利用向量求点到平面的距离课件.ppt

1、欢欢迎迎指指导导!郑州市十二中高二备课组郑州市十二中高二备课组 2006.3.12n ba(,)nx y z 利用法向量求利用法向量求点到平面的距离点到平面的距离一、复习引入一、复习引入三、归纳小结三、归纳小结五、反馈总结五、反馈总结二、探索新知二、探索新知四、巩固迁移四、巩固迁移六、反思作业六、反思作业问题问题1 1则则123123(,),(,)(0,0).aa aabb b bab=构rrrr rra b=r rabrr332211bababa.0332211bababa设设一、复习引入一、复习引入若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=(x2-x1,y2-y1,z2

2、-z1)(2)若若M（x，y，z）是线段）是线段AB的中点，的中点，则则 ,xyz=(1)问题问题2 2122xx+122yy+122zz+平面的法向量平面的法向量如果如果n ,那么向量那么向量n叫叫做平面做平面 的法向量的法向量.问题问题3 3n/,/,abb如果如果 是平面是平面 的法向量的法向量,那么那么na0,0.n an b 向量a在轴l上或在e方向（e是l上同方向的单位向量）上的投影:OB aelOAB问题问题4 4a b=r r0,0ab构rr rr，设设cos,a b=r rcos,a ba br rr r则则.a ba br rr rcos,aaa ee .aelBAOAO

3、cos,aaa ee .AoBn二、探索新知二、探索新知 AB n0n?已知平面 ,点A ,设 是平面 的法向量，则点 A到 的距离AO的长如何表示呢 例例 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边的边长为长为4，E、F分别是分别是AB、AD的中点，的中点，GC平面平面ABCD，且，且GC2，求点，求点B到到平面平面EFG的距离的距离DCABGFE解解 :三、归纳小结三、归纳小结用法向量求点到平面距离的一般过程是:nAB AB n|cos,|AB ndABABnn (1)建立建立适当的适当的空间直角坐标系空间直角坐标系,求求出需要的出需要的点点的坐标的坐标;(2)求出平面的法向量求出平面的

4、法向量 ;(3)作向量作向量 (点点A为平面外一定点为平面外一定点,点点B为平面内任一点为平面内任一点);(4)求向量求向量 在法向量在法向量 上的射影的长度上的射影的长度0|.|nABAB nn (其中其中 是与 同方向的单位法向量)0n n 说明：利用法向量求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需 技巧，可以人人学会。变式题变式题：已知正方体：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的棱长为长为1，求点，求点A 到平面到平面A1C1D的距离的距离BCC1D

5、B1A1D1Axz四、巩固迁移四、巩固迁移y迁移题迁移题 如图，已知如图，已知 ABC是等腰三角是等腰三角形，形，AB=BC=2a,ABC=120,且且SA平面平面ABC,SA=3a,求点求点A 到平面到平面SBC的距离的距离 ACSBxyz五、反馈总结五、反馈总结(2)(2)在求法向量的过程中在求法向量的过程中,解方程组之后解方程组之后,不能令不能令x x或或y y或或z z 为为0;0;(1)(1)建立空间直角坐标系是关键建立空间直角坐标系是关键,求点的求点的坐标要准确坐标要准确;(3)(3)点到平面的距离公式点到平面的距离公式 中,点点A A为平面为平面 外一定点外一定点,点点B B为平

6、面为平面 内任一内任一点点,为平面为平面 的法向量的法向量.|AB ndn n0|.|ndABAB nn (4)(4)公式实质为公式实质为六、反思与作业六、反思与作业 在棱长为的在棱长为的正方体正方体 中，中，E、F分别是棱分别是棱 的中点的中点 试用向量方法试用向量方法求点求点 到平面到平面EFBD的距离的距离.反思反思:通过本节课谈谈自己的收获通过本节课谈谈自己的收获 是什么是什么?作业作业:1111ABCDABC D1111,AD AB1BBCC1DB1A1D1AEF 在棱长为的在棱长为的正方体正方体 中，中，E、F分别是棱分别是棱 的中点的中点 试用向量方法试用向量方法求点求点 到平面

7、到平面EFBD的距离的距离.作业作业:1111ABCDABC D1111,AD AB1BBCC1DB1A1D1AEF欢迎指导 谢谢！欢 迎 指 导谢谢！AoBn|cos,|AOAB nAB|cos,|AOABAB n|.|AB nAB nABAB nn|cos,|cos,|AB nAB AO|.|AB ndn 即点 A到平面 的距离为 在直角三角形AOB中,得由|cos,|dABAB n 其中其中,是平面 的单位法向量0n 0|.AB n AoBn AB|.|AB nAB nABAB nn 0n 点A到平面 的距离 可以看成 （点B是平面 内任一点）在平面 的法向量 的方向上的射影的长度:nA

8、Buuu r其中其中,是平面 的单位法向量0n 0|.dAB n AoBn AB 0n 重点理解：B 1AoBn|cos,|AOABAB n 2|AOAO AOAOABBO|.|AB nAB nABAB nn cos,|AOABAB AO 2 cos,|,AOAO ABAB AO cos,|AO ABAO ABAB AO|()|)|AOABBOAO ABAO BO ABnn=uuu r rrABdnBAcosA BABq=uuuu ruuu rcoscosdA BABABqq=uuuu ruuu ruuu rcosAB nnq=uuu r rr0|.|nABAB nn 即向量即向量 在法向量在

9、法向量 上的射影的长度上的射影的长度AB n 例例 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长的边长为为4，E、F分别是分别是AB、AD的中点，的中点，GC平面平面ABCD，且，且GC2，求点，求点B到到平面平面EFG的距离的距离DCABGFE解解 :三、归纳小结三、归纳小结用法向量求点到平面距离的一般过程是:nAB AB n|cos,|AB ndABABnn (1)建立建立适当的适当的空间直角坐标系空间直角坐标系,求求出需要的出需要的点点的坐标的坐标;(2)求出平面的法向量求出平面的法向量 ;(3)作向量作向量 (点点A为平面外一定点为平面外一定点,点点B为平面内任一点为平面内任一点);

10、(4)求向量求向量 在法向量在法向量 上的射影的长度上的射影的长度0|.|nABAB nn (其中其中 是与 同方向的单位法向量)0n n 说明：利用法向量求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需 技巧，可以人人学会。变式题变式题：已知正方体：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的的棱长为棱长为1，求点，求点A 到平面到平面A1C1D的距离的距离BCC1DB1A1D1Axz四、巩固迁移四、巩固迁移y延伸迁移延伸迁移 如图，已知如图，已知 ABC是等腰三是等腰三

11、角形，角形，AB=BC=2a,ABC=120,且且SA平面平面ABC,SA=3a,求点求点A 到平面到平面SBC的距离的距离 ACSBxyz五、反馈总结五、反馈总结(2)(2)在求法向量的过程中在求法向量的过程中,解方程组之后解方程组之后,不能令不能令x x或或y y或或z z 为为0;0;(1)(1)建立空间直角坐标系是关键建立空间直角坐标系是关键,求点的求点的坐标要准确坐标要准确;(3)(3)点到平面的距离公式点到平面的距离公式 中,点点A A为平面为平面 外一定点外一定点,点点B B为平面为平面 内任一内任一点点,为平面为平面 的法向量的法向量.|AB ndn n0|.|ndABAB n

12、n (4)(4)公式还可化为公式还可化为六、反思与作业六、反思与作业 在棱长为的在棱长为的正方体正方体 中，中，E、F分别是棱分别是棱 的中点的中点 试用向量方法试用向量方法求点求点 到平面到平面EFBD的距离的距离.反思反思:通过本节课谈通过本节课谈谈自己的收获是什么谈自己的收获是什么?作业作业:1111ABCDABC D1111,AD AB1B谢谢指导！谢谢指导！再见再见BCC1DB1A1D1AEFDCABGFEyz(020EB=uur，）如图建立空间坐标系，如图建立空间坐标系，），zyxn(G（0，4，2）,F（2,0,0）,E（4,2,0）00GF nGE n=uuu r ruuu r

13、 r，(422GE=-uu u r，），311(n(0 2 0EB=uur，）2 11.11=,2420,4220,xyzxyz-=-=,则则则则设平面的法向量为设平面的法向量为解：解：x|BE ndn=uur rr返回x=-y，z=-3y令y=-1，DABCGFExyz 解解:如图建立空间直角坐标系，则如图建立空间直角坐标系，则G(0(0，O O，2)2)，F(4(4，2 2，O)O)，E(2(2，4 4，0)0)，B(0(0，4 4，O)O)EF=(2,-2,0),=(2,4,-2),设面设面GEFGEF的法向量为的法向量为 nGE=0,nEF=0,GE 2x-2y=0，2x+4y-2z=

14、0，x=y，z=3yn=(1,1,3).点B到面GEF的距离为2 11.11=(nxyz=r，）|BE ndn=uur rr返回令y=1，则BE=(2,0,0).xyz法向量的应用：点到面的距离的距离到平面的中点，求点分别是中，的正方体例：棱长为,4QCAPDDCDQPDCBAABCDQPCDBCABDA)0,2,0(),4,4,0()2,0,0(),4,0,4(PCQA简解：)0,4,4()2,0,4(CAQA)2,1,1()16,8,8(nn取666|)2,2,0(nnPQPQ距离例例2 2：已知棱长为：已知棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1

15、1D D1 1，E E，F F分别是分别是B B1 1C C1 1和和C C1 1D D1 1的中点，的中点，求点求点A A1 1到平面到平面BDEFBDEF的距离。的距离。FED1C1B1A1DCBA ABnn=uuu r rrABdnBAcosA BABq=uuuu ruuu rcoscosdA BABABqq=uuuu ruuu ruuu rcosAB nnq=uuu r rr0|.|nABAB nn 即向量即向量 在法向量在法向量 上的射影的长度上的射影的长度AB n 教师引导，学生总结：法一：设 是平面 的法向量，在 内取一点B,则点 A到 的距离法二：设 于O,利用 和点O在 内的

16、向量表示，可确定点O的位置，进而求出|cos,|ABndABABnn|AOAOAOnBAnOB Anr说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需技巧，可以人人学会。点到平面的距离点到平面的距离AoBn|cos,|AOAB nAB|cos,|AOABAB n|.|AB nAB nABAB nn|cos,|cos,|AB nAB AO|.|AB ndn 即点 A到平面 的距离为 在直角三角形AOB中,得由 点到平面的距离点到平面的距离AoBn 已知平面

17、 ,点A ,设 是平面 的法向量，过A作AO 于点O,则 ,在 内取一点B,则点 A到 的距离AO的长如何表示呢?n/AOn在直角三角形AOB中,由|cos,|AOAB nAB|cos,|AOABAB n 得|.|AB nAB nABAB nn 点到平面的距离点到平面的距离AoBn|cos,|AOABAB n 2|AOAO AOAOABBO|.|AB nAB nABAB nn cos,|AOABAB AO 2 cos,|,AOAO ABAB AO cos,|AO ABAO ABAB AO|()|)|AOABBOAO ABAO BO 点到平面的距离点到平面的距离AoBn AB n|.|AB nA

18、On ,ABAOOB|,AB nAOn 其中,点B为平面 内任一点,为平面 的法向量.|.|AB ndn 已知平面 ,点A ,设 是平面 的法向量，过A作AO 于点O,则 ,在 内取一点B,则点 A到 的距离AO的长如何表示呢?n/AOnn即点 A到平面 的距离为(),AOOBnAO nOB nAO n 点A到平面 的距离 可以看成 （点B是平面 内任一点）在平面 的法向量 的方向上的射影的长度:nABuuu r|cos,|dABAB n 其中其中,是平面 的单位法向量0n 0|.AB n AoBn AB|.|AB nAB nABAB nn 0n 重点理解：五、归纳总结五、归纳总结 利用向量方

19、法求解空间距离问题，可以回避此类问利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题问题 运用平面的法向量求立体几何中的距离问题时，运用平面的法向量求立体几何中的距离问题时，首先要建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，求出平首先要建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，求出平面的法向量，再代入公式求解。需要注意的是面的法向量，再代入公式求解。需要注意的是:(1)(1)在求法向量的过程中在求法向量的过程中,解方程组之后解方程组之后,不能令不能令x x或或y y或或z z 为为0;0;(2)(2)建立空间直角坐标系是关键建立空间直角坐标系是关键,求点的坐标要准确求点的坐标要准确;(3)(3)对点到平面距离公式的推导过程要认真领会对点到平面距离公式的推导过程要认真领会,掌握公式掌握公式:,:,并会应用并会应用.|AB ndn