1、专题一专题二专题三专题一:二次函数解析式的确定【例1】已知抛物线经过(1,0),(3,0),(0,3)三点,求该抛物线的解析式.解:(方法1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把三点的坐标分别故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.专题一专题二专题三(方法2)设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),由题意,x1=1,x2=3,故y=a(x-1)(x-3).又抛物线过点(0,3),因此3=a(-1)(-3),得a=1.故抛物线的解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.(方法3)设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k.由抛物线过点(1,0),(3,0),可知抛物线的对称轴
2、为直线x=2,故h=2,y=a(x-2)2+k.将点(1,0),(0,3)代入上式,得故抛物线的解析式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3.专题一专题二专题三跟踪跟踪训练训练 1.已知二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0).(1)求二次函数的解析式;(2)要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点,应把图象沿y轴向上平移几个单位长度?答案 答案关闭专题一专题二专题三专题二:二次函数与一元二次方程的关系(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴;(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A,B,求线段AB的长.专题一专题二专题三跟踪跟踪训练训练 2.已知函数y=ax2+bx+c的
3、图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是()A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根 答案解析解析关闭 答案解析关闭专题一专题二专题三专题三:二次函数的实际应用【例3】如图,把一张长为10 cm,宽为8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm2,则剪去的正方形的边长为多少?(2)你感觉折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.专题一专题二专题三(3)如果把
4、矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.分析(1)设硬纸板的四周各剪去的同样大小的正方形的边长为x cm,则折合成一个无盖的长方体盒子时,盒子的底面的长和宽均减少2x cm.(2)要注意盒子共有四个侧面,且相对的两个侧面完全相同,因为要求侧面积的最大值,所以应设出变量列出函数关系式,运用二次函数的知识解决问题.(3)因有两种不同的折法,所以要注意分类讨论.专题一专题二专题三解:(1)设正方形的边长为x cm,则(10-2x)(8-2
5、x)=48,即x2-9x+8=0,解得x1=8(不合题意,舍去),x2=1.所以剪去的正方形的边长为1 cm.(2)有侧面积最大的情况.设正方形的边长为x cm,长方体盒子的侧面积为y cm2,则y与x的函数关系式为y=2(10-2x)x+2(8-2x)x,即y=-8x2+36x=所以当x=2.25时,y最大=40.5.即当剪去的正方形的边长为2.25 cm时,长方体盒子的侧面积最大为40.5 cm2.专题一专题二专题三(3)有侧面积最大的情况.设正方形的边长为x cm,长方体盒子的侧面积为y cm2.若按图的方法剪折,则y与x的函数关系式为专题一专题二专题三专题一专题二专题三跟踪跟踪训练训练
6、 3.如图,三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20 m,顶点M距水面6 m(MO=6 m),小孔顶点N距水面4.5 m(NC=4.5 m).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.答案解析解析关闭如题图,这个实际问题抽象出的数学模型题目已经给出,观察图象可知大孔对应的抛物线的对称轴为y轴,顶点为(0,6),故可设函数解析式为y=ax2+6.又因为AB=20 m,所以OB=10 m,点B的坐标为(10,0).又B点在抛物线上,可代入求值.答案解析关闭设大孔对应的抛物线的函数解析式为y=ax2+6,依题意,得点B
7、的坐标为(10,0),所以a102+6=0,解得a=-0.06,即y=-0.06x2+6.当y=4.5时,-0.06x2+6=4.5,解得x=5.因此EF=10 m,即大孔的水面宽度为10 m.67891011121312345 答案 答案关闭A1415161.(2017湖南长沙中考)抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)678910111213123451415162.(2017浙江金华中考)对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是()A.对称轴是直线x=1,最小值是2B.对称轴是直线x=1,最大值是2
8、C.对称轴是直线x=-1,最小值是2D.对称轴是直线x=-1,最大值是2 答案 答案关闭B678910111213123451415163.(2017广西玉林中考)对于函数y=-2(x-m)2的图象,下列说法不正确的是()A.开口向下B.对称轴是x=mC.最大值为0D.与y轴不相交 答案解析解析关闭对于函数y=-2(x-m)2的图象,a=-20)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()A.y10y2B.y20y1C.y1y20D.y2y10 答案解析解析关闭抛物线y=ax2(a0),A(-2,y1)关于y轴对称的点的坐标为(2,y1).又a0,012,0y2y1.故
9、选C.答案解析关闭C67891011121312345 答案解析解析关闭 答案解析关闭1415167.(2017四川眉山中考)若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、第三、第四象限,则二次函数y=ax2-ax()678910111213123451415168.(2017甘肃兰州中考)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:则方程x2+3x-5=0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.3 答案解析解析关闭观察表格可知0.04更接近0,所以1.2是所求方程的一个近似根.故选C.答案解析关闭C678910111213123451415169.(2017湖
10、北随州中考)对于二次函数y=x2-2mx-3,下列结论错误的是()A.它的图象与x轴有两个交点B.方程x2-2mx=3的两根之积为-3C.它的图象的对称轴在y轴的右侧D.xm时,y随x的增大而减小 答案解析解析关闭 答案解析关闭6789101112131234514151610.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是()A.abc0B.abc0,b2-4ac0C.abc0,b2-4ac0,b2-4ac2,则y1与y2的大小关系是y1y2(填“”或“=”).答案解析解析关闭由函数y=-(x-1)2,可知函数图象的对称轴是直线
11、x=1,开口向下.因为函数图象上两点A(2,y1),B(a,y2),a2,所以y1y2.答案解析关闭6789101112131234514151612.(2017广西百色中考)经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是.答案解析解析关闭 答案解析关闭6789101112131234514151613.(2017辽宁沈阳中考)某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是元时,才能在半月内获得最大利润.答案解析解析关闭设销售单价为
12、x元,销售利润为y元.根据题意,得y=(x-20)400-20(x-30)=(x-20)(1 000-20 x)=-20 x2+1 400 x-20 000=-20(x-35)2+4 500.-200,当x=35时,y有最大值.答案解析关闭356789101112131234514151614.(2017浙江杭州中考)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a-1),其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表达式;(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的
13、图象上,若mn,求x0的取值范围.答案 答案关闭6789101112131234514151615.(2017浙江绍兴中考)某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(单位:m),占地面积为y(单位:m2).(1)如图1,问当饲养室长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.答案 答案关闭6789101112131234514151616.(2017山东德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度是多少?答案 答案关闭
