1、一一 如增幅相等如增幅相等（等差数列等差数列）：）：例：例：1、3、5、7求第求第n位数位数例：例：2、4、6、8求第求第n位数。位数。例：例：4、10、16、22、28，求第，求第n位数。位数。4、6、8、10、12相邻之差是相邻之差是2第一数第一数4差差序序+某某 2+2第二数第二数6差序差序+某某 2+2第三数第三数8差序差序+某某 2+2第四数第四数10差序差序+某某 2+2第第n数差数差序序+某某 2n+2等差规律：差乘序等差规律：差乘序+某数某数（1）1、3、5、7、相邻之差是相邻之差是2差差序序+某某 2 1（2）6、8、10、12第第n个数是个数是2n-1差差序序+某某 2+4
2、第第n个数是个数是2n+4相邻之差是相邻之差是2等差规律：差乘序等差规律：差乘序+某数某数树的高度与树生长的年数树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高数据如下表：（树苗原高100厘米）年数厘米）年数n高度高度h（单位：厘米）（单位：厘米）1)填出第填出第4年树苗可能达年树苗可能达到的高度；到的高度；(2)请用含请用含n的代数式表示的代数式表示高度高度h：_年数年数n n 高度高度h h（单位：（单位：厘米）厘米）1 11151152 21301303 31451454 4115=差差序序+某某 15+100改序为改序为n等差规律：差乘序等差规律
3、：差乘序+某数某数点图中每边为等差变化点图中每边为等差变化.边数不变，边数不变，则总点数也是等差变化则总点数也是等差变化等差等差等差等差总点数分别是总点数分别是6，8，10，。等差，差为，。等差，差为2图图16差乘序差乘序+某某2+4，所以第所以第n个图个图2n+4等差规律：差乘序等差规律：差乘序+某数某数下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律，第一定规律拼接而成。依次规律，第5个图案中个图案中白色正方形的个数为白色正方形的个数为 ；第第n个图案中白色正方形的个数为个图案中白色正方形的个数为_。第第1个个第第2个个第第3个个第10
4、题图85+3为庆祝为庆祝“六一六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆棒摆“金鱼金鱼”比赛如图所示，按照上面的规律，比赛如图所示，按照上面的规律，摆摆n个个“金鱼金鱼”需用火柴棒的根数需用火柴棒的根数_一个小图是一个小图是8根，每增加一个图多根，每增加一个图多6根根6n2根根平方数列：与平方数列：与1，4，9，16，25，36，49，64相关的数列相关的数列平方数列规律：把第一个数折为（序平方数列规律：把第一个数折为（序+某）某）2，改序为改序为n,例：例：4，9，16，25，。，。第一个数第一个数4（序（序+某）某）2（+1）2第第n个数（个数（n+1）2练习练习9，1
5、6，25，36，。，。练习练习（2）5，10，17，26，。，。第一个数第一个数9（序（序+某）某）2（+2）254+1（序（序+某）某）2+1（+1）2+1第第n个数（个数（n+2）2第第n个数（个数（n+1）2+1平方数列规律：（序平方数列规律：（序+某）某）2例：例：3，15，24，35，。，。观察知，数列比观察知，数列比4，16，25，36都小都小1341（序（序+某）某）21（+1）21第第n个数（个数（n+1）21平方数列规律：（序平方数列规律：（序+某）某）2正方形点图，点变边也变（平方列规律）正方形点图，点变边也变（平方列规律）总点数分别是总点数分别是4，9，16，平方列规律（
6、，平方列规律（n+1）2平方数列规律：（序平方数列规律：（序+某）某）26下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子子观察图形的变化规律，写出第观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了个小房子用了 块石子块石子（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。差数列）。2、5、10、17，求第，求第n位数。位数。例如，观察下列各式数：例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第。试按此规律写出的第100个数个数是是 。（三）增幅不
7、相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。二、基本技巧二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。给出的数：0，3，8，15，24，。序列号：1，2，3，4，5，。（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（），（），的第n为例如
8、：2、6、12、20、（）、42、（2n-1）230（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.答案与2的乘方有关 即：n3+12n（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5 分析观察可得，新数列的第n项为：n2-1，所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2n2+1（五）有的
9、可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例：4，16，36，64，？，144，196，？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方。（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。三、基本步骤三、基本步骤 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律 如不行，就运用技巧（四）
10、、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题例1 观察下列算式：用你所发现的规律写出 的末位数字是_。,65613,21873,7293,2433,813,273,93,338765432120043观察下列式子：；请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来_。3262414312252542026365302747如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：a所表示的数：。b所表示的数：。155114411331121111bba将1，按一定规律排成下表：
11、试找出 在第 行第 个数2131415161120061511411311211111019181716151413121111把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？2001991981971961952827262524232221201918171615141312111098765432112将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）19
12、86；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。1001100099999899799699528272625242322212019181716151413121110987654321（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子第13题图（2010年四川省眉山市）如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图）；再将第二个图中最
13、中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有_个正三角形2、已知下列等式：1312；132332；13233362；13233343102；由此规律知，第个等式是 第n个等式是 3、观察下列各式；、1+1=12；、2+2=23；、3+3=34；请把你猜想到的规律用自然数n表示出来 。4、观察下面的几个算式：、1+2+1=4；、1+2+3+2+1=9；、1+2+3+4+3+2+1=16；根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子 5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1
14、、，那么第2005个数是 。2，设a、b都表示数，规定：a*b=3a2b。试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）练习练习 一一24=8，53=13，35=11，97=25。按此规律计算：73。例例5：1，有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：62=12，43=13，34=15，51=8。按此规律计算：84。练习练习 五五21、（2010年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a b=n，可以使：（a+c）b=n+c，a（b+c）=n2c，如果1 1=2，那么2010 2010=6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、，中间用虚线围
15、的一列，从上至下依次为1、5、13、25、，则第10个数为_。第1行 1第2行 2 3第3行 4 5 6第4行 7 8 9 10第5行 11 12 13 14 15 7、已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 8 有一列数：，第9个数是 .9观察下列各式：，将上面的规律用含有n的公式表示出来是 .10观察下列各式：，用n（自然数）把这个规律表示出来41,33,32,31,22,21,12111232222433325444211观察下列等式918，16412，25916，361620，这些等式反映出自然数间的什么
16、规律呢？设n表示自然数，请用含有n的等式表示出来。12 计算：1234567891011121993199419951996199715、观察下列球的排列规律(其中是实心球，是空心球)：从第1个球起到第2005个球止，共有实心球 个19.研究下列等式，你会发现什么规律？13+1=4=2224+1=9=3235+1=16=4246+1=25=52设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.观察下列几个算式，找出规律：121=412321=91234321=16123454321=25利用上面规律，请你迅速算出：1239910099321=据你会算出123100是多少吗？据上你能推导出123n的计算
17、公式吗？计算：，若符合前面式子的规律，则。10102 babaab11111()3523511111()57257111 11()792 79计算：11111 11124466 81820 L 电话费与通话时间之间的关系如下表：通话时间x(分)电话费y(元)通话时间x(分)电话费y(元)(1)写出用通话时间x表示电话费y的公式：_.(2)并用你所列的公式求当通话时间x=100分钟时的费用：_.(3)小明家四月份电话费是96.6元，那么他家一共打了多长时间的电话：_.通话时间通话时间x(分分)电话费电话费y(元元)10.3+0.620.6+0.630.9+0.641.2+0.651.5+0.6如
18、图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第n个图案所需花盆的总数是_ *.观察正方形图案，每条边上有 个圆点，每个图案中圆点总数式 ，按此推断 与 的关系式为)2(nnSSnn=2,S=4n=3,s=8n=4,s=12柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有 听罐头，第二层有 听罐头，第三层有 听罐头，根据这堆罐头排列的规律，第n（为正整数）层有 听罐头（用含的式子表示）第8题图2 33 44 5把正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 这样的数称为“三角形数
19、”，而把1、4、9、16 这样的数称为“正方形数”从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是（）A13=3+10B25=9+16 C36=15+21 D49=18+314=1+3 9=3+6 16=6+10图7（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖-_块，第n个图形中需要黑色瓷砖_块（用含的代数式表示）（1）（2）（3）(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第2009次输出的结果为_（第13题）输入 +3输出为偶数为奇数xx12x观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 第1个第2个第3个图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成图6(1)(2)(3)
