1、第五章5.1任意角和弧度制5.1.1任意角任意角学习目标学习目标XUE XI MU BIAO1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.内容索引知识梳理知识梳理题型探究题型探究随堂演练随堂演练课时对点课时对点练练1知识梳理知识梳理PART ONE知识点一任意角知识点一任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .2.角的表示：如图所示：角可记为“”或“”或“AOB”，始边：，终边：，顶点 .射线旋转图形OAOBO名称定义图示正角一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 负角一条射线绕其端点按
2、 方向旋转形成的角 零角一条射线 做任何旋转形成的角 3.角的分类：逆时针顺时针没有知识点二角的加法与减法知识点二角的加法与减法设，是任意两个角，为角的相反角.(1)：把角的 旋转角.(2)：.终边()知识点三象限角知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几_；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限.原点终边象限角坐标轴上思考“锐角”“第一象限角”“小于90的角”三者有何不同？答案锐角是第一象限角也是小于90的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360的角，还可以是负角，小于90的角可以是锐角
3、，也可以是零角或负角.知识点四终边相同的角知识点四终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S_，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.k360，kZ|思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍；相等的角终边相同.1.第二象限角是钝角.()2.终边与始边重合的角为零角.()3.终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍.()思考辨析思考辨析 判断正误判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究题型探究PART TWO例1(多选)下列说法，不正确的是A.三角形的内角必是
4、第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.钝角比第三象限角小D.小于180的角是钝角、直角或锐角一、任意角的概念一、任意角的概念解析A中90的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中钝角是大于100的角，而100的角是第三象限角，故C不正确；D中零角或负角小于180，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.反反思思感感悟悟理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举
5、一个反例即可.跟踪训练跟踪训练1 1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是A.60，720 B.60，720C.30，360 D.60，720解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，故钟表的时针和分针转过的角度分别是60，720.例2已知1 845，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；二、终边相同的角二、终边相同的角解因为1 84545(5)360，即1 845角与45角的终边相同，所以与角终边相同的角的集合是|45k360，kZ，最小的正角为315.(2)最大的负角；解最大的负角为45.(3)360720之间的角.解360720之间的角分别是
6、45，315，675.反反思思感感悟悟终边相同的角的表示(1)终 边 相 同 的 角 都 可 以 表 示 成 k360(kZ)的形式.(2)终边相同的角相差360的整数倍.跟踪训练2(1)若角2与240角的终边相同，则等于A.120k360，kZB.120k180，kZC.240k360，kZD.240k180，kZ解析角2与240角的终边相同，则2240k360，kZ，则120k180，kZ.(2)下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是A.37 B.143 C.379 D.143解析与37角的终边在同一直线上的角可表示为37k180，kZ，当k1时，37180143.三、象限角及区域角的
7、表示三、象限角及区域角的表示例3(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是A.200 B.100 C.220 D.420解析200360160，在0360范围内，与200终边相同的角为160，它是第二象限角，同理100为第二象限角，220为第三象限角，420为第一象限角.(2)如图所示.解终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ.终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ.写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210k360300，kZ.反反思思感感悟悟(1)象限角的判定方法根据
8、图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.将角转化到0360范围内.在直角坐标平面内，在0360之间没有两个角终边是相同的.(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360.第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区域角集合.跟踪训练3已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围.解终边在30角的终边所在直线上的角的集合为S1|30k180，kZ，终边在18075105角的终
9、边所在直线上的角的集合为S2|105k180，kZ，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为|30k180 105k180，kZ.核心素养核心素养之逻辑推理之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI确定n及 所在的象限典例已知是第二象限角：(1)求角 所在的象限；解方法一是第二象限角，k 3 6 0 9 0 k 3 6 0 180(kZ).方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，(2)求角2所在的象限.解k36090k360180(kZ).k7201802k720360(kZ).角2的终边在第三或
10、第四象限或在y轴的非正半轴上.素素养养提提升升分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，k被n除余n1.然后方可下结论.几何法依据数形结合，简单直观.通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养.3随堂演练随堂演练PART THREE1.与30终边相同的角是A.330 B.150 C.30 D.3301 2 3 4 5解析因为所有与30终边相同的角都可以表示为k360(30)，kZ，取k1，得330.2.2 020是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角1 2 3 4 5解析2 0205360220，所以2 020角的终边与2
11、20角的终边相同，为第三象限角.3.与460角终边相同的角可以表示成A.460k360，kZ B.100k360，kZC.260k360，kZ D.260k360，kZ1 2 3 4 5解析因为460260(2)360，故与460角终边相同的角可以表示成260k360，kZ.4.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120 B.120 C.60 D.601 2 3 4 5解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，1 2 3 4 55.已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是_.|k36045k360150，kZ解析观察图形可知，角的集合是|k36045k3
12、60150，kZ.课堂小结课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)任意角的概念.(2)终边相同的角.(3)象限角、区域角的表示.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：锐角与小于90角的区别，终边相同角的表示中漏掉kZ.4课时对点课时对点练练PART FOUR1.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是A.160 B.480 C.960 D.1 530基础巩固1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解析160是第二象限角；480120360是第二象限角；9603360120是第二象限角；1 530436090不是第二象限角.2.与
13、457角的终边相同的角的集合是A.|457k360，kZB.|97k360，kZC.|263k360，kZD.|263k360，kZ1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 16103.下面各组角中，终边相同的是A.390，690 B.330，750C.480，420 D.3 000，8401 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 1610解析因为33036030，75072030，所以330与750终边相同.4.若是第四象限角，则180是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13
14、14 15 16解析可以给赋一特殊值60，则180240，故180是第三象限角.105.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是A.|45120B.|120315C.|45k360120k360，kZD.|120k360315k360，kZ解析如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|45k360120k360，kZ.1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 16101 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 16解析顺时针方向旋转3周转了(3360)1 080.又50(1 080)1 030，故所得的角为1 030.6.50角的始边与x轴的非
15、负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是_.101 0301 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 167.与2 020角终边相同的最小正角是_；最大负角是_.解析因为2 0206360140，140360220，所以最小正角为140，最大负角为220.102201408.在0360范围内，与角60的终边在同一条直线上的角为_.1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 1610解析与角60的终边在同一条直线上的角可表示为60k180，kZ.所求角在0360范围内，060k180360，120，300k1或2，当k1时，120，当k2时，3
16、00.1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 169.已知1 910.(1)把写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；10解1 9106360250，它是第三象限角.(2)求，使与的终边相同，且7200.解令250n360(nZ)，取n1，2就得到符合7200的角.250360110，250720470.故110或470.1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 1610.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合.10解先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1)|30k360150k360，kZ.(2)|210k360
17、30k360，kZ.11.(多选)角45k180(kZ)的终边落在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限综合运用1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 1610解析当k2m1(mZ)时，2m180225m360225，故为第三象限角；当k2m(mZ)时，m36045，故为第一象限角.故在第一或第三象限.解析方法一特例法，取30，可知C正确.方法二因为是第一象限角，所以k36090k360(kZ)，所以270k360360360k360(kZ)，故360是第四象限角.12.若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A.90 B.90C.360 D.18
18、01 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 161013.终边与坐标轴重合的角的集合是A.|k360，kZB.|k18090，kZC.|k180，kZD.|k90，kZ1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 1610解析终边在坐标轴上的角大小为90的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为|k90，kZ.1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 1614.若角满足180360，角5与有相同的始边与终边，则角_.10解析角5与具有相同的始边与终边，5k360，kZ，得4k360，kZ，k90，kZ，又180360，180k903
19、60，解得2k4，又kZ，k3.当k3时，270.270拓广探究1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 16101 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 1610即M是由45的奇数倍构成的集合，即N是由45的整数倍构成的集合，MN.16.已知，都是锐角，且的终边与280角的终边相同，的终边与670角的终边相同，求角，的大小.1 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 16101 2 3 4 5 6 7 8 911 12 13 14 15 1610解由题意可知280k360，kZ.，为锐角，0180.取k1，得80，670k360，kZ.，为锐角，9090.取k2，得50，由得15，65.
