1、立体几何的向量方法立体几何的向量方法 综合应用综合应用树兰学校：曹洪霞树兰学校：曹洪霞天才是天才是1%的灵感加上的灵感加上99%的汗水的汗水 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，作的中点，作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF FH例例 题题 剖剖 析析小结1小结2小结3ABCDP PE EF FY(2)（解法一）：如图所示建立空间直角坐标系（解法一）
2、：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ,设设DC=1，则，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2)XZ021210)21,21,0()1,1,1(DEPBDEPB，DEPB,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD底底面面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，作的中点，作EFPB交交PB于点于点F.(2)求证：求证：PB平面平面EFDY 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD底底面面ABCD，PD=DC,E是是PC的
3、中点，作的中点，作EFPB交交PB于点于点F.(2)求证：求证：PB平面平面EFD(2)解法二：如图所示建立空间直角坐标系解法二：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ,设设DC=1，则，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2)）。，（即即：则则设设323131.32,31,310),()1,1,1()1,1,1()1,(0,/),(FzyxzyxkzyxDFPBPBkPFDFPBPBPFzyxFABCDP PE EF FZXY./)1,1,1()1,1,1(.1,1,10323131021210,0,EFDPBnPBnPBnyxzzyxzxDFnDEnDFnDEnEFDz
4、yxn面面又又则则，取取则则平平面面）（设设DE EF FP PXZYBC又又E(0,1/2,1/2)F（1/3,1/3,2/3）ABCDP PE EF FXZBCY,),(1)3(PBCzyxnDC面，法一：如图建系，设.60为为二二面面角角DPBC60,2122010,cosmnmnmnmnPBDm平面平面同理可求同理可求).0,1,1().1,1,0(10,1,000,0nyxzzyzyxPCnPBn即有：另则，则则)1,1,0(),1,1,1().0,1,0(),0,1,1(),1,0,0(PCPBCBP(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF FXYZ
5、的平面角。是二面角）可知由（法二：DPBCEFDDFPBEFPB,2,)3(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。BCY（其中由（其中由(2)知知PB平面平面EFD）。，（即即：则则设设323131.32,31,310),()1,1,1()1,1,1()1,(0,/),(FzyxzyxkzyxDFPBPBkPFDFPBPBPFzyxF)21,21,0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD小小 试试 牛牛 刀刀小结4xzy方法一：方法一：XYZ
6、XYZ方法二：方法二：10303152,cos135cos2022aaaCDABaaaBCABBDABBCBDABCDAB提提示示：aEzxyF1 1F2 2F3 3ACBO500kg 如图如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力在它的顶点处分别受力 、，每个力与同它相邻的，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是三角形的两边之间的夹角都是 ，且，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？为多大时，才能提起这块钢板？500kg1F 2F 3F
7、 60 123200FFFkg 合力答案F1 1F3 3F2 2F1 1F2 2F3 3ACBO500kgF1 1F3 3F2 2坐标系321321FFFFFFF合合对对角角线线所所在在向向量量，即即：为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的、合合力力就就是是以以F1 1F2 2F3 3ACBO500kg620020062132002200322221332212322212321合合合合合合FFFFFFFFFFFFFFF1、立体几何中的向量方法的、立体几何中的向量方法的“三部曲三部曲”：用空间向量用空间向量表示立体图表示立体图形中的点、形中的点、直线、平面直线、平面等元素等元素 进行空间向量进行
8、空间向量的运算，研究点、的运算，研究点、直线、平面之间直线、平面之间的关系以及它们的关系以及它们之间的距离和夹之间的距离和夹角。角。把运算结果把运算结果“翻译翻译”成相成相应的几何意应的几何意义。义。2、解决立体几何问题常用方法：、解决立体几何问题常用方法：综合法综合法向量法向量法坐标法坐标法总结 lua/l0 uauabbkabal/则则：、的的方方向向向向量量分分别别为为、直直线线，平平面面面面：直直线线一一、线线.,/bablbul),()1(zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,)3(bnanzyx方程
9、组的关于根据法向量的定义建立求平面法向量的方法和步骤：求平面法向量的方法和步骤：（4）解方程组，）解方程组，另其中一个变量等于一个另其中一个变量等于一个特殊值，特殊值，再代入方程求出其它变量，即得一再代入方程求出其它变量，即得一个法向量。个法向量。例1 l uuaua /laCDAB00CDaCDaABaABal则则：的的方方向向向向量量分分别别为为直直线线内内相相交交且且都都在在平平面面、面面：二二、线线.,alCDABu例1方向向量法方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱
10、）的夹角。如图（的夹角。如图（2），设二面角），设二面角 的大小为的大小为其中其中AB lCDlCDABl,CDABCDABCDAB,coscos三、二面角的平面角三、二面角的平面角DCBAl 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角 的大小的大小 mn，lnm,若二面角若二面角 的的大小为大小为 ,则则l(0)cos.u vu v 法向量法法向量法注意法向量的方向：同进注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角二面角等
11、于法向量夹角.即即“同进同出互补，一进一同进同出互补，一进一出相等出相等”nm,或或三、二面角的平面角三、二面角的平面角“同进同出互补同进同出互补”例1四、异面直线成角四、异面直线成角lamlamb (1)定义定义:设设a,b是两条异面直线是两条异面直线,过空间任一点过空间任一点O作直作直线线a a,b b,则则a,b 所夹的锐角或直角叫所夹的锐角或直角叫a与与b所成的角所成的角.babababababacos.,)2(即即或或则则直直线线所所成成角角的的方方向向向向量量分分别别为为，设设直直线线练习一、用向量解决如下问题：一、用向量解决如下问题：1、平行和垂直、平行和垂直2、角度、角度二、向量的二、向量的“数数”和和“形形”运算运算三、向量解决立体几何的三、向量解决立体几何的“三部曲三部曲”用空间向量用空间向量表示立体图表示立体图形中的点、形中的点、直线、平面直线、平面等元素等元素 进行空间向量进行空间向量的运算，研究点、的运算，研究点、直线、平面之间直线、平面之间的关系以及它们的关系以及它们之间的距离和夹之间的距离和夹角。角。把运算结果把运算结果“翻译翻译”成相成相应的几何意应的几何意义。义。课后作业：课后作业：优质课堂优质课堂114页一、二题页一、二题
