1、第十二章第十二章 无穷级数无穷级数1 常数项级数的概念及其性质常数项级数的概念及其性质一、基本概念一、基本概念定义定义给了数列给了数列,.,.,321nuuuu将它们依次用加号连接起来而得的表达式将它们依次用加号连接起来而得的表达式.321 nuuuu称为常数项无穷级数，称为常数项无穷级数，简称常数项级数，简称常数项级数，或级数，或级数，记为记为 1nnu，即，即 1nnu.321 nuuuu 1nnu.321 nuuuu给了级数给了级数设设n为任一正整数，为任一正整数，1u 1s1u 2u 2s1u 2u 3s 3u.nuuuu .321 ns定义定义为级数为级数 1nnu的前的前n项部分和
2、。项部分和。nuuuu .321 ns.ns部分和数列部分和数列定义定义 若级数若级数 1nnu的部分和数列的部分和数列ns的极限存在，的极限存在，极限值记为极限值记为s，即即ssnn lim则称级数则称级数 1nnu是收敛的，是收敛的，并称极限值并称极限值s为级数为级数 1nnu的和，的和，记为记为 1nnu s若若ns的极限不存在，的极限不存在，则称级数则称级数 1nnu是发散的。是发散的。.例例1 讨论等比级数（又称几何级数）讨论等比级数（又称几何级数）0nnaq.2 naqaqaqa的收敛性。的收敛性。),0 (为常数其中qa 解解级数级数 0nnaq的前的前n项部分和项部分和ns 1
3、2.naqaqaqa qqan 1)1(1 q，na1 q，讨论讨论:时1|)1(q nnslim nlimqqan 1)1(qa 1 0nnaq收敛，收敛，且其和为且其和为qa 1时1|)2(q nnslim nlimqqan 1)1(0nnaq发散。发散。nlim)11(nqqaqa 时时1|)3(q nnslim nlimna 0nnaq发散。发散。,1)(qi,1)(qii nnslim2)1(1 na nlim不存在不存在由由(1)(2)(3)得：得：0nnaq 收敛，收敛，时1|q发散，发散，时1|q且和为且和为qa 1，证证级数级数 1nn的前的前n项部分和项部分和ns n .3
4、21 2)1(nn nnslim nlim 发散。发散。2)1(nn 例例2 证明级数证明级数 1nn .321 n是发散的。是发散的。1nn解解ns nnslim nlim 1例例3 判定级数判定级数 1)1(1 nnn的收敛性。的收敛性。)1(1.431321211 nn)211()3121()4131()111(.nn 111 n)111(n收敛。收敛。1)1(1 nnn证证例例4 证明调和级数证明调和级数 11 nn是发散的。是发散的。（反证）（反证）假设假设 11 nn是收敛的。是收敛的。设它的部分和为设它的部分和为ns则则nns lim存在，存在，记极限值为记极限值为ssnn li
5、ms，即，即ssnn 2lim )(lim2nnssnnnnssn limlim2 s s 0,即即 )(lim2nnssn0(*)另一方面，另一方面，)21.111.31211(nnn )1.31211(n nn21.11 nn21.21 nssn 2 21)(lim2nnssn 0项项 n这与这与(*)式矛盾！式矛盾！11 nn是发散的。是发散的。二、级数的基本性质二、级数的基本性质1、若若 1nnu收敛，收敛，设其和为设其和为s，则，则 1nnku也收敛，也收敛，且其和为且其和为ks.)(为为常常数数k2、若若 1nnu收敛，收敛，其和为其和为s则则 1nnv收敛，收敛，其和为其和为 1
6、)(nnnvu(1)收敛，收敛，且其和为且其和为 s 1)(nnnvu(2)收敛，收敛，且其和为且其和为 s3、在级数的前面或中间在级数的前面或中间,去掉、添加或改变去掉、添加或改变有限项，有限项，所得级数与原级数的收敛性相同。所得级数与原级数的收敛性相同。注意：注意：和变了和变了（）4、若一个级数收敛，若一个级数收敛，则对其项任意加括号后则对其项任意加括号后所得级数也收敛，所得级数也收敛，且其和不变。且其和不变。注意：注意：反之不然反之不然（）反例：反例：0)1(nn 0)1(nn ns 为为偶偶数数为为奇奇数数nn ,0 ,1nns lim不存在不存在 0)1(nn发散发散即即 0)1(n
7、n.11 11 .11 11 ()().0 0 收敛收敛但但 0)1(nn.11 11 发散发散的部分和的部分和加括号加括号性质性质4 的逆否命题：的逆否命题：若一个级数加括号后所得级数发散，若一个级数加括号后所得级数发散，则原级数也发散。则原级数也发散。说明：说明：可利用这个命题，来判断一个级数是发散的。可利用这个命题，来判断一个级数是发散的。三、三、级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件定义定义设设 1nnu收敛，收敛，其和为其和为s，设它的前设它的前n项部分和为项部分和为ns，称称nss 为为 1nnu的余项，的余项，记为记为nr，即即nnssr .21 nnuu定理定理若若 1nnu收敛，收敛，则则0lim nnu证证设设 1nnu的部分和为的部分和为ns 1nnu收敛收敛nns lims nu).(121nnuuuu ).(121 nuuu ns 1 ns nnulim ns nlim1 ns nlim s s0 注意注意 其逆命题不对。其逆命题不对。反例：反例：11nnn10但但 11nn发散。发散。推论推论若若nu0，则则 1nnu发散。发散。例例 112nnn 12nn发散发散发散发散作业：作业：P254,1(1)(3)，2(3)(4),3,4
