1、2.2.3直线与平面平行的性质【阅读教材阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材根据下面的知识结构图阅读教材,并识记直线与平面平行的性质并识记直线与平面平行的性质定理定理,初步掌握其应用初步掌握其应用.【知识链接知识链接】1.1.直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系:2.2.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系:3.3.直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理:a a ,b,b,且且ababa a 主题主题:直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理【自主认知自主认知】1.1.如果一条直线与一个平面平行如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线那么这条直线与
2、这个平面内的直线有哪些位置关系有哪些位置关系?提示提示:由直线与平面平行的定义由直线与平面平行的定义,如果一条直线如果一条直线a a与平面与平面平行平行,那么那么a a与平面与平面无公共点无公共点,所以直线所以直线a a与平面与平面内的直线只能是异面直线或平内的直线只能是异面直线或平行直线行直线.2.2.如果一条直线如果一条直线a a与平面与平面平行平行,在什么条件下直线在什么条件下直线a a与平面与平面内的直内的直线平行呢线平行呢?提示提示:由于由于a a与与内的任何直线无公共点内的任何直线无公共点,所以过直线所以过直线a a的某一平面的某一平面,若若与与相交相交,则直线则直线a a就平行于
3、这条交线就平行于这条交线.根据以上探究过程根据以上探究过程,试着写出直线与平面平行的性质定理试着写出直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行，一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行与该直线平行a_a bb a【合作探究合作探究】1.1.定理中条件定理中条件“a a”去掉还能得出去掉还能得出abab吗吗?提示提示:不一定不一定,因为这样只能说明因为这样只能说明a a与与b b没有公共点没有公共点,而不能说明而不能说明a a与与b b共共面面,所以不一定得所以不一定得a ab.b.2.2.运用线面平行的性质定理证明线线平
4、行的关键是什么运用线面平行的性质定理证明线线平行的关键是什么?提示提示:关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交.【拓展延伸拓展延伸】线面平行的其他性质线面平行的其他性质(1)(1)平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面,则另一条也平行于则另一条也平行于这个平面这个平面.(2)(2)直线和平面平行直线和平面平行,平面内有无数条直线和该直线平行平面内有无数条直线和该直线平行,但不一定与但不一定与平面内任意一条直线平行平面内任意一条直线平行.【过关小练过关小练】1.1.直线直线ab,ab,且且a a与平面与平面相交相
5、交,那么那么b b与平面与平面的关系是的关系是()A.A.必相交必相交B.B.可能平行可能平行C.C.相交或平行相交或平行D.D.相交或在平面内相交或在平面内【解析解析】选选A.A.两条平行线两条平行线,其中一条与平面相交其中一条与平面相交,另一条也与平面相交另一条也与平面相交.2.(20152.(2015杭州高二检测杭州高二检测)若直线若直线a a与平面与平面平行平行,则必有则必有()A.A.在在内不存在与内不存在与a a垂直的直线垂直的直线B.B.在在内存在与内存在与a a垂直的唯一直线垂直的唯一直线C.C.在在内有且只有一条直线与内有且只有一条直线与a a平行平行D.D.在在内有无数条直
6、线与内有无数条直线与a a平行平行【解析解析】选选D.D.平面平面内有无数条直线与内有无数条直线与a a垂直垂直,故故A,BA,B错误错误;平面平面内有内有无数条直线与无数条直线与a a平行平行,故故C C错误错误.【归纳总结归纳总结】对直线与平面平行的性质定理的三点说明对直线与平面平行的性质定理的三点说明(1)(1)该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为可简述为“若线若线面平行面平行,则线线平行则线线平行”.(2)(2)用该定理判断直线用该定理判断直线a a与与b b平行时平行时,必须具备三个条件必须具备三个条件:直线直线a a和平面和
7、平面平行平行,即即a;a;平面平面和和相交相交,即即=b;=b;直线直线a a在平面在平面内内,即即a a.以上三个条件缺一不可以上三个条件缺一不可.(3)(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想线面平行的性质定理体现了数学的化归思想,线面平行转化为线线线面平行转化为线线平行平行.类型一类型一:线面平行的性质定理的应用线面平行的性质定理的应用【典例典例1 1】如图如图,AB,CD,AB,CD为异面直线为异面直线,且且AB,CD,AC,BDAB,CD,AC,BD分别交分别交于于M,NM,N两点两点.求证求证:AMMC=BNND.:AMMC=BNND.【解题指南解题指南】可连接可连接AD,AD
8、,交交于点于点E,E,由线面平行由线面平行,得线线平行得线线平行,从而利从而利用平行线截线段成比例定理证明用平行线截线段成比例定理证明.【证明证明】连接连接ADAD交平面交平面于点于点E,E,连接连接MEME和和NE.NE.如图所示如图所示,因为平面因为平面ACD=ME,CD,ACD=ME,CD,所以所以CDME,CDME,所以所以 同理可得同理可得ENAB,ENAB,所以所以 所以所以 即即AMMC=BNND.AMMC=BNND.AMAE.MCEDAEBN.EDNDAMBNMCND，【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)本题中若加上条件本题中若加上条件“AD,
9、BCAD,BC分分别交别交于于E,FE,F两点两点”,判断四边形判断四边形MENFMENF是什么四边形是什么四边形?【解析解析】四边形四边形MENFMENF为平行四边形为平行四边形,因为平面因为平面ACD=ME,CD,ACD=ME,CD,所所以以CDME,CDME,同理同理FNCD,FNCD,所以所以MEFN.MEFN.又因为平面又因为平面CAB=MF,AB,CAB=MF,AB,所以所以MFAB,MFAB,同理同理ENAB,ENAB,所以所以MFEN,MFEN,故四边形故四边形MENFMENF是平行四边形是平行四边形.2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)本题中若加上条件本题中若加
10、上条件“AB=CD,AB=CD,且所成角为且所成角为9090,M,N,M,N分别为分别为AC,BDAC,BD的中点的中点”.求异面直线求异面直线ABAB与与MNMN所成角所成角.【解析解析】连接连接BC,ADBC,AD分别交平面分别交平面于点于点F,E,F,E,连接连接MF,FN,EN,ME.MF,FN,EN,ME.因为平面因为平面CAB=MF,AB,CAB=MF,AB,所以所以MFAB,MFAB,因为因为M M为为ACAC的中点的中点,所以所以F F为为BCBC的中点的中点,所以所以MF=AB,MF=AB,同理同理ENAB,ENAB,因为因为N N为为BDBD的中点的中点,所以所以E E为为
11、ADAD的中点的中点,EN=AB,EN=AB,1212所以所以MFENMFEN且且MF=EN,MF=EN,所以四边形所以四边形MENFMENF为平行四边形为平行四边形,又又ME=CD,ME=CD,因为因为AB=CD,AB=CD,所以所以MF=ME,MF=ME,所以四边形所以四边形MENFMENF为菱形为菱形,因为因为MFAB,MECD,MFAB,MECD,所以所以FMEFME为为ABAB与与CDCD所成角所成角,且且FME=90FME=90,所以所以NMF=45NMF=45,即为即为ABAB与与MNMN所成角为所成角为4545.12【规律总结规律总结】利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步
12、骤利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤(1)(1)在已知图形中确定在已知图形中确定(或寻找或寻找)一条直线平行于一个平面一条直线平行于一个平面.(2)(2)作出作出(或寻找或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面过这条直线且与这个平面相交的平面.(3)(3)得出交线得出交线.(4)(4)根据线面平行的性质定理得出结论根据线面平行的性质定理得出结论.【补偿训练补偿训练】如图如图,E,H,E,H分别是空间四边形分别是空间四边形ABCDABCD的边的边AB,ADAB,AD的中点的中点,平面平面过过EHEH分别交分别交BC,CDBC,CD于点于点F,G.F,G.求证求证:EHFG.:EHFG.
13、【证明证明】因为因为E,HE,H分别是分别是AB,ADAB,AD的中点的中点,所以所以EHBD.EHBD.又又BDBD平面平面BCD,EHBCD,EH 平面平面BCD,BCD,所以所以EHEH平面平面BCD.BCD.又又EHEH,平面平面BCD=FG,BCD=FG,所以所以EHFG.EHFG.类型二类型二:线面平行的判定定理与性质定理的综合应用线面平行的判定定理与性质定理的综合应用【典例典例2 2】求证求证:如果一条直线和两个相交平面平行如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线和那么这条直线和它们的交线平行它们的交线平行.【解题指南解题指南】(1)(1)用数学符号语言描述上述命题用数学符号
14、语言描述上述命题,写出已知和求证写出已知和求证.(2)(2)用图形语言描述上述命题用图形语言描述上述命题,即画出相应图形即画出相应图形.(3)(3)综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题.【解析解析】已知已知:a,a,=:a,a,=l,求证求证:a:al.证明证明:如图如图,过过a a作平面作平面,使得使得=c,=d,=c,=d,那么有那么有【规律总结规律总结】利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向关键关键:是过直线作平面与已知平面相交是过直线作平面与已知平面相交.思考方向思考方向:若条
15、件中含有线线平行若条件中含有线线平行,可考虑线面平行的判定定理的条件可考虑线面平行的判定定理的条件;若条件中含有线面平行若条件中含有线面平行,可考虑线面平行的性质定理得线线平行可考虑线面平行的性质定理得线线平行.【巩固训练巩固训练】如图所示如图所示,P,P为平行四边形为平行四边形ABCDABCD所在平面外一点所在平面外一点,M,N,M,N分别分别为为AB,PCAB,PC的中点的中点,平面平面PADPAD平面平面PBC=PBC=l.(1)(1)求证求证:BC:BCl.(2)MN(2)MN与平面与平面PADPAD是否平行是否平行?试证明你的结论试证明你的结论.【解析解析】(1)(1)因为因为BCA
16、D,ADBCAD,AD平面平面PAD,PAD,BCBC 平面平面PAD,PAD,所以所以BCBC平面平面PAD.PAD.又平面又平面PADPAD平面平面PBC=PBC=l,BC,BC平面平面PBC,PBC,所以所以BCBCl.(2)MN(2)MN平面平面PAD.PAD.证明如下证明如下:如图所示如图所示,取取PDPD的中点的中点E.E.连接连接EN,AE.EN,AE.又因为又因为N N为为PCPC的中点的中点,所以所以EN AB,EN AB,所以所以EN AM,EN AM,所以四边形所以四边形ENMAENMA为平行四边形为平行四边形,所以所以AEMN.AEMN.又因为又因为AEAE平面平面PA
17、D,MNPAD,MN 平面平面PAD,PAD,所以所以MNMN平面平面PAD.PAD.12【补偿训练补偿训练】如图所示如图所示,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,P,P 平面平面ABCD,ABCD,过过BCBC作平面作平面BCFEBCFE交交APAP于于E,E,交交DPDP于于F.F.求证求证:四边形四边形BCFEBCFE是梯形是梯形.【证明证明】因为四边形因为四边形ABCDABCD是矩形是矩形,所以所以BC AD,BC AD,而而ADAD平面平面PAD,BCPAD,BC 平面平面PAD,PAD,所以所以BCBC平面平面PAD,PAD,又平面又平面BCFEBCFE平面平面PAD=EF,PAD=EF,BCBC平面平面BCFE,BCFE,所以所以BCEF,BCEF,所以所以ADEF,ADEF,又因为又因为E,FE,F是是APDAPD边上的点边上的点,所以所以EFAD,EFAD,所以所以EFBC,EFBC,所以四边形所以四边形BCFEBCFE是梯形是梯形.
