1、24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径学习目标学习目标1.使学生理解圆的轴对称性。使学生理解圆的轴对称性。2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关问题。定理及其推论解决有关问题。3.在探究过程中，进一步体会在探究过程中，进一步体会“实验实验归纳归纳猜想猜想证明证明”的方法，锻炼学的方法，锻炼学生的逻辑思维能力，体验数学来源于生活生的逻辑思维能力，体验数学来源于生活又用于生活。又用于生活。学习重点学习重点：垂径定理、推论及其它们的应：垂径定理、推论及其它们的应用。用。学习难点学习难点：对垂径定理的探索和证明及其：对垂径定理的探索和证明及其应用
2、。应用。一、情境导入一、情境导入你知道赵州桥吗？它是1400年前，我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶。1961年被国务院列为第一批全国重点文物保护单位，2015年荣获石家庄十大城市名片之一。它是中国第一石拱桥，在漫长的岁月中，虽然经过无数次洪水冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和8次地震的考验，却安然无恙，巍然挺立在洨河之上。它的主桥拱是圆弧形的，它的跨度（弧所对的弦长）为37m.你能求出主桥拱的半径吗？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴都是它的对称轴 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在用纸剪一个圆，沿着
3、圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由由此你能得到什么结论？此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件思思考考：ABAB是是OO的一条弦，作直径的一条弦，作直径CDCD，使，使CDABCDAB，垂足为，垂足为E E。叠合法叠合法OABCDE（1）图是轴对称图形吗？如果是，）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？线
4、段和弧？为什么？人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。OBADCE平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧垂径定理的推论：垂径定理的推论：人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件叠合法叠合法OABCDE证明：垂直于弦证明：垂直于弦AB的直径的直径CD所在的所在的直线是直线是 O
5、的对称轴。把圆沿着直径的对称轴。把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别与分别与BC、BD重重合。因此合。因此AEBE，ACBC，ADBD，即直，即直径径CD平分弦平分弦AB，并且平分，并且平分AB及及ACB验证垂径定理已知：如图，在圆O中，CD为直径，AB是弦，CDAB于M.求证：AM=BM.弧AC=弧BC.人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件归纳归纳垂径定理垂径定理“知二得三知二得三”：(1)直径直径(过圆心过圆心)；(2)垂直弦；垂直弦；(3)平分弦平分弦(不
6、是直径不是直径)；(4)平分优弧；平分优弧；(5)平分劣弧；平分劣弧；知二得三知二得三人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B火眼金睛火眼金睛在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1
7、.2：垂直于弦的直径 课件判断是非：判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件选择：如图：在 O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件
8、，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是我国古代劳动人民勤它是我国古代劳动人民勤劳和智慧的结晶劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形它的主桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？人教版九年级数学上册24.1.2：
9、垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件37.4m7.2mABOCE人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件解得：解得：R279（m）BODACR在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中解：用解：用 弧弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为所在圆的圆心
10、为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与弧与弧AB 相交于点相交于点C，根据垂径定理，根据垂径定理，D 是是AB 的中的中点，点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 课件如图，已知圆弧形桥拱的跨度如图，已知圆弧形桥拱的跨度AB=12米，半径为米，半径为10米，求拱高米，求拱高CD。巩固巩固DBAC1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：答：O的半径为的半径为5cm.118422AEAB 在RtAOE中2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB，AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.OEAC ODAB小结小结
