1、24.2.2(2)切线的切线的判定与性质判定与性质1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？一、教学引入一、教学引入 生活中直线与圆相切的实例经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。直线与圆相切的判定定理：OAOB，CACB，假设不成立，即ATOA例2 如图，已知点O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为半径作 O.如果AB是 O的切线，OAAB，那么A是求证：AC是 O的切线(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心求证：AC是 O
2、的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。lOA，且l 经过 O上的A点即圆心O到直线AT的距离dR2(2)切线的判定与性质即圆心O到直线AT的距离dR经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法切线的判定定理简记为：无交点，作垂直,证半径。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 O 请在请在O O上任意取一点上任意取一点A A，连接，连接OAOA。过点。过点A A作直线作直线 lOAOA。思考一下问题：。思考一下问题：1.圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?2.二者位置有什么关系
3、？为什么？3.由此你发现了什么？lA二、探索新知二、探索新知 发现：发现：(1)(1)直线直线l 经过半径经过半径OAOA的外端点的外端点A A；(2)(2)直线直线l 垂直于半径垂直于半径0A0A 则则:直线直线l与与AOl 经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直于于这条这条半半径的直线是圆的切线。径的直线是圆的切线。这样我们就得到了从位置上来判定直线是这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法圆的切线的方法切线的判定定理切线的判定定理即圆心O到直线AT的距离dR如果AB切 O于A，求证：AC是 O的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如果半径OAAB，那么A
4、B是已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径OC，OAOB，CACB，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心OC是等腰三角形0AB底边AB上的中线分析：由于AB过 O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。求证：AC是 O的切线求证：AC是 O的切线经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。只要证明这条直线垂直于经过切点的半径.例2 如图，已知点O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为半径作 O.求证：AC是
5、 O的切线直线与圆相切的判定定理：直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。对定理的理解：对定理的理解：切线需满足两条：切线需满足两条：经过半径外端；经过半径外端；垂直于这条半径垂直于这条半径 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。条件：条件：(1)经过半径外端；经过半径外端；(2)垂直于这条半径垂直于这条半径lOA，且，且l 经过经过O上的上的A A点点直线直线l是是O的切线的切线OAl几何表述几何表述:（或者（或者OA是圆是圆O的半径，的半径，且且lOA于于A点，）点，）例例 已知：直线已知：直线AB
6、AB经过经过O O上的点上的点C C，并且并且OA=OBOA=OB，CACACBCB求证：直线求证：直线ABAB是是O O的切线的切线 直线直线ABAB经过半径经过半径0C0C的外端的外端C C，并且垂直于半径，并且垂直于半径OCOC，ABAB是是O O的切线的切线 A AB BC CO O证明：连结证明：连结OCOCOAOAOBOB，CACACBCB，OCOC是等腰三角形是等腰三角形0AB0AB底边底边ABAB上的中线上的中线ABOCABOC方法小结方法小结:证明过圆上一点的直线是圆的切线证明过圆上一点的直线是圆的切线.只要证明这条只要证明这条直线垂直于经过切点的半径直线垂直于经过切点的半径
7、.分析：分析：由于由于AB过过 O上的点上的点C，所以连接，所以连接OC，只要证明只要证明ABOC即可。即可。三、典型例题三、典型例题例例2 2 如图，如图，已知点已知点O O为为BACBAC平分线上一点，平分线上一点，ODABODAB于于D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为半径作为半径作O.O.求证求证：ACAC与与OO相切相切。思考思考:例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长
8、。简记为：无交点，作垂直,证半径。四、应用拓展四、应用拓展五、探索新知五、探索新知如果如果AT是是 O 的切线，的切线，A 为切点，那么为切点，那么ATOA.你能说明理由吗？你能说明理由吗？ATOM反证法：反证法：假设假设AT与与OA不垂直不垂直则过点则过点O作作OMAT,垂足为垂足为M根据垂线段最短，得根据垂线段最短，得OMOA即圆心即圆心O到直线到直线AT的距离的距离dR直线直线AT 与与 O 相交相交这与已知这与已知“AT是是 O 的切线的切线”矛盾矛盾假设不成立，即假设不成立，即ATOAOAT切线的性质定理切线的性质定理1.1.圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径几
9、何符号语言：几何符号语言：ATAT是是 O O 的切线，的切线，A A 为切点为切点ATOAATOA2.2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点3.3.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心、切线和圆只有一个公共点。、切线和圆只有一个公共点。、切线和圆心的距离等于半径。、切线和圆心的距离等于半径。、切线垂直于过切点的半径。、切线垂直于过切点的半径。、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.、经过切点垂直于切线的直线必过圆心、经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质：切线的性质：切线的性质、
10、可归纳为：切线的性质、可归纳为：已知直线满足已知直线满足a a、过圆心，、过圆心，b b、过切点，、过切点，c c、垂直于切线、垂直于切线知二得一知二得一(1).如果如果AB切切 O于于A，那么那么AOB O的切线的切线(2).如果半径如果半径OAAB，那么那么AB是是切点切点(3).如果如果AB是是 O的切线，的切线，OAAB，那么，那么A是是OAAB.口答：口答：已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。-辅助线辅助线六、典例分析六、典例分析例：如图，例：如图，ABCABC为等腰三角形，为等腰三角形，O O是底边是底边BCBC的中点，腰的中点，腰ABAB与
11、与OO相切于点相切于点D D。求证。求证：ACAC是是OO的的切线切线证明：过点证明：过点O O作作OEOEACAC于点于点E E，连接，连接OA,ODOA,OD -求证：AC是 O的切线证明：过点O作OEAC于点E，连接OA,OD -(2)直线l 垂直于半径0A如果半径OAAB，那么AB是已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。如果半径OAAB，那么AB是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即圆心O到直线AT的距离dR求证：AC与 O相切。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。lOA，且l 经过 O上的A点求证：AC是 O的切线则过
12、点O作OMAT,垂足为MOAOB，CACB，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。A AB BC CO O练习练习1 1AB=ACAB=AC，C=45C=45，以，以ABAB为直径作为直径作O O 求证：求证：ACAC是是O O的切线的切线七、巩固练习七、巩固练习A AB BO OC CD D练习练习2 2ACAC是直径，是直径，ABAB和和CDCD是切线，是切
13、线，判断判断ABAB和和CDCD的位置关系。的位置关系。结论：结论：ABABCDCD证明：证明：ACAC是直径，是直径，CDCD切切O O于于C CCDACCDACABAB切切O O于于A AABACABACABCDABCD 定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。数量法（数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。判定定理：判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的判定切线的判定切线的性质切线的性质切线和圆有且只有一个公共
14、点切线和圆有且只有一个公共点切线和圆心的距离等于半径切线和圆心的距离等于半径 圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心八、小八、小 结结在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种情况：下两种情况：(1)如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明直线与这条半径垂直，直线与这条半径垂直，有交点，连半径有
15、交点，连半径,证垂直证垂直。(2)若已知直线和圆的公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线若已知直线和圆的公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，即的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，即无交点，作垂直无交点，作垂直,证半径证半径。同圆的切线垂直于经过切点的半径，若题中有切线，就有直同圆的切线垂直于经过切点的半径，若题中有切线，就有直角三角形存在。角三角形存在。连接切点与圆心是常用的辅助线连接切点与圆心是常用的辅助线。常用的方法常用的方法九、作九、作 业业作业：第101页第3、11题经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心证明：过点O作OEAC于点E，连接OA
16、,OD -分析：由于AB过 O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可。、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.AT是 O 的切线，A 为切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如果半径OAAB，那么AB是(2)直线l 垂直于半径0A、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心假设不成立，即ATOA经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心简记为：无交点，作垂直,证半径。经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心反证法：假设AT与OA不垂直圆的切线垂直于过切点的半径即圆心O到直线AT的距离dR在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种情况：(1)如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明直线与这条半径垂直，有交点，连半径,证垂直。经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
