1、（20112011年年）如图：在长方体）如图：在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E,F,OE,F,O分别为分别为CDCD，CCCC1 1和和B B1 1D D1 1的中点，的中点，AB=BC=3AB=BC=3，BBBB1 1=4=4。（1 1）求证求证：ABCDoA1B1D1C1 （2）求求EF与与DB所成角的余弦所成角的余弦（20102010）已知：已知：M M，N N分别是正方体分别是正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D!的棱的棱BBBB1 1和和B B1 1C C1 1的中点。的中点。（1 1）求证：）求证：A
2、BMN ABCDD A1B1D1C1MN（2）求求MN和和AD所成的角所成的角（20092009年年）长方形）长方形ABCDABCD，沿，沿BDBD将三角形将三角形BCDBCD折起，折起，C-CC-C1 1在平面在平面ABDABD的射影的射影O O在在ABAB上。上。（1）求证：）求证：11BCAC ABCDC1o（2）若已知角）若已知角C1BA=600，求面求面ADC1与面与面BDA所成的角所成的角一一、考、考试动态分析试动态分析AOBDEF 立体几何中的垂直问题立体几何中的垂直问题崔艳梅崔艳梅二、解题思想二、解题思想:化归转化的数学思想化归转化的数学思想三、转化依据：垂直的判定和性质三、转
3、化依据：垂直的判定和性质线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 1、直线和平面垂直的判定定理：直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直都垂直,那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.onmllnmonmmlnl,线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 LPm2、直线和平面垂直的性质定理：直线和平面垂直的性质定理：如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的任意一条直线。垂直这个平面内的任意一条直线。mlml线面垂直线面垂直 线线垂直线线垂直3、平面与平面垂
4、直的判定定理：平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。垂线，那么这两个平面相互垂直。mm m线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。4、平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理：lmlmllm面面垂直面面垂直 线面垂直线面垂直CmlAB5、三垂线定理：、三垂线定理：在平面在平面 内的射影，直线内的射影，直线m在在 内内直线直线 是平面是平面 的一条斜线的一条斜线l
5、直线直线BC是直线是直线 lm l则则m BC返回返回线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 判定判定 判定判定性质性质性质性质平面几何定理平面几何定理三垂线定理三垂线定理四、线线四、线线 线面线面 面面垂直的转化关系：面面垂直的转化关系：ABCDoA1B1D1C1例例1 1：（：（20102010年）如图：在长方体年）如图：在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，O O为底面中心，为底面中心，AB=BC=3AB=BC=3，BBBB1 1=4=4。求证：求证：BDAO 证法一：三垂线定理证法一：三垂线定理证明：长方体ABCD-A1B1C1D1
6、11111DCBA面AAOAAO1在底面上的射影为又111DBOA而三垂线定理）故(BAO11DBDAO 故又BD/B1D1ABCDoA1B1D1C1例例1 1：（：（20102010年）如图：在长方体年）如图：在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，O O为底面中心，为底面中心，AB=BC=3AB=BC=3，BBBB1 1=4=4。求证：求证：BDAO 证法二：线面垂直证法二：线面垂直证明：长方体ABCD-A1B1C1D1DCBA1111面AA111DBOA而11BAODBDAO 故111DBAA OAADB111面OAAAO1面又又BD/B1D1A
7、BCDoA1B1D1C1例例1 1：（：（20102010年）如图：在长方体年）如图：在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，O O为底面中心，为底面中心，AB=BC=3，BB1=4。求证：求证：BDAO 证法三：直接证证法三：直接证 长方体ABCD-A1B1C1D111BAODBDAO 故 又BD/B1D1AB=BC=3，BB1=4故AB1=AD1又O是B1D1中点证明：连接AB1，AD1ABCDD A1B1D1C1已知：已知：M M，N N分别是正方体分别是正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D!的棱的棱BBBB1 1和
8、和B B1 1C C1 1的中点。的中点。MN（2009年）年）练习练习1：求证：求证：MNABPABC例例2 2：（：（20072007年）已知年）已知ABAB是圆的直径，是圆的直径，PAPA垂直圆垂直圆O O所在的平面，所在的平面，C C是圆上任一点。是圆上任一点。证明：证明：PA O所在的平面所在的平面PABC又又AB是圆的直径，是圆的直径，C是圆上任一点是圆上任一点ACBC又ACPA=A故BC面PAC求证：求证：BC面PAC练习练习2:如图如图A为为BCD所在平面外一点，所在平面外一点，AC=AD，BC=BD,E为为CD中点。中点。求证求证:CD 面面ABEABCDE例3：已知平面ADE 平面ABCD，四边形ABCD是矩形.求证：平面ADE 平面CDEABCDE证明：又平面ADE 平面ABCD四边形ABCD是矩形.CDAD故DC 面ADECDEDC面又平面平面ADE 平面平面CDEADABCDADE面面已知直线已知直线PA垂直正方形垂直正方形ABCD所在的平面，所在的平面，A为垂足。为垂足。求证：平面求证：平面PAC 平面平面PBD。ABDPCO练习练习3：五、课堂小结：五、课堂小结：一种思想：化归与转化的思想一种思想：化归与转化的思想一个考点：空间垂直一个考点：空间垂直
