1、28.1 28.1 锐角三角函数锐角三角函数(1)(1)学习目标：学习目标：1、理解正弦函数的意义，掌握正弦函数的表示方法。、理解正弦函数的意义，掌握正弦函数的表示方法。2、能根据正弦函数的定义计算直角三角形中一个锐、能根据正弦函数的定义计算直角三角形中一个锐角的正弦函数值。角的正弦函数值。3、通过经历正弦函数概念的形成过程，培养学生从、通过经历正弦函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。特殊到一般及数形结合的思想方法。重点：重点：对正弦函数定义的理解及根据定义计算锐角的对正弦函数定义的理解及根据定义计算锐角的正弦函数值。正弦函数值。难点难点 正弦函数概念的形成。正弦函数
2、概念的形成。问题问题:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C=90，A30，BC35m，求，求AB根据根据“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半角所对的边等于斜边的一半”，即即可
3、得可得AB2BC70m，也就是说，需要准备，也就是说，需要准备70m长的水管长的水管ABC 分析：分析：情情境境探探究究在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管，那么不管三角形的大小如何，这个角的三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比对边与斜边的比值都等于值都等于21ABC50m35m,21ABCBA斜边的对边B C AB2B C 250100(m)在在RtABC中，中，C90，由于，由于A45，所以，所以
4、RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得是等腰直角三角形，由勾股定理得:22222BCBCACABBCAB222212BCBCABBC因此因此 即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的形的大小如何，这个角的对边与斜边的比对边与斜边的比都等于都等于22 如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使，使C90，A45，计算，计算A的对边与斜的对边与斜边的比边的比 ，你能得出什么结论？，你能得出什么结论？ABBCABC21综上可知，在一个综上可知，在一个RtABC中，中，C90，当，当A30时，时，A的的对边
5、与斜边的比对边与斜边的比都等于都等于 ，是一个，是一个固定值固定值；当；当A45时，时，A的的对边与斜边的比对边与斜边的比都等于都等于 ，也是一个，也是一个固定值固定值.22 一般地，当一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的取其他一定度数的锐角时，它的对对边与斜边的比边与斜边的比是否也是一个是否也是一个固定值固定值？在图中，由于在图中，由于CC90，AA，所以，所以RtABCRtABCBAABCBBCBACBABBC 这就是说，在直角三角形中，当锐角这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角的度数一定时，不管三角形的形的大小大小如何，如何，A的的对边与斜边的比对边与斜边的比也
6、是一个也是一个固定值固定值并且并且直角直角三角形中一个锐角的三角形中一个锐角的度数度数越大，它的越大，它的对边与斜边对边与斜边的比值越大的比值越大任意画任意画RtABC和和RtABC，使得，使得CC90，AA，那么那么 与与 有什么关系你能解释一下吗？有什么关系你能解释一下吗？ABBCBACB探究探究ABCABC 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的的对边对边与斜边的比值与斜边的比值叫做叫做A的正弦的正弦（sine），记作：），记作：sinA 即即caAA斜边的对边sin例如，当例如，当A30时，我们有时，我们有2130sinsinA当当A45时，我们有时，我们
7、有2245sinsinAABCcab对边对边斜边斜边在图中在图中A的对边记作的对边记作aB的对边记作的对边记作bC的对边记作的对边记作c 正正 弦弦 函函 数数例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，求，求sinA和和sinB的值的值解：解：（1）在）在RtABC中，中，5342222BCACAB因此因此53sinABBCA54sinABACB（2）在）在RtABC中，中，135sinABBCA125132222BCABAC因此因此1312sinABACBABCABC3413 求求sinA就就是要确定是要确定A的的对边与斜对边与斜边的比边的比；求；求sinB就是要就是要确定确定B的的
8、对对边与斜边的边与斜边的比比 例例 题题 示示 范范5练一练练一练1.判断对错判断对错:A10m6mBC1)如图如图 (1)sinA=（）(2)sinB=（）(3)sinA=0.6m （）(4)SinB=0.8 （）ABBCBCABsinAsinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，如图，sinA=（）BCAB2.2.在在RtRtABCABC中，锐角中，锐角A A的对边和斜边同时扩大的对边和斜边同时扩大 100100倍，倍，sinAsinA的值（的值（）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定C
9、1100练一练练一练3.如图如图ACB3730则则 sinA=_ .12根据下图，求根据下图，求sinA和和sinB的值的值ABC35 练 习 求求sinA就是要确就是要确A的的对边与斜边的比对边与斜边的比；求求sinB就是要确定就是要确定B的的对边与斜边的比对边与斜边的比根据下图，求根据下图，求sinA和和sinB的值的值ABC1 练 习 求求sinA就是要确定就是要确定A的的对边与斜边的比对边与斜边的比；求求sinB就是要确定就是要确定B的的对边与斜边的比对边与斜边的比；5 练 习如图，如图，RtABC中，中，C=90度，度，CDAB，图中，图中sinB可由哪两条线段比求得。可由哪两条线段
10、比求得。DCBA解：在解：在RtABC中，中，sinACBAB在在RtBCD中，中，sinCDBBC因为因为B=ACD，所以，所以sinsinADBACDAC 求一个角的正弦值，除了用求一个角的正弦值，除了用定义定义直接求外，还可以直接求外，还可以转化为求转化为求和它相等角的正弦值和它相等角的正弦值。28.1 28.1 锐角三角函数（锐角三角函数（2 2）探究探究如图，在如图，在RtABC中，中，C90，当锐角，当锐角A确定时，确定时，A的对边与斜边的比就随的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？间的比是否也确定了呢？为什么？为什么？ABC邻边邻边
11、b对边对边a斜边斜边c 当锐角当锐角A的大小确定时，的大小确定时，A的邻边与斜边的比我们把的邻边与斜边的比我们把A的的邻边与斜边的比叫做邻边与斜边的比叫做A的余弦（的余弦（cosine），记作），记作cosA，即，即cos的邻边斜边AbAc 情情 境境 探探 究究 1、sinA、cosA是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，A是是锐角锐角(注意注意数形结合数形结合，构造直角三角形，构造直角三角形)。2、sinA、cosA是一个是一个比值比值（数值数值）。）。3、sinA、cosA的大小只与的大小只与A的大小的大小有关，而与有关，而与直角直角三角形的边长三角形的边长无关。无关。如图：在
12、如图：在Rt ABC中，中，C90，正弦正弦余弦余弦sin的对边=斜边AaAccos的邻边=斜边AbAc 当直角三角形的一个锐当直角三角形的一个锐角的大小确定时角的大小确定时，其对边其对边与邻边比值也是惟一确定与邻边比值也是惟一确定的吗？的吗？想一想想一想 比一比比一比 在直角三角形中，在直角三角形中，当当锐角锐角A的度数一定时，不管三角的度数一定时，不管三角形的大小如何，形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个的对边与邻边的比是一个固定值。固定值。BCBCACAC所以所以ACBCACBC即即ACBCACBC问：问：有什么关系？有什么关系？如图，如图，RtABC和和RtABC，C=C=90，A=
13、A=，由于由于C=C=90，A=A=，所以所以RtABC RtABC如图：在如图：在Rt ABC中，中，C90，我们把锐角我们把锐角A的对边与邻边的比的对边与邻边的比叫做叫做A的的 正切正切，记作，记作 tanA。一个角的正切一个角的正切表示表示定值定值、比比值值、正值正值。baAAA的邻边的对边tan,.的对边记作的对边记作的对边记作AaBbCcABC思考：思考：锐角锐角A的正切值可以的正切值可以等于等于1吗？为什么？吗？为什么？可以大于可以大于1吗？吗？对于锐角对于锐角A的每一个确定的值，的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角有唯一的确定的值
14、与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、的正弦、余弦、正切叫做正切叫做A的锐角三角函数的锐角三角函数。例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AB=10，BC6，求，求sinA、cosA、tanA的值的值解：解：ABBCA sin63sin105BCAAB又又86102222BCABAC,54cosABACA3tan4BCAACABC6 例例 题题 示示 范范10 变题：变题：如图，在如图，在RtABC中，中，C90，cosA ，求，求sinA、tanA的值的值1517解：解：15cos17ACAAB88sin,1717BCkAABk88tan1515BCkAACkABC 例例 题题 示
15、示 范范设设AC=15k，则，则AB=17k所以所以2222(17)(15)8BCABACkkk下图中下图中ACB=90ACB=90，CDAB,CDAB,垂足为垂足为D D。指出。指出A A和和B B的对边、邻边。的对边、邻边。ABCD(1)tanA=AC()CD()(2)tanB=BC()CD()BCADBDAC 如图如图,在在RtRtABCABC中中,锐角锐角A A的邻边和斜边同时的邻边和斜边同时扩大扩大100100倍倍,tanA,tanA的值（的值（）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定ABCC C 例例3：如图，
16、在如图，在RtABC中，中，C90 例例 题题 示示 范范1.求证：求证：sinA=cosB，sinB=cosA2.求证：求证：sintancosAAA3.求证：求证：22sincos1AAABC2sinsinsinAAA 例例4：如图，已知如图，已知AB是半圆是半圆O的直径，弦的直径，弦AD、BC相交于点相交于点P，若，若 例例 题题 示示 范范DPB 那么那么 ()CDAB1.sin,.cos,.tan,.tanABCDB变题：变题：如图，已知如图，已知AB是半圆是半圆O的直径，弦的直径，弦AD、BC相交于点相交于点P，若，若AB=10，CD=6，求，求 .sin OCDBAP4sin5
17、小结小结如图，如图，RtABC中，中，C=90度，度，因为因为0sinA 1,0sinB 1,tan A0,tan B0ABC 0cosA 1,0cosB 1,22sincos1所以，对于任何一个锐角所以，对于任何一个锐角，有，有0sin 1，0cos 1，tan 0，sin,cos,tanBCACBCAAAABABACsin,cos,tanACBCACBBBABABBCsincoscossin1tantanABABAB1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值练练 习习解：由勾股定理解：由勾股定理222213125BC
18、ABACABC13125sin13BCAAB12cos13ACAAB5tan12BCAAC12sin13ACBAB5cos13BCBAB12tan5ACBBC2.在在RtABC中，如果各边长都扩大中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角倍，那么锐角A的正弦值、余的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？弦值和正切值有什么变化？ABC解：设各边长分别为解：设各边长分别为a、b、c，A的三个三角函数分别为的三个三角函数分别为sincostanabaAAAccb，则扩大则扩大2倍后三边分别为倍后三边分别为2a、2b、2c2sin2aaAcc2cos2bbAcc2tan2aaAbbABC3.如图，在如图，在RtA
19、BC中，中，C90，AC8，tanA ，求：求：sinA、cosB的值的值43ABC8解：解：3tan4BCAAC8AC 338644BCAC63sin105BCAAB22228610ABACBC63cos105BCBAB4.如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BC边上的高，边上的高，tanB=cosDAC,（1）求证：）求证：AC=BD；（2）若）若 ，BC=12，求，求AD的长。的长。12sin13C DBCA5.如图，在如图，在ABC中，中，C=90度，若度，若 ADC=45度，度，BD=2DC，求求tanB及及sinBAD.DABC=ac的斜边的对边AAsinA=小结小结 回顾回顾
20、在在RtRtABCABC中中 及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！=bc的斜边的邻边AAcosA=ab的邻边的对边AAtanA=定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题:回味回味 无穷无穷 1 1、sinAsinA、cosAcosA、tanAtanA是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，A A是是锐角锐角(注意注意数形结合数形结合，构造直角三角形，构造直角三角形)。2 2、sinAsinA、cosAcosA、tanAtanA是一个是一个比值比值（数值数值）。）。3 3、sinAsinA、cosA cosA、tanA的大小只与的大小只与A A的大小的大小有关有关，而与
21、，而与直角三角形的边长直角三角形的边长无关。无关。28.1 28.1 锐角三角函数（锐角三角函数（3 3）AB CAA的的对边对边AA的的邻边邻边AA的的对边对边AA的的邻边邻边tanAcosAAA的邻边的邻边AA的对边的对边斜边斜边sinA斜边斜边斜边斜边两块三角尺中有几个不同的锐两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值弦值、余弦值和正切值设设30所对的直角边长为所对的直角边长为a，那么斜边长为，那么斜边长为2a另一条直角边长另一条直角边长2223aaa1sin3022aa33cos3022aa3tan3033aa3060454530
22、 活活 动动 133sin6022aa1cos6022aa3tan603aa设两条直角边长为设两条直角边长为a，则斜边长，则斜边长222aaa2cos4522aatan451aa2sin4522aa604530、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sin acos atan a1222322212332331 仔细观察仔细观察,说说你发现说说你发现这张表有哪些规律这张表有哪些规律?例例1求下列各式的值：求下列各式的值：（1）cos260sin260（2）45tan45sin45cos解：解：（1）cos260sin260222
23、321145tan45sin45cos（2）122220 例例2：操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为度，并已知目高为1.65米然后他很快就算出旗杆的高度米然后他很快就算出旗杆的高度了。了。1.65米米10米米?你想知道小明怎样你想知道小明怎样算出的吗？算出的吗？应用生活应用生活306 63 33 36 63 3CAB(1)OBA(2)例例4 如图，在如图，在RtABC中，中，ACB=90度，度，
24、CDAB于于D，已，已知知B=30度，计算度，计算 的值。的值。tansinACDBCDDABC例例5 如图，在如图，在ABC中，中，A=30度，度，求求AB。3tan,2 3,2BACABCD解：过点解：过点C作作CDAB于点于点DA=30度，度，2 3AC 1sin2CDAAC12 332CD3cos2ADAAC32 332AD3tan2CDBBD2323BD325ABADBD1.求下列各式的值：求下列各式的值：（1）12 sin30cos30（2）3tan30tan45+2sin60（3）30tan160sin160cos练习练习解：解：（1）12 sin30cos30131 222 3
25、12（2）3tan30tan45+2sin603331232 313 2 31cos601(3)1 sin60tan301123312323322.在在RtABC中，中，C90，求求A、B的度数的度数21,7ACBCBAC721解：解：由勾股定理由勾股定理71sin22 7BCAAB2222217282 7ABACBC A=30B=90 A=9030=603 3t tanan 2 2 2、1-2sinAcosA1-2sinAcosA小结小结30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sin acos atan a1222322212332331对于对于sinsin与与tantan，角度越大，函数值也越大；（带，角度越大，函数值也越大；（带正正）对于对于coscos，角度越大，函数值越小。，角度越大，函数值越小。
