1、第七节双曲线的概念和性质【教材基础回顾【教材基础回顾】1.1.双曲线的定义双曲线的定义平面内与两平面内与两个定点个定点F F1 1,F,F2 2(|F(|F1 1F F2 2|=2c0)|=2c0)的距离的距离_为非零常数为非零常数2a(2a2c)2a(2a0,b0)(a0,b0)_(a0,b0)(a0,b0)性性质质范围范围_2222xy1ab2222yx1abxaxa或或x-ax-ay-ay-a或或yaya性性质质对称性对称性对称轴对称轴:_:_对称中心对称中心:_:_对称轴对称轴:_:_对称中心对称中心:_:_顶点顶点顶点坐标顶点坐标:A A1 1_,_,A A2 2 _顶点坐标顶点坐标
2、:A A1 1 _,_,A A2 2 _坐标轴坐标轴原点原点坐标轴坐标轴原点原点(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0,-a)(0,-a)(0,a)(0,a)性性质质渐近线渐近线y=_y=_y=_y=_离心率离心率e=_,e_e=_,e_bxaaxbca(1,+)(1,+)性质性质 实虚轴实虚轴线段线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的实轴叫做双曲线的实轴,它的长它的长|A|A1 1A A2 2|=_;|=_;线段线段B B1 1B B2 2叫做双曲线的虚叫做双曲线的虚轴轴,它的长它的长|B|B1 1B B2 2|=_;a|=_;a叫做双曲线的叫做双曲线的实半轴长实半轴长,b,b叫
3、做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长a,b,ca,b,c间间的关系的关系c c2 2=_(ca0,cb0)=_(ca0,cb0)2a2a2b2ba a2 2+b+b2 2【金榜状元笔记【金榜状元笔记】1.1.双曲线定义的四点辨析双曲线定义的四点辨析(1)(1)当当02a|F02a|F2a|F1 1F F2 2|时时,动点的轨迹不存在动点的轨迹不存在.2.2.方程方程 (mn0)(mn0)表示的曲线表示的曲线(1)(1)当当m0,n0m0,n0时时,表示焦点在表示焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线.(2)(2)当当m0,n0m0,n0,b0)=1(a0,b0)的一条渐近线方程为的一条渐近线方
4、程为y=y=x,x,且与椭圆且与椭圆 =1=1有公有公共焦点共焦点,则则C C的方程为的方程为()2222xyab5222xy12322222222xyxyA.1 B.1 81045xyxyC.1 D.15443【解析【解析】选选B.B.由题意可得由题意可得:,c=3,:,c=3,又又a a2 2+b+b2 2=c=c2 2,解得解得a a2 2=4,b=4,b2 2=5,=5,则则C C的方程为的方程为 =1.=1.b5a222xy452.2.双曲线双曲线 上的点上的点P P到点到点(5,0)(5,0)的距离是的距离是6,6,则则点点P P的坐标是的坐标是_._.22xy1169【解析【解析
5、】设设P(x,yP(x,y),),由已知得由已知得:解得解得 所以所以P(8,).P(8,).答案答案:(8,)(8,)2222xy1,169x5y36，x8,y3 3.3 33 33.3.以椭圆以椭圆 的焦点为顶点的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲顶点为焦点的双曲线方程为线方程为_._.【解析【解析】由已知得由已知得a=1,c=2,a=1,c=2,则双曲线方程为则双曲线方程为x x2 2-=1.-=1.答案答案:x x2 2-=1-=122xy1432y32y34.4.经过点经过点A(5,-3),A(5,-3),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为线方程为_._.
6、【解析【解析】设双曲线的方程为设双曲线的方程为:x:x2 2-y-y2 2=,=,把点把点A(5,-3)A(5,-3)代代入入,得得=16,=16,故所求方程为故所求方程为 答案答案:22xy1.161622xy11616【母题变式溯源【母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1双曲线的性质及标准方程双曲线的性质及标准方程P62P62B B组组T1T12 2双曲线的定义双曲线的定义P61P61A A组组T1T13 3双曲线的标准方程双曲线的标准方程P61P61练习练习 T3T34 4双曲线的标准方程双曲线的标准方程P62P62A A组组T6T6考向一考向一 双曲线的定义及其应用双
7、曲线的定义及其应用【典例【典例1 1】(1)(1)已知动圆已知动圆M M与圆与圆C C1 1:(:(x+4)x+4)2 2+y+y2 2=2=2外切外切,与圆与圆C C2 2:(:(x-4)x-4)2 2+y+y2 2=2=2内切内切,则动圆圆心则动圆圆心M M的轨迹方程为的轨迹方程为()22222222xyA.1(x2)214xyB.1(x2)214xyC.1(x2)214xyD.1(x2)214 (2)(2)已知双曲线已知双曲线x x2 2-=1=1的两个焦点为的两个焦点为F F1 1,F,F2 2,P,P为双曲线为双曲线右支上一点右支上一点.若若|PF|PF1 1|=|=|PF|PF2
8、2|,|,则则F F1 1PFPF2 2的面积为的面积为()A.48A.48B.24B.24C.12C.12D.6D.62y2443【解析【解析】(1)(1)选选A.A.设动圆的半径为设动圆的半径为r,r,由题意可得由题意可得|MC|MC1 1|=r+|MC=r+|MC2 2|=r-|=r-所以所以|MC|MC1 1|-|MC|-|MC2 2|=2a,|=2a,故由双故由双曲线的定义可知动点曲线的定义可知动点M M在以在以C C1 1(-4,0),C(-4,0),C2 2(4,0)(4,0)为焦点为焦点,实轴长为实轴长为2a=2a=的双曲线的右支上的双曲线的右支上,即即a=c=4a=c=4b
9、b2 2=16-2=14,=16-2=14,故动圆圆心故动圆圆心M M的轨迹方程为的轨迹方程为 2，2，2 22 22，22xy1(x2).214(2)(2)选选B.B.由双曲线的定义可得由双曲线的定义可得|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=|PF|=|PF2 2|=|=2a=2,2a=2,解得解得|PF|PF2 2|=6,|=6,故故|PF|PF1 1|=8,|=8,又又|F|F1 1F F2 2|=10,|=10,故故PFPF1 1F F2 2为直角三角形为直角三角形,因此因此 131 2PFF121S|PF|PF|24.2【技法点拨【技法点拨】“焦点三角形焦点三角形”中常用到
10、的知识点及技巧中常用到的知识点及技巧(1)(1)常用知识点常用知识点:在在“焦点三角形焦点三角形”中中,正弦定理、余弦正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用定理、双曲线的定义经常使用.(2)(2)技巧技巧:经常结合经常结合|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a,|=2a,运用完全平方公运用完全平方公式式,建立它与建立它与|PF|PF1 1|PF|PF2 2|的联系的联系.【拓展【拓展】双曲线双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的左右焦点分别的左右焦点分别为为F F1 1,F,F2 2,点点P P为双曲线右支上任意一点为双曲线右支上任意一点.(1)(1)焦半径焦半径:左焦
11、半径左焦半径|PF|PF1 1|=ex|=ex0 0+a,+a,右焦半径右焦半径|PF|PF2 2|=|=exex0 0-a.-a.2222xyab(2)F(2)F1 1PFPF2 2=,=,则双曲线的焦点三角形的面积为则双曲线的焦点三角形的面积为 (3)(3)通径长为通径长为 122FPFbS.tan222b.a【同源异考【同源异考金榜原创金榜原创】1.1.方程方程 的化简结果为的化简结果为 2222(x10)y(x10)y1222222222xyxyA.1 B.136646436xyxyC.1(x0)D.1(x0)36646436【解析【解析】选选C.C.设设A(-10,0),B(10,0
12、),A(-10,0),B(10,0),由于动点由于动点M(x,yM(x,y)的轨迹方程为的轨迹方程为 =12,=12,则则|MA|-|MB|=12,|MA|-|MB|=12,故点故点M M到定点到定点A(-10,0)A(-10,0)与到定点与到定点B(10,0)B(10,0)的距离差为的距离差为12,12,则动点则动点M(x,yM(x,y)的轨迹是以的轨迹是以(10,0)10,0)为焦点为焦点,以以1212为实轴长的双曲线的右支为实轴长的双曲线的右支,2222(x10)y(x10)y由于由于2a=12,c=10,2a=12,c=10,则则b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=64,=64,
13、故故M M的轨迹的标准方程为的轨迹的标准方程为 22xy1(x0).36642.2.设设F F1 1,F,F2 2分别是双曲线分别是双曲线x x2 2-=1=1的左、右焦点的左、右焦点.若点若点P P在双曲线上在双曲线上,且且|PF|PF1 1|=6,|=6,则则|PF|PF2 2|=|=()A.6A.6B.4B.4C.8C.8D.4D.4或或8 82y9【解析【解析】选选D.D.由双曲线的标准方程可得由双曲线的标准方程可得:a=1,:a=1,则则|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=2,|=2a=2,即即|6-|PF|6-|PF2 2|=2,|=2,解得解得|PF|PF2 2
14、|=4|=4或或8.8.考向二考向二 双曲线的标准方程双曲线的标准方程【典例【典例2 2】(1)(1)已知双曲线已知双曲线 (a0,b0)(a0,b0)的一条的一条渐近线方程为渐近线方程为y=y=它的焦距为它的焦距为8,8,则此双曲线的方程则此双曲线的方程为为()2222xy1ab3x，22222222yxA.x1 B.y133xyxyC.1 D.1412124(2)(2)设双曲线与椭圆设双曲线与椭圆 有共同的焦点有共同的焦点,且与椭圆且与椭圆相交相交,一个交点的坐标为一个交点的坐标为(4),4),则此双曲线的标准方则此双曲线的标准方程是程是_._.22xy1273615，【解析【解析】(1)
15、(1)选选C.C.由题知由题知2c=8,2c=8,所以所以c=4,c=4,又又 所以所以b=a(a,b,c0).b=a(a,b,c0).又又a a2 2+b+b2 2=c=c2 2,所以所以a a2 2+3a+3a2 2=16.=16.得得a=2,b=2 .a=2,b=2 .故双曲线方程为故双曲线方程为 by3xxa，3322xy1412(2)(2)椭圆椭圆 的焦点坐标是的焦点坐标是(0,(0,3),3),设双曲线方设双曲线方程为程为 (a0,b0),(a0,b0),则则a a2 2+b+b2 2=9,=9,又点又点(4)(4)在在双曲线上双曲线上,所以所以 =1,=1,解得解得a a2 2=
16、4,b=4,b2 2=5.=5.故所求双曲故所求双曲线的标准方程为线的标准方程为 答案答案:22xy127362222yx1ab15，221615ab22yx1.4522yx145【巧思妙解【巧思妙解】本题还可以采用以下方法本题还可以采用以下方法.设双曲线的方程为设双曲线的方程为 =1(2736),=1(270,b0)=1(a0,b0)的左、右焦点分别的左、右焦点分别为为F F1 1,F,F2 2,点点P P在双曲线的右支上在双曲线的右支上,若若|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=4b,|=4b,且且双曲线的焦距为双曲线的焦距为 则该双曲线方程为则该双曲线方程为()2222xyab
17、2 5，22222222xxyA.y1 B.1432yxyC.x1 D.1423【解析【解析】选选A.A.由题意可得由题意可得 解得解得 则该双曲线方程为则该双曲线方程为 -y-y2 2=1.=1.12222|PF|PF|2a4bcab2c2 5，22a4b1，2x42.2.已知双曲线已知双曲线C C的中心在原点的中心在原点O,O,焦点焦点 点点A A为左为左支上一点支上一点,满足满足|OA|=|OF|OA|=|OF|且且|AF|=2,|AF|=2,则双曲线则双曲线C C的方程的方程为为世纪金榜导学号世纪金榜导学号12560288(12560288()F(5,0)，22222222xxyA.y
18、1 B.14164yxyC.x1 D.14416【解析【解析】选选C.C.由题意设由题意设A(xA(x0 0,y,y0 0),),左焦点坐标为左焦点坐标为则则|OF|=c=|OF|=c=结合结合|OA|=|OF|,|AF|=2,|OA|=|OF|,|AF|=2,可得可得:F(5,0)，5，22002200 xy5(x5)y2，解得解得:结合题意结合题意,检验可得双曲线检验可得双曲线C C的方程为的方程为x x2 2-=1.-=1.00003 53 5xx554 54 5yy55 ，或，2y4考向三考向三 双曲线的性质双曲线的性质 高频考点高频考点【典例【典例3 3】(1)(2015(1)(20
19、15全国卷全国卷)已知已知A,BA,B为双曲线为双曲线E E的的左、右顶点左、右顶点,点点M M在在E E上上,ABMABM为等腰三角形为等腰三角形,且顶角为且顶角为120120,则则E E的离心率为的离心率为()A.A.B.2B.2C.C.D.D.253(2)(2018(2)(2018三明模拟三明模拟)设设F F1 1,F,F2 2为双曲线为双曲线:(a0,b0)(a0,b0)的左、右焦点的左、右焦点,P,P为为上一点上一点,PF,PF2 2与与x x轴垂直轴垂直,直线直线PFPF1 1的斜率为的斜率为 则双曲线则双曲线的渐近线方程为的渐近线方程为()A.y=A.y=x xB.yB.y=x
20、xC.yC.y=x xD.yD.y=2x2x2222xy1ab34，23(3)(2015(3)(2015全国卷全国卷)已知已知M(xM(x0 0,y,y0 0)是双曲线是双曲线C:C:-y-y2 2=1=1上的一点上的一点,F,F1 1,F,F2 2是是C C的两个焦点的两个焦点,若若 0,0,b0),=1(a0,b0),则则|BM|=|AB|=2a,|BM|=|AB|=2a,MBx=180MBx=180-120-120=60=60,2222xyab所以所以M M点的坐标为点的坐标为M(2a,a)M(2a,a).因为因为M M点在双曲线上点在双曲线上,所以所以 =1,a=b,=1,a=b,所以
21、所以c=a,ec=a,e=322224a3aab-2c2.a(2)(2)选选C.C.不妨设点不妨设点P P位于第一象限位于第一象限,点点P P的坐标为的坐标为P(c,mP(c,m),),则则 解得解得m=m=即即 又又F F1 1(-c,0),(-c,0),据此有据此有:2222cm1ab，2ba，2bP(c,)a，12PFb03akc(c)4，整理可得整理可得:2e:2e2 2-3e-2=0,-3e-2=0,结合离心率的范围可得结合离心率的范围可得:e=2,e=2,则则:双曲线双曲线的渐近线方程为的渐近线方程为 22bb3,3aa，cay3x.(3)(3)选选A.A.因为因为F F1 1(-
22、,0),F(-,0),F2 2(,0),=1,(,0),=1,所以所以 0,0,即即3 -10,3 -10,解得解得-y-y0 0 .332200 xy2 2212000000MF MF3x,y3x,yxy3 333320y【一题多变【一题多变】1.1.若本例若本例(3)(3)中的条件中的条件“0”0”改为改为“=0”,=0”,试求试求MFMF1 1F F2 2的面积的面积.12MF MF 12MF MF 【解析【解析】由题意知由题意知:F:F1 1(-,0),F(-,0),F2 2(,0),-=1,(,0),-=1,所以所以 =3 -1=0,=3 -1=0,解得解得:y:y0 0=,又因为又
23、因为|F|F1 1F F2 2|=2 ,|=2 ,所以所以MFMF1 1F F2 2的面积的面积=1,=1,即即MFMF1 1F F2 2的面积为的面积为1.1.332200 xy2 2212000000MF MF3x,y3x,yxy3 333132 32320y2.2.若本例若本例(3)(3)中的条件中的条件“0”1.e1.ca(2)(2)双曲线双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的渐近线是令的渐近线是令 =0,=0,即得两渐近线方程即得两渐近线方程 (3)(3)渐近线的斜率也是一个比值渐近线的斜率也是一个比值,可类比离心率的求法可类比离心率的求法解答解答.2222xyab2222x
24、yabxy0.ab【同源异考【同源异考金榜原创金榜原创】命题点命题点1 1与双曲线有关的离心率问题与双曲线有关的离心率问题1.1.已知双曲线已知双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的渐近线与圆的渐近线与圆x x2 2+(y-4)+(y-4)2 2=1=1相切相切,则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为()A.2A.2B.B.C.3C.3D.4D.42222xyab3【解析【解析】选选D.D.因为双曲线因为双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的渐近的渐近线方程为线方程为bxbxayay=0.=0.依题意依题意,直线直线bxbxayay=0=0与圆与圆x x2 2+(+(y-y-4)
25、4)2 2=1=1相切相切,则圆心则圆心(0,4)(0,4)到直线到直线bxbxayay=0=0的距离的距离d=d=1,=1,所以所以 =1,=1,所以双曲线离心率所以双曲线离心率e=e=4.=4.2222xyab22|4a|ab4acca命题点命题点2 2双曲线的渐近线问题双曲线的渐近线问题2.2.已知双曲线已知双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的离心率为的离心率为 则则其渐近线方程为其渐近线方程为()A.2xA.2xy=0y=0B.xB.x2y=02y=0C.3xC.3x4y=04y=0D.4xD.4x3y=03y=02222xyab54，【解析【解析】选选C.C.因为因为e=4
26、c=5a,e=4c=5a,即即16c16c2 2=25a=25a2 2,因为因为c c2 2=a=a2 2+b+b2 2,所以所以16a16a2 2+16b+16b2 2=25a=25a2 2,化简得化简得 所以渐近线方程为所以渐近线方程为3x3x4y=0.4y=0.c5,a4b3.a4命题点命题点3 3与双曲线有关的范围问题与双曲线有关的范围问题3.3.中心在原点的椭圆中心在原点的椭圆C C1 1与双曲线与双曲线C C2 2具有相同的焦点具有相同的焦点,P P为为C C1 1与与C C2 2在第一象限的交点在第一象限的交点,|PF,|PF1 1|=|=|F|F1 1F F2 2|且且|PF|
27、PF2 2|=3,|=3,若椭圆若椭圆C C1 1的离心率的离心率e e1 1 则双曲则双曲线的离心率线的离心率e e2 2的范围是的范围是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号125602901256029012 F(c,0)F(c,0)，2 4(,)3 5，3 554A.(,)B.(,2)C.(,2)D.(2,3)2 333【解析【解析】选选C.C.设椭圆方程为设椭圆方程为:=1(ab0),:=1(ab0),由由题意有题意有:|PF|PF2 2|=3=2a-|PF|=3=2a-|PF1 1|=2a-2c,|=2a-2c,设双曲线方程为设双曲线方程为 =1(m0,n0),=1(m0,n0),同理可
28、得同理可得2m=|PF2m=|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2c-(|=2c-(2a-2c2a-2c)=4c-2a,)=4c-2a,2222xy ab2222xymn所以所以m=2c-a,m=2c-a,又又e e2 2=因为因为e e1 1 所以所以 所以所以e e2 2 1cc11m2ca2e，2 4(,)3 5，115 3(,)e4 2，4(,2).3考向四考向四 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系【典例【典例4 4】(1)(1)已知双曲线已知双曲线E E的中心为原点的中心为原点,F(3,0),F(3,0)是是E E的焦点的焦点,过过F F的直线的直线l与与E E交于交
29、于A,BA,B两点两点,且且ABAB的中点为的中点为N N(-12,-15),(-12,-15),则双曲线则双曲线E E的方程为的方程为_._.(2)(2)已知双曲线已知双曲线C:xC:x2 2-y-y2 2=1=1及直线及直线l:y:y=kx-1.=kx-1.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256029112560291若若l与与C C有两个不同的交点有两个不同的交点,求实数求实数k k的取值范围的取值范围;若若l与与C C交于交于A,BA,B两点两点,O,O是坐标原点是坐标原点,且且AOBAOB的面积的面积为为 ,求实数求实数k k的值的值.2【解析【解析】(1)(1)设双曲线的标准方程为设
30、双曲线的标准方程为 -(a0,b0),(a0,b0),由题意知由题意知c=3,ac=3,a2 2+b+b2 2=9,=9,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则有则有 两式作差得两式作差得 2222xy1ab221122222222xy1,abxy1ab，22212122221212bxxyy12b4bxxayy15a5a，又又ABAB的斜率是的斜率是 所以将所以将4b4b2 2=5a=5a2 2代入代入a a2 2+b+b2 2=9=9得得a a2 2=4,b=4,b2 2=5.=5.所以双曲线的标准方程是所以双曲线的标准方程是 答案答案:15
31、01123，22xy1.4522xy145(2)(2)双曲线双曲线C C与直线与直线l有两个不同的交点有两个不同的交点,则方程组则方程组 有两个不同的实数根有两个不同的实数根,整理得整理得(1-k(1-k2 2)x)x2 2+2kx-2=0,2kx-2=0,所以所以 解得解得 k k|x|x2 2|时时,1221222kxx,1 k2x x.1 kS SOABOAB=S=SOADOAD-S-SOBDOBD=(|x=(|x1 1|-|x|-|x2 2|)=|x|)=|x1 1-x-x2 2|;|;当当A,BA,B在双曲线的两支上且在双曲线的两支上且x x1 1xx2 2时时,S SOABOAB=
32、S=SODAODA+S+SOBDOBD=(|x=(|x1 1|+|x|+|x2 2|)=|x|)=|x1 1-x-x2 2|.|.所以所以S SOABOAB=|x=|x1 1-x-x2 2|=,|=,12121212122所以所以(x(x1 1-x-x2 2)2 2=(2 )=(2 )2 2,即即 解得解得k=0k=0或或k=k=又因为又因为 且且kk1,1,所以当所以当k=0k=0或或k=k=时时,AOBAOB的面积为的面积为 22222k8()81 k1 k，6.22k2，622.【误区警示【误区警示】联立直线方程与双曲线方程消元后联立直线方程与双曲线方程消元后,注意注意二次项系数是否为二
33、次项系数是否为0 0的判断的判断.【技法点拨【技法点拨】直线与双曲线的位置关系的判断和技巧直线与双曲线的位置关系的判断和技巧(1)(1)判断方法判断方法:联立直线方程与双曲线方程联立直线方程与双曲线方程,消元消元,转化转化为关于为关于x(x(或或y)y)的一元一次或一元二次方程解的个数问的一元一次或一元二次方程解的个数问题题.(2)(2)一个技巧一个技巧:对于中点弦问题常用对于中点弦问题常用“点差法点差法”,但需要但需要检验检验.(3)(3)弦长公式弦长公式:设直线与双曲线交于设直线与双曲线交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)两点两点,直线的斜率为直线
34、的斜率为k,k,则则|AB|=|AB|=|x|x1 1-x-x2 2|.|.21k【同源异考【同源异考金榜原创金榜原创】1.1.过双曲线过双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的焦点的焦点F F且与一条渐近且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于线垂直的直线与两条渐近线相交于A,BA,B两点两点,若若 则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为_._.2222xyabBF3FA，【解析【解析】由焦点由焦点F F到渐近线距离等于到渐近线距离等于b b得得|AF|=b,|BF|AF|=b,|BF|=3b,=3b,因此因此|OA|=a,|OA|=a,再由角平分线性质得再由角平分线性质得 =3,=3
35、,|OB|=3a,|OB|=3a,因此因此 答案答案:|OB|BF|OA|AF|2222222(4b)a(3a)16(ca)8a2c62263ae.22.2.已知中心在原点的双曲线已知中心在原点的双曲线C C的右焦点为的右焦点为(4,0),(4,0),实轴长实轴长为为 世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256029212560292(1)(1)求双曲线求双曲线C C的方程的方程.(2)(2)若直线若直线l:y=kx:y=kx+与双曲线与双曲线C C左支交于左支交于A,BA,B两点两点,求求k k的取值范围的取值范围.4 3.2 2【解析【解析】(1)(1)设双曲线设双曲线C C的方程为的方程为 (
36、a0,b0).(a0,b0).由已知得由已知得:a=c=4,:a=c=4,再由再由a a2 2+b+b2 2=c=c2 2,得得b b2 2=4,=4,所以双曲所以双曲线线C C的方程为的方程为 2222xy1ab2 3,22xy1.124(2)(2)设设A(xA(xA A,y,yA A),B(x),B(xB B,y,yB B),),将将y=kxy=kx+与与 联联立立,得得(1-3k1-3k2 2)x x2 2-12 kx-36=0.-12 kx-36=0.由题意知由题意知2 222xy11242222AB2AB21 3k0(12 2k)4(1 3k)36012 2kxx01 3k36x x
37、01 3k ，解得解得 k1.k1.所以当所以当 k1k1时时,l与双曲线左支有两个交点与双曲线左支有两个交点.3333核心素养系列（五十六）核心素养系列（五十六）数学运算数学运算双曲线与不等式综合问题中的核心素养双曲线与不等式综合问题中的核心素养以学习过的双曲线和不等式的相关知识为基础以学习过的双曲线和不等式的相关知识为基础,通通过将已知条件代数化过将已知条件代数化,并进行一系列的数学运算并进行一系列的数学运算,从而从而使问题得以解决使问题得以解决.【典例【典例】焦点在焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线C C1 1的离心率为的离心率为e e1 1,焦点焦点在在y y轴上的双曲线轴上的双曲线
38、C C2 2的离心率为的离心率为e e2 2,已知已知C C1 1与与C C2 2具有相同具有相同的渐近线的渐近线,当当e e1 12 2+4e+4e2 22 2取最小值时取最小值时,e,e1 1的值为的值为()6A.1 B.C.3 D.22【解析【解析】选选C.C.设双曲线的方程分别为设双曲线的方程分别为C C1 1:C C2 2:由题设由题设 则则由此可得由此可得(e(e1 12 2-1)(e-1)(e2 22 2-1)=1,-1)=1,即即e e1 12 2e e2 22 2=e=e1 12 2+e+e2 22 2,故故=所以所以 (当且仅当当且仅当 时取等号时取等号),e),e1 12 2-1=2-1=2e e1 1=时时取等号取等号.222211xy1ab，222222yx1ab，1212baab，2212122212bbe1e1,aa，221221eee1，222221121122114e4e4ee5e19e1e1 21214e1e1 3
