1、第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换学习目标学习目标一、Fourier变换的几种可能形式 时间函数 频率函数连续时间、连续频率傅里叶变换连续时间、离散频率傅里叶级数离散时间、连续频率序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散傅里叶变换连续时间、连续频率傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。()()j tX jx t edt 1()()2j tx tX jed连续时间、离散频率傅里叶级数000/20/201()()TjktTX jkx t edtT00()()jktkx tX jke离散时间、连续频率序列的傅里叶变换()()jj nnX ex n
2、 e1()()2jj nx nX eed离散时间、离散频率离散傅里叶变换210()()NjnkNnX kx n e2101()()NjnkNkx nX k eN四种傅里叶变换形式的归纳傅里叶变换傅里叶级数序列的傅里叶变换离散傅里叶变换(DFS：离散傅里叶级数，DTFT：序列的傅里叶变换，DFT：离散傅里叶变换）二、周期序列的DFS及其性质()()x nx nrNrN周期序列：为任意整数 为周期000 ()()()()aajktakx tx tkTTx tA k e连续周期函数：为周期0002/jktTke 基频：次谐波分量：0 ()()jknkNx nA k e为周期的周期序列：002/jkn
3、Nke基频：次谐波分量：周期序列的DFS正变换和反变换：21100()()()()NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011()()()()NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN2jNNWe其中：()6x nDFS例：已知序列是周期为 的周期序列，如图所示，试求其的系数。10()()NnkNnX kx n W解：根据定义求解 560()nknx n W22266222345666141210 8610jkjkjkjkjkeeeee(0)60(1)93 3(2)33(3)0(4)33(5)93 3XXjXjXXjXj X kz与 变
4、换的关系：010 x nnNx nn令其它 x nz对作 变换:10NnnnnXzx n zx n z 210jkkNNNnkNz WenX kx n WX z 可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角 抽样得到 X k x n x nzz2NzDFS的性质其中，为任意常数,a b11()()X kDFS x n22()()XkDFS x n若1212()()()()DFS ax nbx naX kbXk则2、序列的移位2()()()jmkmkNNDFS x nmWX keX k10()()NnkNnDFS x nmx nm W证：1()()Nmk i mNi m
5、x i W inm令10()()NmkkimkNNNiWx i WWX k3、调制特性()()nlNDFS W x nX kl10()()NlnlnnkNNNnDFS W x nW x n W证：1()0()Nl k nNnx n W()X kl4、周期卷积和1210()()Nmx m x nm12()()()Y kX kXk若1120()()()()Nmy nIDFS Y kx m x nm则12()()()y nIDFS X kXk证：11201()()NknNkX k Xk WN1112001()()NNmkknNNkmx m WXk WN 11()12001()()NNn m kNmk
6、x mXk WN1120()()Nmx m x nm142512()()()(1)()6()()x nR nx nnR nx nx n例：已知序列，分别将序列以周期为 周期延拓成周期序列和，求两个周期序列的周期卷积和。1120()()()Nmy nx m x nm解：5120()()mx m x nmn m1/xn m2xm21xm22xm23xm24xm25xm2/xn m()y n11201()()NlX l XklN12101()()NlXl X klN12()()()y nx n x n若10()()()NnkNnY kDFS y ny n W则三、离散傅里叶变换（DFT）()()rx
7、 nx nrN()()()Nx nx n Rn()()NX kXk()()()NX kX k Rk同样：X(k)也是一个N点的有限长序列()()Nx nNx n长度为 的有限长序列周期为 的周期序列()Nx n()x n的主值序列()x n 的周期延拓10()()()01NnkNnX kDFT x nx n WkN101()()()01NnkNkx nIDFT X kX k WnNN2jNNWe其中：10()()()()()NnkNNNnX kx n WRkX k Rk或 101()()()()()NnkNNNkx nX k WRnx n RnNDFTz与序列的DTFT和 变换的关系：10()
8、()NnnX zx n z10()()NnkNnX kx n W10()()Njj nnX ex n e2()jkNX ex(n)的DTFT在区间0，2上的N点等间隔抽样。2()jkkNNz WeX z(DFT：离散傅里叶变换，DTFT：离散时间信号的傅里叶变换）4()(),()816DFTx nR nx n例：已知序列求的 点和点。DTFTx n解：求的 jj nnX ex n e222222jjjjjjeeeeee32sin 2sin/2je30j nne411jjee 8 8x nDFTN 求的 点 28jkX kX e32 42sin 281 2sin28jkkek38sin2sin8
9、jkkek 16 16x nDFTN 求的点 216jkX kX e3 22 162sin 2161 2sin2 16jkkek316sin4sin16jkkek四、离散傅里叶变换的性质10()()()()NnkNNnX kDFT x nx n WRk101()()()()NnkNNkx nIDFT X kX k WRnN2jNNWe其中：1、线性：,a b为任意常数这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且12max,NN N11()()X kDFT x n22()()XkDFT x n若1212()()()()DFT ax nbx naX
10、 kbXk则2、序列的圆周移位()()()mNNxnx nmRn 定义：()()()x nx nx nm()mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。()()()()mmNNXkDFT xnDFT x nmRn()mkNWX k()()()()NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn证：()()NDFS x nm Rk()()mkNNWX k Rk()mkNWX k调制特性：2()()()()jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n()()()()NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk证：()()NI
11、DFS X kl Rn()()()nlnlNNNW x n RnW x n21()cos()()()2NNNnlDFT x nXklXklRkN21()sin()()()2NNNnlDFT x nXklXklRkNj1()()()2NNNIDFTXklXklRkj证：1()()2nlnlNNWx nW x nj22()2jnljnlNNeex nj2()sinnlx nN3、圆周卷积和1210()()()NNNmx m xnmRn12()()()Y kX kXk若1120()()()()()NNNmy nIDFT Y kx m xnmRn则12()()x nx nN设和都是点数为 的有限长序列
12、1212max(,)NNNN NN（若不等，分别为、点，则取，对序列补零使其为 点）11()()DFT x nX k22()()DFT x nXk12()()()()()Y kX kXky nIDFS Y k证：由周期卷积和，若，则 1120()()Nmx m x nm1120()()()()()()NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120()()NNNmxmxnm1120()()NNmx m xnm12()()x nx nN1120()()()()NNNmy nx m xnmRn1210()()()NNNmx m xnmRn21()()x nx nNN用 表示圆周卷积和1524
13、()(5)()()()x nn R nx nR n例：已知序列，求两个序列的6点圆周卷积和。n m1/x n m2/xn m 266xmRn 2661xmRn 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm()y n11201()()()NNNlX l XklRkN12101()()()NNNlXl XklRkN12()()()y nx nx n若10()()()NnkNnY kDFT y ny n W则4、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1122()01 ()01x nnNx nnN设：12max,NN N令1112120()()*()()()Nlmy
14、 nx nx nx m x nm2121210()()()*()Nmx m x nmx nx n线性卷积：112120()()()()()()NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210()()()()()NNNmx m xnmRnx nx nN点圆周卷积：NN1120()()()NNmrx mx nrNm Rn1120()()()NNrmx m x nrNm Rn()()lNry nrN Rn对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；222()()()Nrx nxnx nrN对x2(n)周期延拓：1120()()()()NcNNmy nx m xnmRn圆周卷积：121N
15、NNN即 当圆周卷积长度时，点圆周卷积能代表线性卷积12()1ly nNN而的长度为()()NclNy ny n点圆周卷积是线性卷积以 为周期的周期延拓序列的主值序列。12-1()lNNNy nN只有当时，以 为周期进行周期延拓才无混叠现象N1212()()()*()x nx nx nx n1212102NNNnNN5、线性相关与圆周相关*()()()xynrmx n y nm*()()nx nm y n线性相关：*()()()xxnrmx n x nm*()()()xxnx nm x nrm自相关函数：*()()()xyyxxyrmrmrm相关函数不满足交换率：*()()()yxnrmy n
16、 x nm*()()kx k y km*()()kx k y km*()()kx k y km*()xyrm*()()()xynrmx n y nm*1()()()xyRzX z Yz()()mxyxymRzrm z*()()mmnx n y nm z*()()mnmx ny nm z*()()()k nnkx ny k z*()()nknkx n zy k z*1()()X z Yz*()()()jjjxyReX eYe2()()jjxxReX e ()()xyxyrmIDFT Rk则1*0()()()NNNnx n ynmRn*()()()xyRkX kYk若1*0()()()NNNny
17、n x nmRn*()()()xyRkX kYk证：先延拓成周期序列 ()()xyxyrmIDFS Rk则 1*01()()NmkNkYk X k WN11*001()()NNnkmkNNknYkx n W WN11*()001()()NNn m kNnkx nYk WN1*0()()Nnx n y nm1*0()()Nny n x nm 则取主值序列1*0()()()NNNnx n ynmRn1*0()()()()NxyNNnrmy n x nmRn当 时，圆周相关可完全代表线性相关121NNN类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系6、DFT形式下的Parsval定理11*001()()()()
18、NNnkx n y nX k YkN*111*0001()()()()NNNnkNnnkx n y nx nY k WN证：11*001()()NNnkNknYkx n WN1*01()()NkX k YkN11*001()()()()NNnkx n x nX k XkN1122001()()NNnkx nX kN即：()()y nx n令，则小结：线性卷积求解方法()()*()()()my nx nh nx m h nm补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)=x(n)*h(n)()()()()y nIZT Y zIZT X zH zz z()()
19、()()X zZT x nH zZT h n五、抽样z变换频域抽样理论时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。频域抽样呢？抽样条件？内插公式？()()()kNnkNz WnX kNWznXX zx对在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：()()?X kx n分析：()z()()nnx nX zx n z任意绝对可和的非周期序列，其 变换：()()NxnX kIDFS令为的：101()()()NnkNNkxnIDFS X kX k WN101()NmknkNNkmx m WWN 1()01()Nm n kNmkx mWN()rx nrN1()0110Nm
20、n kNkmnrNWmN其它r为任意整数()X k由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。()x n所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓1 NM），不失真2NM），混叠失真频率采样定理NM()()()()()NNNxn RnIDFS X k Rnx n()X k()x n1101()1N NkkNzX kNWz()Mx nNNM点有限长序列，频域 点等间隔抽样，且 1100()()()MNnnnnX zx n zx n z11001()NNnknNnkX k WzN11001()NNnknNknX kWzN11011()
21、1NkNNNkkNWzX kNWz用频域采样 表示 的内插公式()X k()X z1101()()1N NkkNzX kX zNWz内插公式：111()1NkkNzzNWz内插函数：10()()()NkkX zX kz则内插公式简化为：20,1,.,1jrNzerN零点：，20(-1)jkNzeN极点：，阶()()jjkkz eez()jX e用频域采样 表示 的内插公式()X k1(1)2sin21sin2kNjNjNNkNeeNkN10()()()()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ()sin2NjNeN内插函数：102 ()()()NjkX eX kkN内插公式：2
22、12 ()20kikNkNiikN六、用DFT对模拟信号作频谱分析00shTfTFNf时域采样间隔时域采样频率信号记录长度（频率分辨率）频域采样间隔采样点数信号最高频率00sTfNTF1/sfT2shff001/TF0sfNF0TNT对连续时间非周期信号的DFT逼近()()j tX jx t edt 1()2j tx tXjed()()()j tj nTnX jx t edtx nT eT ntnTdtTdtT1）将 在 轴上等间隔（T）分段()x tt2）将 截短成有限长序列()x n00 tTN，个时域抽样点N-10()()j nTnX jTx nT e 002 F 0k 210()Njn
23、kNnTx n e3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 ，时域周期延拓，周期为0F001/TF0N-100()()jknTnX jkTx nT e002/2/sTFfN()T DFT x n01()()2sj nTx nTX jed010001()2NjknTkX jke0100Nkdd 21000()NjnkNkFX jke21001()NjnkNskfX jkeN1NN01/()T IDFT X jk对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域抽样2）时域截断3）频域抽样0()()X jkT DFT x n01()()x nIDFT X jkT近似逼近：对连续时间周期信号的DFS逼近00
24、0001()()TjktX jkx t edtT00()jktkx tXjke010001()()NjknTnX jkx nT eTT0100 NTntnTdtTdtT1）将 在 轴上等间隔（T）分段()x tt1()DFS x nN02/TN0TNT2101()NjnkNnx n eN2）频域截断：长度正好等于一个周期0100()()NjknTkx nTX jke2100()NjnkNkX jke21001()NjnkNkNX jkeN0()N IDFS X jk01()()X jkDFS x nN0()()x nN IDFS X jk近似逼近：频率响应的混叠失真及参数的选择00sTfNTF
25、2shff时域抽样：001/FT频域抽样：同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。00sTfNTFhsff要增加信号最高频率则0NF当 给定必，即分辨率0001FTF要提高频率分辨率，即则shNTff当 给定 则要不产生混叠，必信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾hf信号最高频率 的确定0/2htT0112hhfTtFFT例：有一频谱分析用的处理器，其抽样点数必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理措施，已给条件为：11024HzkHz）频率分辨率）信号最高频率0 1 2T NT试确定以下参量：）最小记录长度）抽样点间的最大时间间隔（即最小抽样频率）3）在一个记录中最少点数1解：）最小记录长度：00110.110TsF221/shsfffT）最大抽样间隔 （）3110125224 10hTmsf.3）最小记录点数30224 1080010hfNF 10221024800mN 取频谱泄漏对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏1）增加x(n)长度2）缓慢截短栅栏效应DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数频率分辨率001/FT
