1、22.1 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数二次函数问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落落到池中央到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？哪些联系？（1）会列二次函数表示实际问题中两个变量）会列二次函数表示实
2、际问题中两个变量的数量关系的数量关系.（2）能判断所给函数是否是二次函数，）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数能说出二次函数的项和各项系数.正方体的表面积正方体的表面积y与棱长与棱长x的关系式为的关系式为 ，y是是x的函数吗？的函数吗？知识点1y=6x2是是 显然，对于显然，对于x的每一个值，的每一个值，y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y是是x的的函数函数，它们，它们的函数关系式为的函数关系式为y=6x2.我们再来看几个问题。我们再来看几个问题。问题问题1 n个球队参加比赛，个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数赛的场次数m
3、与球队数与球队数n有什么关系？有什么关系？分析：分析：每个队要与其他每个队要与其他 个个球队各比赛一场，而甲队对乙球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛是同一场比赛.(n-1)112mn n（）m是是n的函数吗？的函数吗？211-22mnn 即即所以比赛的场次数为所以比赛的场次数为 表示比赛的场次数表示比赛的场次数m与球队数与球队数n的关系，对的关系，对于于n的每一个值，的每一个值，m都有一个对应值，即都有一个对应值，即m是是n的函数的函数.211-22mnn 某种产品现在的年产量为某种产品现在的年产量为20t，计划今后两，计划今后两年增加产
4、量年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加如果每年都比上一年的产量增加x倍，倍，那么两年后这种产品的年产量那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的将随计划所定的x值而确定，值而确定，y与与x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？产品原产量是产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的，一年后的产量是原产量的 倍；倍；两年后的产量是一年后的产量的两年后的产量是一年后的产量的 倍倍.于是两年后的产于是两年后的产量量y与增加的倍数与增加的倍数x的关系式为的关系式为 .(1+x)(1+x)y=20(1+x)2y是是x的函数吗？的函数吗？y=20(1+x)2y=20 x2+40 x+20 表示两年
5、后的产量表示两年后的产量y与计划增产的倍数与计划增产的倍数x的关的关系，对于系，对于x的每一个值，的每一个值，y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y是是x的函数的函数.y=20 x2+40 x+20 函数函数y=6x2,y=20 x2+40 x+20,有什有什么共同点么共同点?nnm21122 上述三个函数都是用自变量的二次式表示的上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，一般地，形如形如y=ax+bx+c（a，b，c为常数，为常数，a0）的函数，叫做的函数，叫做二次函数二次函数。其中。其中x是自变量，是自变量，a，b，c分分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项别是函数解析
6、式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次项二次项一次项一次项常数项常数项y=6x2,21122mnn,y=20 x2+40 x+20.分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。及各项系数。2222224222221 211111()()=()yxyxxxyxxyxxxxy x xyx=下列函数中是二次函数的有下列函数中是二次函数的有 。二次函数：二次函数：y=ax+bx+c （a，b，c为常数，为常数，a0）a=0最高次数是最高次数是4=x2运用定义法判断一个函数是否为二次函数的运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：步骤：（1）将函数解析
7、式右边整理为含自变量的代）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于）判断二次项系数是否不等于0.222123mmymm xmxmx()()已知是关于 的二次函数，求出它的解析式。解：解：根据二次函数的定义可得根据二次函数的定义可得mmmm222120 解得解得m=3或或m=-1.当当m=3时，时，y=6x2+9;当当m=-1时，时，y=2x2-4x+1.综上所述
8、，该二次函数的解析式为：综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或或y=2x2-4x+1.练习练习11ayaxa()是是二二次次函函数数，求求常常数数 的的值值。解：依题意，得解：依题意，得aa1210解得解得a=-1.223223yxxxx-.-已已知知函函数数(1)当时，函数的值为多少?(2)当 为多少时，函数值为0？2222812323339xy-（），解解：当当时时2202320yxx,（）当当时时，12122xx,.解解得得知识点2根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转仔细审题，分析数量之间的关
9、系，将文字语言转化为符号语言；化为符号语言；根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；并化成一般形式；联系实际，确定自变量的取值范围联系实际，确定自变量的取值范围.已知圆的面积已知圆的面积y(cm2)与圆的半径与圆的半径x(cm)，写出，写出y与与x之间的函数关之间的函数关系式；系式；王先生存入银行王先生存入银行2万元万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为设一年定期的存款年利率为x，两年，两年后王先生共得本息和后王先生共得本
10、息和y万元万元,写出写出y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径与半径r之间的之间的关系式关系式.y=x2y=2(1+x)2S=4r2做一做做一做:(x0)(x0)(r0)说一说以上二次函数解析式的各项系数。说一说以上二次函数解析式的各项系数。1.下列函数是二次函数的是（下列函数是二次函数的是（）A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y=x-22.二次函数二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（的二次项系数与常数项的和是（）A.1 B.-1 C.7 D.-63.已知
11、函数已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若若y是是x的二次函数，则的二次函数，则a的取值的取值范围是范围是 .C基础巩固基础巩固12Ba14.某种商品的价格是某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是百分率都是x，则经过两次降价后的价格，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次（单位：元）与每次降价的百分率降价的百分率x的函数关系式是的函数关系式是 .5.正方形的边长为正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，的正方形，若剩余部分的面积为若剩余部分的面积为ycm2，则，则y与与x的函数关系式是
12、的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为的取值范围为 .6.一辆汽车的行驶距离一辆汽车的行驶距离s（单位：（单位：m）与行驶时间）与行驶时间t（单位：（单位：s）的函数关系式为的函数关系式为s=9t+0.5t2，则经过，则经过12s汽车行驶了汽车行驶了 m，行，行驶驶380m 需需 s.y=2(1-x)20 x10180 20综合应用综合应用7.如图，在如图，在ABC中，中，B=90，AB=12，BC=24，动点，动点P从从点点A开始沿边开始沿边AB向终点向终点B以每秒以每秒2个单位长度的速度移动，动个单位长度的速度移动，动点点Q从点从点B开始沿边开始沿边BC以每秒以每秒4个单位长度的速
13、度向终点个单位长度的速度向终点C移动，移动，如果点如果点P、Q分别从点分别从点A、B同时出发，写出同时出发，写出PBQ的面积的面积S与与出发时间出发时间t（s）的函数关系式及）的函数关系式及t的取值范围的取值范围.解：依题意，得解：依题意，得AP=2t,BQ=4t.AB=12,PB=12-2t,t的取值范围为的取值范围为0t6.SPB BQtttt211(12-2)4-424.22 拓展延伸拓展延伸解：由题意可得解：由题意可得 解得解得m=1.25684mmmymxmxx-().-.为何值时，函数是关于 的二次函数256240,mmm25614mmmymxmxx-(-).当时，函数是关于 的二次函数 问题导入，问题导入，列关系式列关系式 探索二次关探索二次关系式共同点系式共同点总结二次总结二次函数概念函数概念二次函数二次函数y=ax+bx+c（a，b，c为常数，为常数，a0）二次函数的判别二次函数的判别:含未知数的代数式为整式；含未知数的代数式为整式；未知数最高次数为未知数最高次数为2 2；二次项系数不为二次项系数不为0.0.确定二次函数解确定二次函数解析式及自变量的析式及自变量的取值范围取值范围
