1、第十八章 平行四边形情境引入学习目标1.理解正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质.2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（重点、难点）导入新课导入新课图片引入观察这些图片，你有什么发现？这些四边形有什么共同特征？各边相等，四个角都是直角讲授新课讲授新课正方形的性质合作探究 矩 形正方形问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形矩 形正方形邻边相等 发现：一组邻边相等的矩形是正方形 菱 形一个角是直角正方形 发现：一个角为直角的菱形是正方形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.探究小结矩形菱形正方形平行四边形 正方形
2、是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系ABCD填一填：角：边：对角线：对称性：四个角都是直角.四条边相等.对角线相等且互相垂直平分.aaaa轴对称图形（4条对称轴）.正 方 形 的 性 质边角对角线对称性图形语言 文字语言 符号语言ACDBACDBACDBO对边平行，四条边都相等 四个角 都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角四边形ABCD 是正方形ABCD,ADBC,AB=BC=CD=AD四边形ABCD是正方形A=B=C=D=90四边形ABCD是正方形ACBD,AC=BD,OA=OC
3、,OB=OD轴对称图形 中心对称图形 例1 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的 等腰直角三角形.ADCBO已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角 线AC、BD相交于点O.求证:ABO、BCO、CDO、DAO 是全等的等腰直角三角形.分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.典例精析ADCBO证明:四边形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都 是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO 如图,在正
4、方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么BE与DE相等吗?为什么?解:BE =DE.理由如下：连接BD，四边形ABCD是正方形，AC垂直平分BD 又点E在AC上 BE=DEABCDE还可以用其他方法说明，试试看.做一做 D A B C E例2 已知：如图，在正方形ABCD中，BEC是等边三角形，求证：EADEDA15.证明：EBC=ECB=CEB=60ABE，DCE是等腰三角形，ABE=DCE=30 BAE=BEA=CDE=CED=75 EAD=EDA=90-75=15如图,点E是正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，求E和AFC的度数.ABCDEF解：E=22
5、.5，AFC=112.5.做一做例3 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BEDF.理由如下：（1）四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE=90.（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）DCF=180-BCE=180-90=90.ABDCFEBCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.(2)延长BE交DE于点M,BCEDCF,CBE=CDF.DCF=90,CDF+F=90.CBE+F=90,BMF=90.BEDF.ABDFECM1在正方形ABCD中,ADB=,DAC=,BOC=.
6、2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是.ADBCOADBCOE459022.5第1题第2题45当堂练习当堂练习3.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？解：根据勾股定理：BC2=EC2-EB2=302 102=800 BC=这块场地的面积=对角线AC=301080020 2(m)22(20 2)800(cm)2220 2+20 240(m)（）（）DAEBC解：ABE是等边三角形.AB=AE=BE,ABE=BEA=EAB=60.又四边形ABCD是正方形.AD
7、=BC=AE=BE,DAB=ABC=90.DAE=CBE=150.AED=EDA=CEB=BCE=15.DEC=AEB-AED-CEB=30.4.如图，已知正方形ABCD,以AB为边向正方形外作等边ABE,连结DE、CE,求DEC的度数.D C B A E G F5.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE.试说明：DGBE.证明：根据正方形的性质可得AD=AB，AG=EF又由旋转可得DAG=BAE DAG BAE（SAS)DG=BE6.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD
8、于点F，求PE+PF的值.ABCDEPFO解：连接PO四边形ABCD是正方形，ACBD，AO=BO=AC.SAPO+SBPO=SABO AOPE+BOPF=AOBOPE+PF=AO=AC=5.1212121212课堂小结课堂小结1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形第十八章 平行四边形18.2.3 正方形第2课时 正方形的判定情境引入学习目标1掌握正方形的判定方法（重点）2会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.(难点)问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？ABCD正方形：有一组邻边相等，并且
9、有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：四个角都是直角;四条边都相等;对角线相等且互相垂直平分.O导入新课导入新课复习引入讲授新课讲授新课正方形的判定活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？为什么？正方形活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？正方形正方形判定的两条途径：正方形正方形+先判定菱形先判定矩形矩形条件菱形条件(1)(2)一个直角一组邻边相等总结归纳对角线相等对角线垂直在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）
10、AAC=BD，ABCD，AB=CDBADBC，A=CCAO=BO=CO=DO，ACBDDAO=CO，BO=DO，AB=BC练一练CABCDO例1 在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?HGFEDABCMN证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90，AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证AENBFECMFDNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.典例精析在AEN、BFE、CMF、DNM中，AE=BF=CM=DN A=B=C=D AN=BE=CF=DMAEN
11、BFECMFDNMEN=FE=MF=NM，ANE=BEF四边形EFMN是菱形，NEF=180-（AEN+BEF）=180-（AEN+ANE）=180-90=90.四边形EFMN是正方形.HGFEDABCMN证明：DEAC，DFAB DEC=DFC=90.又 C=90 四边形ADFC是矩形.过点D作DGAB，垂足为GAD是CAB的平分线DEAC，DGAB DE=DG同理：DG=DFED=DF四边形ADFC是正方形.例2 如图，在直角三角形中，C=90，A、B的平分线交于点D.DEAC，DFAB.求证:四边形CEDF为正方形.ABCDEFG例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且
12、EGFH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：四边形ABCD为正方形,OB=OC,ABO=BCO=45,BOC=90=COH+BOH.EGFH,BOE+BOH=90,COH=BOE,CHO BEO,OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,BACBOEHGFOE=OF=OG=OH.又EGFH,四边形EFGH为菱形.EO+GO=FO+HO,即EG=HF,四边形EFGH为正方形.BACBOEHGF做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四边形平行四边形菱形正方形EFGHEFGHEFGH当
13、堂练习当堂练习1.下列命题正确的是（）A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形2四个内角都相等的四边形一定是（）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形DC3.以ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形 ACE，四边形ADFE是平行四边形.（1）当BAC等于 时，四边形ADFE是矩形；（2）当BAC等于 时，平行四边形ADFE不存在；（3）当ABC分别满足什么条件时，ADFE是菱形、正方形？BCAEFD解:（3）AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形；AB=AC且BAC=150时
14、，平行四边形ADFE是正方形.1506060604.如图，在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分ABC,P是BD上一点,过点P作PM AD,PN CD,垂足分别为M、N.(1)求证：ADB=CDB;(2)若 ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.CABDPMN证明：（1）AB=BC,BD平分ABC.1=2.ABDCBD (AAS).ADB=CDB.12CABDPMN（2）ADC=90;又PMAD,PNCD;PMD=PND=90.四边形NPMD是矩形.ADB=CDB;ADB=CDB=45.MPD=NPD=45.DM=PM,DN=PN.四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.课堂小结课堂小结5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
