3/2023第一章 矢量分析2811sinreeerrr 22111()()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr3、在球坐标系2sin1sinsinrrerererrArArAA1/3/2023第
18、一章 矢量分析29【例题例题1.3.1】求矢量场求矢量场 沿沿xyxy平面内一闭合回路平面内一闭合回路C C的线积分，此闭的线积分，此闭合回路由（合回路由（0 0，0 0）和（）和（）之间的一）之间的一段抛物线段抛物线 和两段平行于坐标轴的直和两段平行于坐标轴的直线段组成。再计算线段组成。再计算 的旋度。的旋度。zyxezeyexrA)(2222,2xy 2A1/3/2023第一章 矢量分析30【例题例题1.3.2】求二维标量场求二维标量场 的梯度，并取的梯度，并取一闭合回路一闭合回路C C，证明，证明xyyxu2),(0Cl du1/3/2023第一章 矢量分析31证明：证明：RrrRR11
19、()()RR 说明：说明：xyzeeexyz xyzeeexyz【例题例题1.3.3】若若 1/3/2023第一章 矢量分析32)()()(ccfffAAA二、含有 算子算式()()()()()()()cxcyczcxyzfefefefxyzfefefefxyzAAAAAAAA()()()()cxcyczcxyzfefefefxyzfffeeefxyzAAAAAAAAfffAAA)()1(证明：1/3/2023第一章 矢量分析33)()()()()()2(ABABBABABA)()()(ccBABABA)()()()()(BACABCBABCACBA又BABABABABA)()()()()(c
20、c)()()()()(ABABABBAcc证明：1/3/2023第一章 矢量分析34三、二重算子2222222222222()()()xxyyzzfeefeefeefxyzffffxyz 1/3/2023第一章 矢量分析35【例题例题1.3.41.3.4】证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。场的旋度必无散。0 xyyxe zxxze yzzye xyxlrrF 0yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyzerArF1/3/2023第一章 矢量分析36gfgf)(fggffg)()0(,/)()/(2gggffggfBABA)(AAAfff)(
21、BABA)(四、包含 算子的恒等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）1/3/2023第一章 矢量分析37BAABBA)(AAAfff)()()()()()(BABAABABBA)()()()()(BAABBAABBA（7）（8）（9）（10）1/3/2023第一章 矢量分析380fAAA2)()(0)(gf0)(Aff2（11）（12）（13）（14）（15）1/3/2023第一章 矢量分析391.4 矢量积分定理一、一、高斯散度定理 SVssVdddnASAA证明：sdAdSAS1 S2 ()()sA rdS rA niiniSiSdAdASdASdAi11为为体体积积的的表表面面即即：另
22、另一一面面的的流流入入，最最后后成成刚刚好好是是并并注注意意到到相相邻邻面面的的流流出出将将上上面面所所有有体体积积相相加加，1/3/2023第一章 矢量分析40从散度定义，可以得到：从散度定义，可以得到：()()limlimsVVF rdSdF rVVdV则在一定体积则在一定体积V V内的总的通量为：内的总的通量为：()VF r dV 式中：式中：S S为为包围包围V V的闭合面的闭合面式中：式中：S S为为包围包围体积体积V V的闭合面的闭合面得证！得证！()sF rdS证明证明1/3/2023第一章 矢量分析41()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由由旋度的定义旋度的定义
23、对于有限大对于有限大面面积积s s，可将其按如图方式可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有进行分割，对每一小面积元有c)11()cdd lAAS22()cdd lAAS()sd AScdlA()SlddAlAS证明：证明：得证！得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。积分。二、斯托克斯定理1/3/2023第一章 矢量分析42【例题例题1.4.1】矢量场矢量场 中有一半球面中有一半球面 计算斯托克斯定理中两边的积分值。计算斯托克斯定理中两边的积分值。zyxeyexezrA)()
24、0,1(222zzyxS1/3/2023第一章 矢量分析43三、平面格林定理()SlddAlAS1/3/2023第一章 矢量分析44四、标量格林定理(1)(2)Sd)(V)(2sVdSd)(V)22sVd格林第一定理格林第一定理 格林第二定理格林第二定理令：令：Sd)(V)(22sVd1/3/2023第一章 矢量分析45证明：证明：第一定理第一定理,A令，代入式（代入式（1 1）后求得）后求得dSn)(d)(dV)(SsV又有又有2)()(代回前一式得代回前一式得SSd)(dV)(V21/3/2023第一章 矢量分析46证明：证明：第二定理第二定理令式（令式（1 1）中的）中的 换位置，得换位
25、置，得和Sd)(V)(sVd将上式与（将上式与（1 1）式相减，求得）式相减，求得Sd)(V)22sVd得证得证1/3/2023第一章 矢量分析47SBABABABAd)(d)(dV)(sVVVSABBABAABd)()(dV)()(sVSABABABABd)()(dV)()(sV六 并矢格林定理 五五 矢量格林定理1/3/2023第一章 矢量分析48 七 其他积分定理 ssVASSAnAdd)(dVsVSddVnVsdV)()d(ABBASABSVssVdddnASAAcsslSdAnASAd)(d)(lSddlSlSAlASd)(d1/3/2023第一章 矢量分析49证明证明(1(1)在高
26、斯散度定理中令在高斯散度定理中令CBAC C 是常矢量是常矢量SnCBCBd)(dV)(sVBCCBBCCB)()()()(BnCnCBnCB将以上二式代回高斯定理，得将以上二式代回高斯定理，得SBnCVBCd)(d)(sVC C 提出积分号外，得提出积分号外，得SBnCVBCd)(d)(sVC C 是非零常矢量，可约去，得证是非零常矢量，可约去，得证1/3/2023第一章 矢量分析50证明证明(2(2)在高斯散度定理中令在高斯散度定理中令CAC C 是常矢量是常矢量 将以上二式代回式高斯定理，得将以上二式代回式高斯定理，得C C 提出积分号外得提出积分号外得C C 是非零常矢量，可约去，得证
27、是非零常矢量，可约去，得证SCCddV)(sV)0()(CCCsVdSCCdV0dVsVdSCsVSddV1/3/2023第一章 矢量分析51证明(3)xyzxyzB eB eB eBAAABxxxBB)(sxVxSABABddV)(dV()d(VxxsxA)BBASABdV()d(VyysyA)BBASABdV()d(VzzszA)BBASAB(d)(dsxxxVyyyzzzeeeVB ASABBA)ABBA)ABBA)VzyVxd )()()(zBAyBAxBABAzBAyBAxBA)()()(zyxVsdV)()d(ABBASAB。1/3/2023第一章 矢量分析52（1 1）矢量场除有
28、散和有旋特性外，是否存在）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在 别的特性？别的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它 矢量场的激励源？矢量场的激励源？（3 3）如何唯一的确定一个矢量场？）如何唯一的确定一个矢量场？现在我们考虑如下问题现在我们考虑如下问题1/3/2023第一章 矢量分析531 1、定理内容：、定理内容：空间区域空间区域V V上的任意矢量场，如果它的散度、上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量
29、场的叠加，即：无散矢量场的叠加，即：其中其中 为无散场，为无散场，为无旋场。为无旋场。rFrFrFle rFe rFl 八、矢量场的Helmholtz定理1/3/2023第一章 矢量分析54HelmholtzHelmholtz定理明确回答了上述三个问题。即定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：散场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：0rFe 0rFl1/3/2023第一章 矢量分析55根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根
30、据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1)1)调和场调和场若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：和和 则在该区域则在该区域V V内，场内，场 为调和场。为调和场。0F0F()F r()F r注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均 为零的矢量场。为零的矢量场。2、矢量场的分类1/3/2023第一章 矢量分析56 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但，但在某些位置或整个空间内，在某些位置或整个空间内，则称在，则称在该区域该区域V V内，场内，场 为有源无旋场。为有源无旋场。0F0F()F r()F r2
31、)2)有源无旋场为有源无旋场为保守场保守场，其重要性质为：，其重要性质为：()0cF rdl 1)1)为矢量场通量源密度；为矢量场通量源密度；保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。讨论：讨论：2)2)有源无旋场有源无旋场1/3/2023第一章 矢量分析57 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但，但在某些位置或整个空间内，有在某些位置或整个空间内，有 ，则，则称在该区域称在该区域V V内，场内，场 为无源有旋场。为无源有旋场。()F r0F0FJ()F r说明：式中说明：式中 为矢量场漩涡源密度。为矢量场漩涡源密度。J3)3
32、)无源有旋场无源有旋场1/3/2023第一章 矢量分析58 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域 V V 内，内，在某些位置或整个空间内，有在某些位置或整个空间内，有 则在该区域则在该区域V V内，场内，场 为有源有旋场。为有源有旋场。()F r0F0FJ()F r 有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，有旋场之和，即：即：()()()lsF rF rF r()()0llF rF r()0()ssF rF rJ()()lF rF r ()()sF rF rJ 4)4)有源有旋场有源有旋场1/3/2023第一章 矢量分析59已知已知矢量矢量F F 的通量源密度的通量源密度矢量矢量F F 的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J J场域边界条件场域边界条件（矢量矢量A A 唯一地确定）唯一地确定）研究电磁场的一条主线。研究电磁场的一条主线。5）亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义）亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义1/3/2023第一章 矢量分析601.1 1.6 1.10 1.11 1.13 1.17 1.25 1.26第一章 习题(8个)
