1、分数阶“天棚”阻尼理论及应用南京林业大学机电工程学院2006.5江苏省第一届力学大会交流论文陈 宁一.分数微积分理论简介 三个世纪前,当Leibnitz引入dny/dtn求导符号时,LHopital向他问了一个问题:当n=1/2时有什么意义?Leibnitz回答也很有预言性:它将导致一个自相矛盾,将来的一天,会得到一个有用的来自于此矛盾的结论.三个世纪来,分数微积分理论的研究完全属于纯理论数学研究的范畴.在过去的几十年中,分数微积分理论开始运用到一些物理系统和材料的动力学行为的描述中,特别是具有记忆或迟滞特性的系统和材料.今天,分数微积分理论运用于电化学、波散射、概率、粘弹性和迟滞力学、控制理
2、论等。1.1 分数微积分理论的起源和发展现状1.2分数微积分的定义1.黎曼-李奥弗勒(Riemann-Liouville)分数积分定义(1840)0,0,11tdxxfxttfJtfDtatata其中是一任意正实数(R R+),且 tftIftfJtfD002.卡卜托(Caputo)定义(1967)()11()()()1()()ntCnnatnafdD f tDD f tnnnt 3.Grndwald-Letnikov定义00()lim(1)()kjt khhjD f thf khjhj1.3 分数微积分的基本性质指数定律:JJJJJ 拉普拉斯变换:sfstfLstfJLt1.4 分数微积分的
3、应用领域011()()()()jiIJijijta DtEtE Dt22(,)(,)u x tu x tux 1201()()001mmMdP tP tmSdt102000txkTukkD Tut Heat flux000(,0)0(0,)(,)0txxuuxtu xutTu x tasx 二.悬架模型及“天棚”阻尼控制sssdsuusdtum xffm gm xfffm g 悬架的动力学方程2.1悬架动力学模型其中：fs 悬挂部分的弹性力；fd 悬挂部分的阻尼力；ft 轮胎力Ms 悬挂部分质量，Mu 非悬挂部分质量2.2“天棚阻尼”主动控制sssdsshsuusdtum xffm gc xm
4、 xfffm g“天棚”阻尼控制下悬架的运动方程:这儿csh称为”天棚（Sky-hook）”阻尼系数。通常”天棚”阻尼控制主要应用于线性悬架动力学主动控制模型,由于”天棚”阻尼控制下的悬架的悬载部分具有良好的动力特性、平顺性和较好的鲁棒性,常常被作为各类悬架的主动或半主动控制方法和策略中的参考模型.一般”天棚”阻尼系数csh由最优控制方法得到.2.3 分数阶“天棚阻尼”概念sssdsshsuusdtum xffm gc D xm xfffm g 分数“天棚”阻尼控制下悬架的运动方程:其中 D=d/dt，其中（02),其状态方程为122134411ssdsssdtuxxcxffD xgmmxxx
5、fffgm230113213313221132131242243()sdttrfkkxxkxxkxxfcxxcxxcxxcxxfk xxk0=2316.4,k1=22394,k2=-73.696,k3=3170.400,c1=1385.4 c2=524.28,(The SPMD data from the 1992 model Hyundai Elantra front suspension were used.)对于线性悬架,各项力的表达式为13243()ssdsttrfkxxfcxxfk xx对于非线性悬架,各项力的表达式为 对分数阶系统方程的求解是分数微积分理论主要研究的课题之一,目前对
6、分数阶系统的研究仍以低阶系统为研究对象,其求解的方法主要有以下几种:1)解析法 拉氏变换，富氏级数法,Adomian 分解法,特殊函数法（MittagLeffler函数等）2)数值法 差分法,样条函数法,预估校正法等3)滤波器算法 Oustaloup 算法,FIR 滤波器算法,IIR 滤波器算法,Pade逼近等2.4 分数阶微分方程的求解方法三、分数阶“天棚”阻尼在悬架系统控制中的应用3.1 分数阶“天棚”阻尼在线性悬架系统控制中的应用线性悬架动力学状态方程XAXBuFw式中 X=(x1 x2 x3 x4)T 为状态矢量,u=cshDx1 为控制输入(“天棚”阻尼)矢量,w=(xr(t)g )
7、T 为输入矢量,其中矩阵如下01000001sssssssssstssuuuukckcmmmmAkckkcmmmm0100smB0001001tuFkm050010001500200025003000350040004500500000.511.522.53Sky-hook damper coefficients(Nm/s)accelerations(m/s2)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.20500100015002000250030003500400045005000-3150-3100-3050-3000-2950-2900-2850-2800-2750-2700Sky-hook
8、 damper coefficients(Nm/s)Tire force(N)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.205001000150020002500300035004000450050000.1720.1740.1760.1780.180.1820.1840.1860.1880.19Sky-hook damper coefficients(Nm/s)Xu-Xs(m)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2(a)(b)(c)不同阶“天棚”阻尼器的线性悬架响应幅与阻尼系数的关系（a）悬架加速度响应（b）轮胎力响应（c）悬架与非悬挂部分间的 行程幅度3.2 分数阶“天棚”阻尼在非线性悬架系
9、统控制中的应用非线性悬架动力学状态方程()XAXf XBuFw式中 X=(x1 x2 x3 x4)T 为状态矢量,f(X)为系统非线性部分矢量,u=cshDx1 为控制输入(“天棚”阻尼)矢量,w=(xr(t)k0/ms+g k0/mu+g)T 为输入矢量,其中A,B矩阵不变,F矩阵改为:00001000001tuFkm2323221313242323221313240()()()()0()()()sssuuukkcxxxxxxmmmf Xkkcxxxxxxmmm-0.38-0.37-0.36-0.35-0.34-0.33-0.32-0.31-0.3-0.29-0.6-0.4-0.200.20
10、.40.60.8displament of suspension(m)voecity of suspension(m/s)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-3-2-10123Displacmentof suspension(m)Voecity of suspension(m/s)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2Xr（t）=0.1sin(10t)Xr（t）=0.2sin(10t)-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4=0.8=0.9
11、=1.0=1.1=1.2Xr（t）=0.15sin(2t)-0.33-0.325-0.32-0.315-0.31-0.305-0.3-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2Xr（t）=0.05sin(30t)05001000150020002500300035004000450050002468101214161820Sky-hook damper coefficient(Nm/s)Acceleration (m/s2)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2050010001500200025003000350040004500500033
12、.023.043.063.083.13.123.143.163.183.2x 104Sky-hook damper coefficient(Nm/s)Tire force(N)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.205001000150020002500300035004000450050000.320.340.360.380.40.420.440.460.48Sky-hook damper coefficient(Nm/s)Xu-Xs(m)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2不同阶“天棚”阻尼器的非线性悬架响应幅与阻尼系数的关系（a）悬架加速度响应（b）轮胎力响应（c）悬架与非悬挂部分
13、间的行程幅度(a)(b)(c)路面输入xr(t)为滤波白噪声,其数学模型为00()2()2()rrx tf x tG uw t 3.3 路面输入仿真分析050010001500200025003000350040004500500022.22.42.62.833.23.43.63.84Sky-hook damper coefficients (Nm/s)acceleration(m/s2)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2050010001500200025003000350040004500500055505600565057005750580058505900Sky-hook dam
14、per coefficients (Nm/s)Tire force(N)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2不同阶“天棚”阻尼器的非线性悬架响应幅与阻尼系数的关系：（a）悬架加速度响应；（b）轮胎力响应；（c）悬架与非悬挂部分间的行程幅度。(a)(b)05001000150020002500300035004000450050000.1760.1780.180.1820.1840.1860.1880.19Sky-hook damper coefficients (Nm/s)Xu-Xs(m)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2(c)05101520253035404550-4-3-2-1
15、01234Time (sec)acceleration=1.0=1.2051015202530354045500.120.130.140.150.160.170.180.190.20.21Time (s)Xu-Xs=1.0=1.2051015202530354045500100020003000400050006000Time (sec)Tire force(N)=1.0=1.2050010001500200025003000350040004500500022.22.42.62.833.23.43.63.8Sky-hook damper coefficient(Nm/s)Accelerati
16、on(m/s2)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.205001000150020002500300035004000450050007750780078507900795080008050810081508200Sky-hook damper coefficient(Nm/s)Tire force(N)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.205001000150020002500300035004000450050000.2650.270.2750.28Sky-hook damper coefficient(Nm/s)Xu-Xs(m)=0.8=0.9=1.0=1.1=1.2不同阶“天棚”
17、阻尼器的非线性悬架响应幅与阻尼系数的关系（a）悬架加速度响应（b）轮胎力响应（c）悬架与非悬挂部分间的行程幅度(a)(b)(c)05101520253035404550-5-4-3-2-101234Time (sec)acceleration (m/s2)=1.0=1.2051015202530354045500.210.220.230.240.250.260.270.280.29Time (sec)Xu-Xs (m)=1.0=1.205101520253035404550-1.5-1-0.500.511.522.533.5x 104Time (sec)Tire force=1.0=1.2分数阶天棚阻尼的应用可以进一步提高”天棚”阻尼控制策略的优点;悬架的性能与分数阶“天棚”阻尼的阶数具有连续性;分数阶”天棚”阻尼的阶数变化对干扰频率的高低有明显不同的反应.四.结论
