1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的控制系统的时域数学模型时域数学模型2-2 控制系统的控制系统的复数域数学模型复数域数学模型2-3 控制系统的控制系统的结构图与信号流图结构图与信号流图2-4 控制系统建模实例控制系统建模实例教学内容教学内容:1、时域模型：时域模型：本节分别通过从简单的电学电路和力学系本节分别通过从简单的电学电路和力学系统讲解统讲解如何建立数学模型如何建立数学模型。2、时域模型时域模型微分方程求解微分方程求解，简单讲解复习微分方程，简单讲解复习微分方程求解方法求解方法3、非线性系统的线性化非线性系统的线性化，重点讲清楚线性化的条件，以，重点讲清
2、楚线性化的条件，以及如何线性化（泰勒展开式）及如何线性化（泰勒展开式）4、复域模型复域模型：重点介绍传递函数的概念，通过例题复习：重点介绍传递函数的概念，通过例题复习如何用拉普拉斯变换求解系统如何用拉普拉斯变换求解系统。5、对比时域系统的解，讲解、对比时域系统的解，讲解传递函数的极点对系统性能传递函数的极点对系统性能的影响的影响。6、介绍、介绍典型环节的传递函数典型环节的传递函数7、系统的、系统的信号流图信号流图和梅逊和梅逊(Meson)公式公式8、结构图及化简结构图及化简9、闭环系统的传递函数和误差传递函数闭环系统的传递函数和误差传递函数如何建立数学模型建立数学模型用二种方法：建立数学模型用
3、二种方法：.分析法分析法.实验法实验法 .分析法：分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，根对系统各部分的运动机理进行分析，根据据系统运动本身的物理、化学规律系统运动本身的物理、化学规律，列出相应的运，列出相应的运动方程。动方程。如：电工学中的基尔霍夫定律；力学中的牛顿定律等。如：电工学中的基尔霍夫定律；力学中的牛顿定律等。.实验法实验法：首先：首先选择一种适当的典型信号选择一种适当的典型信号，做为做为系系统测试的统测试的输入输入信号，然后信号，然后记录下其输出响应记录下其输出响应（输出（输出值或输出曲线），最后利用数学方法从输入输出数值或输出曲线），最后利用数学方法从输入输出数据中，据中，推
4、出系统的数学模型推出系统的数学模型。这种方法又称为。这种方法又称为系统系统辨识辨识。微分方程微分方程传递函数传递函数结构图结构图信号流图信号流图在经典控制理论有数学模型共有在经典控制理论有数学模型共有2类类5种种：解析模型：解析模型：频率特性频率特性（第五章）图解模型：图解模型：2-1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 线性元件的微分方程线性元件的微分方程 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 线性系统的基本特性线性系统的基本特性 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 运动的模态运动的模态 )()()()(0tututR
5、idttdiLi 代代入入上上式式dtduCti0)()()()()(00202tutudttduRCdttudLCi )(tiRCL)(ti)(tui)(0tu2221)(dttxdmFFF 2221)()()()(,dttxdmtKxdttdxftFKxFdtdxfF ；f m物体质量，物体质量，K弹簧的弹性系数，弹簧的弹性系数，f阻尼器的粘滞摩擦系数，阻尼器的粘滞摩擦系数，F外力，外力，x质量块的位移。质量块的位移。式中，式中，F1(t)阻尼器的阻尼力；阻尼器的阻尼力；F2(t)弹簧的弹力弹簧的弹力K弹性系数。弹性系数。)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm 用线性微分方
6、程描述的元件或系统，称为线性元件用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。或线性系统。叠加原理有两重含义叠加原理有两重含义：可叠加性可叠加性和和均匀性均匀性（或齐次性）（或齐次性）例如下的线性微分方程为：例如下的线性微分方程为：)()()()(22tftcdttdcdttcd 当当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为时，上述方程的解为c1(t)；当当f(t)=f2(t)时，其解为时，其解为c2(t)。如果如果f(t)=f1(t)+f2(t)，则方程的解为：，则方程的解为：c(t)=c1(t)+c2(t)。当当f(t)=Af1(t)时，时，A为常数，则方程的解为为常数，则方程的解
7、为c(t)=Ac1(t)。)()()(0tfLdtetfsFst )(为为复复变变量量 js 若函数若函数f(t)满足以下条件满足以下条件:f(t)=0,t0;f(t)的不连续点是有限的，且积分的不连续点是有限的，且积分，nkkknnnnfssFsdttfdL1)1()0()()()0()0()()()0()()(2fsfsFstfLfssFtfL 则则，)()(sFsdttfdLnnn 0)(1)(1)(tdttfssFsdttfL )()(1)(sFettfLs )(lim)(lim0ssFtfst )(lim)(lim0ssFtfst )()(asFtfeLat dsesFjsFLtfj
8、jst )(21)()(1nnnnmmmmasasasbsbsbsbsAsBsF 1111110)()()(设设 niiinnssassassassasF12211)(nitsitsntstsineaeaeaeatf12121)(则则issiisssFa )(1111111)()()()()()()(ssassassasssBsAsBsFmmmmm 1)(1ssmmsssFa 1)(11ssmmsssFdsda 1)(!11ssmjjjmsssFdsdja 1)()!1(11111ssmmmsssFdsdma tsmmmmeatatmatmatf1)!2()!1()(12211 4.线性定常微
9、分方程的求解线性定常微分方程的求解 方程两边方程两边取拉氏变换取拉氏变换,并代入初始条件并代入初始条件;由代数方程由代数方程求出输出量拉氏变换函数求出输出量拉氏变换函数的表达式的表达式;对输出量拉氏变换函数对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换求拉氏反变换，得到输出量，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。的时域表达式，即为所求微分方程的解。例例 2-6：在例：在例2-1中，若已知中，若已知L=1H，C=1F，R=1，且，且电容上初始电压电容上初始电压uo(0)=0.1V，初始电流，初始电流i(0)=0.1A，电源，电源电压电压ui(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压试求电路突然接
10、通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。的变化规律。)0()0()()(),0()()(222oooooooususUsdttudLussUdttduL ViCtiCdttduuttoo1.0)0(1)(1)()0(00 )()()0()()0()0()(2sUsUussURCususUsLCioooooo )()0()0()()()1(2sUuLCuRCLCssURCsLCsiooo )()()()(00202tutudttduRCdttudLCi 解：解：)0(ou 式中式中是是duo(t)/dt在在t=0时的值，即时的值，即分别对式分别对式(2-29)中各项求拉氏变换：中各项求拉氏变换：
11、经整理得：经整理得：令令Ui(s)=Lui(t),Uo(s)=Luo(t)，且，且(2-29)dttduCtio)()()(1.0)1(1.0)()1(2sUssUssio 2.01.0)()()1(2 ssUsUssio12.01.01)()(22 ssssssUsUio代入已知数据：代入已知数据：则：则：(2-30)()0()0()()()1(2sUuLCuRCLCssURCsLCsiooo L=1H，C=1F，R=1，uo(0)=0.1V，Vuo1.0)0(ui(t)视为视为阶跃输入量阶跃输入量，即，即ui(t)=1(t)，则，则Ui(s)=1/s.对对Uo(s)求拉氏反变换，用求拉氏反
12、变换，用部分分式法和查表法部分分式法和查表法求解得，求解得，便得到式便得到式(2-29)网络微分方程的解网络微分方程的解uo(t)，即：，即：12.01.0)1(1)()(2211ssssssLsULtuoo(2-31)22221)2/3()5.0(21.0)2/3()5.0(1ssssL)30866.0sin(2.0)120866.0sin(15.1105.005.0 tetett 前两项是网络前两项是网络输入电压产生的输出分量输入电压产生的输出分量，与初始条，与初始条件无关，故称为件无关，故称为零初始条件响应零初始条件响应；后一项则是后一项则是由初始条件产生的输出分量由初始条件产生的输出分
13、量，与输入电，与输入电压无关，故称为压无关，故称为零输入响应零输入响应。统称为。统称为单位阶跃响应单位阶跃响应。如果输入电压是如果输入电压是单位脉冲量单位脉冲量(t)，此时，此时Ui(s)=1，网络，网络的输出则称为的输出则称为单位脉冲响应单位脉冲响应，即为：，即为：)30866.0sin(2.0)120866.0sin(15.1)2/3()5.0(21.0)2/3()5.0(112.01.011)(05.005.022221221 tetesssLsssssLtutto(2-32)12.01.01)()(22 ssssssUsUio(2-30)利用拉氏变换的利用拉氏变换的初值定理初值定理和和
14、终值定理终值定理，可以直接从，可以直接从式式(2-30)中了解网络中电压中了解网络中电压uo(t)初始值和终值。当初始值和终值。当 ui(t)=1(t)时，时，uo(t)的初始值为的初始值为：VssssssssUstutusosoto1.012.01.0)1(1lim)(lim)(lim)(220 uo(t)的终值为的终值为：VssssssssUstutusosoto112.01.0)1(1lim)(lim)(lim)(2200 )30866.0sin(2.0)120866.0sin(15.11)(05.005.0 tetetutto(2-31)5.非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化
15、将非线性元件线性化有二种方法：将非线性元件线性化有二种方法：(1).在某一定条件下，在某一定条件下，忽略非线性因素的影响忽略非线性因素的影响，将它，将它们视为线性元件。们视为线性元件。如：电阻、电容、电感都是在一定的条件下忽略如：电阻、电容、电感都是在一定的条件下忽略周围环境周围环境(温度、湿度、压力等温度、湿度、压力等)对其的影响；电动对其的影响；电动机忽略摩擦、死区等非线性因素；线性放大器忽略机忽略摩擦、死区等非线性因素；线性放大器忽略死区、饱和的影响。死区、饱和的影响。(2).切线法或小偏差法。切线法或小偏差法。其实质是在一个很小的范围其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来
16、代替。内，将非线性特性用一段直线来代替。小偏差法小偏差法(切线法切线法)：即在：即在工作点处工作点处用斜率直线代替非直线用斜率直线代替非直线;用用代数方法代数方法：Taylor(泰勒泰勒)级数展开法，去掉级数展开法，去掉2次以上项，次以上项，近似。近似。线性化的方法线性化的方法:对连续的非线性系统对连续的非线性系统 y=f(x),在工作点在工作点(x0,y0)连续连续可微可微，则在，则在工作点附近工作点附近展成展成Talor级数级数:202200)()(!21)()()()(00 xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxxxx)()()()()(00000 xxdxxdfxfxfyyxxxx
17、各各项项，得得很很小小时时，忽忽略略二二阶阶以以上上当当00,)(,0 xxxdxxdfKxKyyyxx 令令线线性性化化增增量量方方程程附近展成泰勒级数附近展成泰勒级数在工作点在工作点),(),(201021xxxxfy )()(20221011020102010 xxxfxxxfyyxxxx221120221011 xKxKyxxxxxx 量量方方程程为为高高次次项项，得得一一次次近近似似偏偏的的绝绝对对值值很很小小，可可略略去去及及在在工工作作点点附附近近，偏偏量量2021022011012211xxxxxxxxxfKxfK 式式中中:6.运动的模态运动的模态 如果如果n阶阶微分方程的特
18、征根是微分方程的特征根是1,2,.,n 且无重根，且无重根，则把函数则把函数 称为该微分方程所描称为该微分方程所描tttneee ,21述述运动的模态运动的模态，也叫，也叫振型振型。齐次微分方程的通解齐次微分方程的通解 tnttonecececty 2111)(式中系数式中系数c1，c2,.,cn 是由初始条件决定的常数。是由初始条件决定的常数。如果特征根中有共轭复根如果特征根中有共轭复根=j,其共轭复模态其共轭复模态 tjtjee)()(和和，写成实函数模态，写成实函数模态 teteatat cossin和和,2ttette 的函数；的函数；如果特征根中有多重根如果特征根中有多重根，则模态会
19、具有形如，则模态会具有形如12.01.01)()(22 ssssssUsUiotectectutto866.0cos866.0sin)(5.025.01 )30866.0sin(2.0866.0cos1.0866.0sin173.0)(05.05.05.0 tetetetutttotjtjee)866.05.0()866.05.0(和和tetett866.0cos866.0sin5.05.0 和和微分方程特征根微分方程特征根=-0.5j0.866j0.866，故其共轭复模态是，故其共轭复模态是 或或而微分方程的齐次通解则是而微分方程的齐次通解则是Vuo1.0)0(可求得可求得c1=0.173,c2=0.1，故得：，故得：由给定初始条件，由给定初始条件，uo(0)=0.1V，i(0)=0.1A，则：，则：
