1、1t内积的定义与性质内积的定义与性质t向量的模、单位向量向量的模、单位向量t向量的夹角向量的夹角t正交组、标准正交组正交组、标准正交组t正交基、标准正交基正交基、标准正交基(底底)t施密特正交化方法施密特正交化方法t正交矩阵、正交变换正交矩阵、正交变换23定义定义1：设：设V是是实实线性空间线性空间(数域为数域为R)，若对于，若对于V内任内任意一对向量意一对向量 ,按照某一法则在按照某一法则在R中有一个中有一个唯一确唯一确定的实数定的实数 ,与之对应，且满足条件：与之对应，且满足条件：,V ,kk kR,0 0 ,0 ,；()；()，当且仅当，当且仅当时时则实数则实数称为向量称为向量()()(
2、)()；的的标准内积标准内积，简称为，简称为内积内积.定义了内积的实线性空间称为定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间欧几里得空间，简称，简称欧氏欧氏空间空间.注：有的书上对内积用注：有的书上对内积用(,)表示表示4 定义定义1 1是个是个抽象抽象定义，不同的实线性空间中的定义，不同的实线性空间中的内积可以有内积可以有完全不同完全不同的内容与形式的内容与形式.同一个实线性空间中也可以定义同一个实线性空间中也可以定义不同不同的内积，的内积，而构成不同的欧氏空间而构成不同的欧氏空间.5,12(,),nx xx 12(,)nyyy 1122,nnx yx yx y 定义定义(1)显然设显然设,112
3、2,nnkkx ykx ykx y kR 22212,0nxxx 0 ,0 ，当且仅当，当且仅当时时()()()；,()1122nnx yx yx y 1122nny xy xy x ,12(,),nz zz 111222()()()nnnxy zxy zxyz 1 1221 122nnnnx zx zx zy zy zy z 则则,k 61122,2nnx yx ynx y 例例2：在：在Rn中，对于任意向量中，对于任意向量12(,),nx xx 12(,)nyyy 定义定义(2)容易验证它也适合内积定义中的条件容易验证它也适合内积定义中的条件(I)-(IV)，这样，这样Rn中按中按(2)也
4、得到一个内积，这时也得到一个内积，这时Rn关于这个内积也构关于这个内积也构成一个欧氏空间成一个欧氏空间.注意：由于内积的定义不同，这是两个不同的欧氏空间注意：由于内积的定义不同，这是两个不同的欧氏空间.以后凡说到欧氏空间以后凡说到欧氏空间Rn均指例均指例1所述的欧氏空间所述的欧氏空间.显然，它显然，它适合适合内积定义中的条件内积定义中的条件(I)-(IV)，这样，这样Rn 中按中按(1)得到一个内积，于是得到一个内积，于是Rn关于这个内积成关于这个内积成为一个欧几里得空间为一个欧几里得空间.7(),(),f xg xC a b(),()()()baf x g xf x g x dx 定义定义由
5、定积分的性质可知：设由定积分的性质可知：设(),()()()bag xf xg x f x dx (),(),(),f xg x h xC a b kR)(),()(),()()()()()()()()(),()(xhxfxhxgdxxhxfdxxhxgdxxhxfxgxhxfxgbababa )(),()()()()()(),(xgxfkdxxgxfkdxxgxkfxgxkfbaba (1)(2)(3)()()(),()baf x g x dxf xg x 8也成为一个欧氏空间也成为一个欧氏空间.因此，该定积分满足内积定义的因此，该定积分满足内积定义的4个条件，因而它也个条件，因而它也成为成
6、为Ca,b中的一个内积中的一个内积.于是，关于这个内积于是，关于这个内积Ca,b(4)当当 f(x)不是恒等于不是恒等于0时时0)()()()(),(2 babadxxfdxxfxfxfxf欧几里得空间的一些基本性质：欧几里得空间的一些基本性质：,kkk ,定义定义1的条件的条件(I)表明内积是表明内积是对称对称的，故有的，故有,kk ,()9V 0,0 0,00 V,0 0.，有，有，特别，特别性质性质2是是V中某一向量，若对于中某一向量，若对于，有，有，则，则性质性质1.,ijV ,(1,2,;1,2,),ija bRil jt 1111,ltltiijjijijijijaba b 性质性
7、质3及及恒有恒有0,00,0,0 又又故故0,0,2 0,10,RV ,|,向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：0,0;0,0.当当时时当当时时1.非负性非负性1 注：模为注：模为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量，若，若 0,则则就是一个单位向量，这样的到的向量一般称为把就是一个单位向量，这样的到的向量一般称为把 单位化单位化（或（或标准化标准化）.11 2.2.齐次性齐次性3.3.三角不等式三角不等式【后面证明后面证明】,或或定理定理：对于欧氏空间中任意二向量：对于欧氏空间中任意二向量,，恒有，恒有其中等号成立的充要条件是其中等号成立的充要条件是 与与 线性相关线性相关.证
8、明：若证明：若,线性相关，则有线性相关，则有 =0,或者或者 =k,(k R)在上述情况下，容易证明题设的等号成立在上述情况下，容易证明题设的等号成立.2,12若若,线性无关，则对于任意线性无关，则对于任意k R,都有都有0 k ,2,kkkkk0,2,2 kk(这是一个关于这是一个关于k的一元二次多项式的一元二次多项式.),0,因此上述不等式成立的条件是因此上述不等式成立的条件是0,4,42 即即2,总之恒有总之恒有 ,则则因为因为2,或或132,下面证等号成立的充要条件是下面证等号成立的充要条件是,线性相关。线性相关。充分性：充分性：若若,线性相关，则上面已证等号成立。线性相关，则上面已证
9、等号成立。必要性：必要性：若上式等号成立，（用反证法），假若上式等号成立，（用反证法），假设设,无关，则无关，则由上面分析立得：由上面分析立得：矛盾，故必有矛盾，故必有,线性相关。线性相关。1412,na aa12,nb bb22222221 1221212()()()nnnna ba ba baaabbb2222221 1221212nnnnaba ba baaabbb 如在前面例如在前面例1所定义的线性空间所定义的线性空间Rn中，由该定中，由该定理的不等式得到：对于任意实数理的不等式得到：对于任意实数 ，有不等式，有不等式或者或者 112222()()()()bbbaaaf x g x d
10、xfx dxgx dx 又如又如15|2|,2,22|2,22|2,|222|2|2|证：证：由前面定理知由前面定理知，于是，于是开方得开方得 16,arccos,(0).,0.定义定义3：非零向量非零向量,的夹角的夹角(,)规定为规定为，记为，记为若两个非零向量的夹角为若两个非零向量的夹角为 /2，则称这两个向量，则称这两个向量正交正交或或相互垂直相互垂直，记，记显然，两个正交向量的内积为零，即若显然，两个正交向量的内积为零，即若则则特别的特别的,规定零向量与任何向量都正交规定零向量与任何向量都正交.(,)17222|向量向量,正交正交 ,0.注：注：1）只有零向量才与自己正交）只有零向量才
11、与自己正交.2）当向量正交时，存在类似勾股定理结论）当向量正交时，存在类似勾股定理结论 欧氏空间中向量的距离欧氏空间中向量的距离|(,)d 在一个欧氏空间中，两个向量在一个欧氏空间中，两个向量,的距离定义为的距离定义为，有时用符号，有时用符号表示表示.181(1,0,0)e 2(0,1,0)e (0,0,1)ne 12,t 例例4 在欧氏空间在欧氏空间Rn中，向量组中，向量组，中每个向量正交，则中每个向量正交，则 与该向量组的任意线性与该向量组的任意线性两两正交两两正交.例例5 在欧氏空间里，若向量在欧氏空间里，若向量 与向量组与向量组 1,2,2,33,1,5,1.求求向向量量与与的的夹夹角
12、角例例6 6解解:,cos 18223 2 6.4 组合也正交组合也正交.19定义定义 欧氏空间欧氏空间V中一组中一组两两正交的非零向量两两正交的非零向量，称为，称为V的一个的一个正交正交(向量向量)组组.若这个正交组中的每个向若这个正交组中的每个向量都是单位向量，则此正交组称为量都是单位向量，则此正交组称为标准正交组标准正交组.定理定理1 欧氏空间中的正交组是欧氏空间中的正交组是线性无关组线性无关组.由定理由定理1知，知，n维线性空间中，正交组所含向量个维线性空间中，正交组所含向量个数不会超过数不会超过n.12,n 么么它是它是V的一个基底，称为的一个基底，称为正交基正交基(底底).如果如果
13、是是n维欧氏空间的一个正交组，那维欧氏空间的一个正交组，那一个标准正交组，则称为一个标准正交组，则称为标准正交基标准正交基(底底)，或者或者 规范规范正交基正交基.如果正交基底是如果正交基底是201(0,1,0),211(,0,),22 311(,0,)22 1231121323,0 例例1 验证向量组验证向量组容易验证：容易验证：，且，且这又是一个单位向量构成的向量组，故又是一个这又是一个单位向量构成的向量组，故又是一个构成构成R3的一个标准正交组的一个标准正交组.标准正交组标准正交组.它们构成它们构成R3的一个标准正交基底的一个标准正交基底.标准正交基标准正交基 e1,e2,en 满足关系
14、式：满足关系式：jijieeijji01,2112,m 12,m k 12,(1,2,)kkm 设设是欧氏空间是欧氏空间V的一组线性无关的一组线性无关，其中，其中是向量是向量的线性组合的线性组合.向量，则存在向量，则存在V的一个正交组的一个正交组1111,(2,),kkjkkjjjjkm满足要求的正交组为满足要求的正交组为该求解方法称为该求解方法称为施密特施密特(Schimidt)正交化方法正交化方法.书上证明：书上证明：180-181页页.22任何任何n(n1)维欧氏空间，维欧氏空间，一定一定有正交基底，有正交基底，从而从而也一定也一定有标准正交基底有标准正交基底.123(1,1,1),(0
15、,1,2),(2,0,3)11(1,1,1)2122111,3(0,1,2)(1,1,1),3 (0,1,2)(1,1,1)(1,0,1)例例2 由由R3的一个基底的一个基底 解：先由施密特解：先由施密特(Schimidt)正交化方法求出等价的正正交化方法求出等价的正交组，得交组，得求求R3的一个标准正交基底的一个标准正交基底.23111111,|333 22211,0,|22 333121,|666 123,再单位化，得再单位化，得则则 就是就是 R3的一个标准正交基底的一个标准正交基底.313233121122,515(2,0,3)(1,1,1)(1,0,1)(1,2,1)326 2423
16、,12312311,.1 已已知知求求一一组组非非零零向向量量使使,两两两两正正交交解解:.)1,1,0(,)1,0,1(21TT 它的基础解系为它的基础解系为应满足方程应满足方程10Tx ，即，即1230 xxx把基础解系正交化，即为所求把基础解系正交化，即为所求21(1,0,1),T2232222,。111(0,1,1)(1,0,1)(,1,).222TTT 2512,n 12(,)nx xx12(,)nyyy1122,nnx yx yx y 22212|,nxxx 是是n维欧氏空间维欧氏空间V的一个标准正交的一个标准正交，则有则有注：定理注：定理4 给出的公式显示出在欧氏空间中引入标给出
17、的公式显示出在欧氏空间中引入标准正交基的优越性准正交基的优越性.任意的欧氏空间定义的任意内任意的欧氏空间定义的任意内积，如果两个向量用同一标准正交基表示的话，积，如果两个向量用同一标准正交基表示的话，这这两个向量的内积等于它们的坐标构成的两个向量的内积等于它们的坐标构成的n维向量在维向量在Rn中的内积中的内积.基底基底.向量向量,在该基底下的坐标分别为在该基底下的坐标分别为26t内积的定义与性质内积的定义与性质(重点重点)t一些概念：向量的模、单位向量，向量的一些概念：向量的模、单位向量，向量的夹角，正交组、标准正交组，正交基、标夹角，正交组、标准正交组，正交基、标准正交基准正交基(底底)等等
18、t施密特正交化方法（重点）施密特正交化方法（重点）271.求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与 ,1,1,1,11 ,1,1,1,12 3,1,1,23 正交正交.28:),(则由题意可得则由题意可得设所求向量为设所求向量为解解 1.1.dcbax 思考题解答思考题解答 .032,0,0,1 2222dcbadcbadcbadcba)263,261,0,264(:x解之可得解之可得).263,261,0,264(x或或29解解2：设单位：设单位向量向量 与与 1,2,3都正交，都正交，以以 1,2,3为行向量的矩阵为为行向量的矩阵为A，则有，则有A T=0求解方程组求解方程组AX=0，即，即0311211111111 X得基础解系得基础解系TX)1,31,0,34(1 单位化得单位化得)1,31,0,34(263|111 TXX).263,261,0,264(
