1、数学活动数学活动 R九年级上册问题问题:观察下列两个两位数的积，观察下列两个两位数的积，猜一猜其猜一猜其中哪个积最大中哪个积最大.9199,9298,9892,9991.这节课我们运用二次函数的知识探究和这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值说明两数的积的最大值.(1)探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律.(2)建立二次函数模型证明猜想是否正确建立二次函数模型证明猜想是否正确.(3)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.重点：探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律重点：探
2、究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律,并并建立二次函数模型论证猜想的正确性建立二次函数模型论证猜想的正确性.难点：建模难点：建模.活动1猜想猜想：下列式子中，哪个积最大？：下列式子中，哪个积最大？901999，902998，998902,999901.猜一猜猜一猜先研究稍小一点的数，算一算，看你的猜想是否正确：9199=,9298=,9397=,9496=,9595=.90099016902190249025猜想猜想：下列式子中，哪个乘积最大？：下列式子中，哪个乘积最大？901 901999999，902 902998998，998 998902,902,999 999901.901.猜测
3、猜测:950:950950950最大！最大！这个猜测对这个猜测对不对呢？不对呢？证明：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000-x),设两数积为y.(1)求y与x的函数关系式；y=(900+x)(1000-x)=-x2+100 x+900000(2)求y的最大值；y=-(x-50)2+902500y的最大值为902500，此时x=50.【对应训练】观察：观察：55=01100+25,1515=12100+25,2525=23100+25,3535=34100+25,请猜测，第请猜测，第n个算式（个算式（n为正整数）的结果为正整数）的结果y应表示为什应表示为什么解析式么解析式?此解析式是否
4、为二次函数？此解析式是否为二次函数？解：解：y=(n-1)n100+25 =100n2-100n+25.此解析式是二次函数此解析式是二次函数.活动2 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2).在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：连接连接AM，作线段，作线段AM的垂直平分线的垂直平分线l1，过点过点M作作x轴的垂线轴的垂线l2,记记l1,l2的交点为的交点为P.在在x轴上多次改变点轴上多次改变点M的位置，用的方的位置，用的方法得到相应的点法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线，把这些点用平滑的曲线连接起来连接起来.3yO-33xA(0,2)Ml1l2P（1）观察画出的曲线L，猜想它是我
5、们学过的哪种曲线？（2）对于曲线）对于曲线L上任意一点上任意一点P，线段，线段PA与与PM有什么关系？有什么关系？设点设点P的坐标是（的坐标是（x,y）,你能由你能由PA与与PM的关系得到的关系得到x、y满满足的关系式吗？足的关系式吗？3yOxA(0,2)Ml1l2P（提示：根据勾股定理用含（提示：根据勾股定理用含x,y的的式子表示线段式子表示线段PA的长的长.）解：对于曲线L上任意一点P，连接PM、PA，则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,设点P的坐标为(x,y),则PA2=x2+(y-2)2，PM=|y|，由PA与PM的关系列等式x2+(y-2)2=y2，化简得y=x2/4+1.由此
6、，点P在函数y=x2/4+1的图象上.即曲线L的形状是抛物线.3yOxA(0,2)Ml1l2P你能由此确定曲线你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？是哪种曲线吗？基础巩固基础巩固1.如图是某段河床横断面的示意图查阅该河段的水文资如图是某段河床横断面的示意图查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：料，得到下表中的数据：(1)请你以上表中的各对数据请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试作为点的坐标，尝试在坐标系中画出在坐标系中画出y关于关于x的函数图象的函数图象;解：解：(1)如图如图.xyO1020304050261014(2)当水面宽度为当水面宽度为36米时，一艘吃水深度米时，一艘吃水深
7、度(船底部到水面的船底部到水面的距离距离)为为1.8米的货船能否在这个河段安全通过米的货船能否在这个河段安全通过?为什么为什么?解：解：设该函数解析式为设该函数解析式为y=ax2，抛物线过点抛物线过点(20，2)，2=a202，解得，解得a=0.005，y=0.005x2.当当x=18时，时，y=1.621.8.该货船在这个河段不能安全通过该货船在这个河段不能安全通过.2.根据以下根据以下10个乘积，回答问题：个乘积，回答问题：1399；2398；3397；4396；3982；3991(1)猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？(2)运用二次函数的知识说明
8、你的猜想是正确的运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.解：解：(1)200200的积最大的积最大.(2)设第一个乘数为设第一个乘数为x，第二个乘数为，第二个乘数为(400-x)，乘积为，乘积为y.y=x(400-x)=-x2+400 x.当当x=200时，时，y有最大值有最大值.猜想正确猜想正确.400200.221ba 又又综合应用综合应用3.九九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大观为长方形的三种框
9、架，使长方形框架面积最大.小组讨小组讨论后，同学们做了以下三种试验论后，同学们做了以下三种试验:(1)在图案中，如果铝合金材料总长度在图案中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长图中所有黑线的长度和度和)为为6m,当当AB为为1m,长方形框架长方形框架ABCD的面积是的面积是 m2;请根据以上图案回答下列问题请根据以上图案回答下列问题:43(2)在图案中，如果铝合金材料总长度为在图案中，如果铝合金材料总长度为6m，设设AB为为xm,长方形框架长方形框架ABCD的面积为的面积为S=(用含用含x的代数式表示的代数式表示)；当当AB=m时时,长方形框架长方形框架ABCD的面积的面积S最大最大;在图
10、案中，在图案中，如果铝合金材料总长度为如果铝合金材料总长度为l m,设设AB为为x m，当当AB=m时，时，长方形框架长方形框架ABCD的面积的面积S最大最大.x(2-x)18l(3)经过这三种情形的试验，他们发现对于图案这样的情经过这三种情形的试验，他们发现对于图案这样的情形也存在着一定的规律形也存在着一定的规律探究探究:如图案，如果铝合金材料总长度为如图案，如果铝合金材料总长度为l m共有共有n条竖档条竖档时，那么当竖档时，那么当竖档AB为多少时为多少时,长方形框架长方形框架ABCD的面积最大的面积最大.解：设解：设AB=x m.m.3lnxAD 则则2333lnxnlABCDSxxx 长
11、长方方形形框框架架的的面面积积，3.2223lblnan （）m.2lABABCDn当当竖竖档档为为时时，长长方方形形框框架架的的面面积积最最大大拓展延伸拓展延伸4.如图是棱长为如图是棱长为a的小正方体，图、图由这样的小的小正方体，图、图由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，自上而下正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，自上而下分别把第一层、第二层、第三层分别把第一层、第二层、第三层第第n层的小正方体的层的小正方体的个数记为个数记为S解答下列问题：解答下列问题：(1)填表：填表：n12345S1361015(2)当当n6时，时，S=;21n6136101521(3)根据表中的数据，把
12、根据表中的数据，把S作为点的纵坐标，作为点的纵坐标，n作为点的横作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；解：解：(3)如图如图xyO246810246810121412解：解：它们在同一函数图象上它们在同一函数图象上.设函数解析式为设函数解析式为y=an2+bn+c,图象经过点图象经过点(1,1),(2,3),(3,6).则则(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式某一函数的图象上，求出该函数的解析式xyO2468102468101214121,3 42,6 93,a b cab cab c 1,21,20.abc 解解 得得211.22ynn该该函函数数的的解解析析式式为为1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.数学活动属于开放性课时，教学过程应以数学活动属于开放性课时，教学过程应以学生为主体，确立学生的主导地位，注重让学学生为主体，确立学生的主导地位，注重让学生自己分析、探究并建立二次函数模型，通过生自己分析、探究并建立二次函数模型，通过解二次函数问题验证猜想的正确性解二次函数问题验证猜想的正确性.
