1、人教版 数学 九年级（下）第27章 相似27.3 位似第2课时 位似图形的坐标变化规律1 1.理解平面直角坐标系中，位似图形对应理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标点的坐标之间的联系之间的联系。2 2.会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律化的规律。3.3.了解四种了解四种图形变换图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出来这些的异同，并能在复杂图形中找出来这些变换。变换。学习目标学习目标两个相似
2、多边形，如果它们对应顶点所在的直两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形位似图形位似图形的概念是什么？位似图形的概念是什么？回顾旧知回顾旧知我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称).那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？导入新知导入新知 新知一 平面直角坐标系中的位似变换在平面直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0)以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小.13观察对应点之间坐标有什么变化观察对应
3、点之间坐标有什么变化.合作探究合作探究24646B244xyABAABO如图，把 AB 缩小后，A，B 的对应点为A(2，1)，B(2，0)；A(-2，-1)，B(-2，0).若以 x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；平面直角坐标系中图形的变换平面直角坐标系中的位似变换解：(1)图略(2)A(3，6)，B(5，2)，C(11，4)顺次连接点 A，B，O，所得的 A B O 就是要画的一个图形.ABC 三个顶点坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，C(5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将ABC 放大.点 F，作DGBC 于点 G，则四边形 DEFG在此类题中，要
4、注意相关线段的长度与点的坐标之间的相互转化.如图，把 ABC 放大后 A，B，C 的对应点为A(4，6)，B(4，2)，C(10，4)；会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律。两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形平面直角坐标系中的位似理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系。(1)以点M为位似中心，相似比为2，在第一象限画出将ABC放大后得到的ABC；至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？(
5、2)作射线 BE1，交 AC 于点 E；那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？顺次连接点 A，B，O，所得的 A B O 就是要画的一个图形.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形14如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(1，4)，C(3，2)6如图，在网格图中，已知ABC和点M(1，2)ABC 三个顶点坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，C(5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将ABC 放大.观察对应顶点观察对应顶点坐标有什么变化坐标有什么变化.24646244xyAB2810C2
6、68106BACABC如图，把 ABC 放大后 A，B，C 的对应点为A(4，6)，B(4，2)，C(10，4)；A(-4，-6)，B(-4，-2)，C(-10，-4).O在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？一个图形的位似图形可以作几个？两个两个.所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？图形与原图形在原点的异侧呢？当位似图形在原点当位似图形在原点同侧同侧时，其对应
7、顶点的时，其对应顶点的坐标的坐标的比为比为 k；当位似图形在原点；当位似图形在原点两侧两侧时，时，其对应顶点的坐标的其对应顶点的坐标的比比为为-k平面直角坐标系中位似变换坐标的变化规律：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).上面的坐标的变化规律是以原点为位似中心的位似变换上面的坐标的变化规律是以原点为位似中心的位似变换中图形上对应点的坐标的变化规律中图形上对应点的坐标的变化规律.246224xyABO理解平面直角坐标系中，位似图形对应点
8、的坐标之间的联系。会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律。2(漯河模拟)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABO与ABO是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为()利用这一性质，只要用直尺把位似图形中的对应顶点所在直线的交点找出来，即可找到位似中心.平面直角坐标系中图形的变换点 F，作DGBC 于点 G，则四边形 DEFG顺次连接点 A，B，O，所得的 A B O 就是要画的一个图形.(8，3)或(4，3)那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？在此类题中
9、，要注意相关线段的长度与点的坐标之间的相互转化.解：(1)图略(2)A(3，6)，B(5，2)，C(11，4)解：图略，有两种情况：B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)；(3)作 DE/BC，交 AB 于点 D，作 EFBC 于平面直角坐标系中的位似变换解：(1)图略(2)A(3，6)，B(5，2)，C(11，4)(8，3)或(4，3)至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系。两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位
10、似图形那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？B(0，0)，C(0，1)，D(1，1)246224xyABO解：如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A(3，6)，B(3，0)，O(0，0).顺次连接点 A，B，O，所得的 A B O 就是要画的一个图形.AB还有其他画法吗？还有其他画法吗？246224xyABO246解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A(3，-6)，B(3，0)，O(0，0).顺次连接点 A，B，O，所得的 A B O 就是要画的一个图形.AB至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的
11、图案中，你能找到这些变换吗？名称规律变换方式平移对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度全等变换轴对称若以 x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以 y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数旋转若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后的两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数位似若以原点为位似中心，则变换前后两个图形对应点的横坐标或纵坐标之比的绝对值等于相似比相似变换(扩大、缩小或不变)巩固新知巩固新知DEDE2.如图所示，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，点 F 的坐标为(-1，1)，点 C 的坐标为(-4，2)，求这两个正方形位似
12、中心的坐标.勿忘分类讨论本题两个正方形位似有两种情况，切记进行分类讨论本题两个正方形位似有两种情况，切记进行分类讨论.找位似中心的方法位似图形中对应顶点所在位似图形中对应顶点所在的直线的直线相交于位似中心相交于位似中心.利利用这一性质，只要用直尺把位似图形中的对应顶点所用这一性质，只要用直尺把位似图形中的对应顶点所在直线的交点找出来，即可找到位似中心在直线的交点找出来，即可找到位似中心.在此类题在此类题中，要注意相关线段的长度与点的坐标之间的相互转中，要注意相关线段的长度与点的坐标之间的相互转化化.3.工人师傅要在三角形铝板上截下一个正方形 DEFG，使 D，E 两点分别在三角形的边 AB，A
13、C 上，F，G 两点在边 BC 上，你能帮他画出裁剪线吗?解：(1)作正方形 D1E1F1G1，使 D1在边 AB 上，F1，G1在边 BC 上；(2)作射线 BE1，交 AC 于点 E；(3)作 DE/BC，交 AB 于点 D，作 EFBC 于点 F，作DGBC 于点 G，则四边形 DEFG 就是所求的正方形.ABCD1G1F1E1EDGF平面直角坐标系中的位似平面直角坐标系中的位似变换坐标变化规律平面直角坐标系中的位似图形的画法平面直角坐标系中图形的变换平移轴对称旋转位似归纳新知归纳新知平面直角坐标系中的位似图形的画法13(习题5变式)如图，在平面直角坐标系中，以点A为位似中心，把正方形A
14、BCD缩小为原来的一半，得正方形ABCD，画出图形并写出B，C，D的坐标解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A(3，-6)，B(3，0)，O(0，0).顺次连接点 A，B，O，所得的 A B O 就是要画的一个图形.点 F，作DGBC 于点 G，则四边形 DEFG平面直角坐标系中位似变换坐标的变化规律：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).若以 x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以 y 轴为对称轴，则
15、对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数在平面直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0)以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小.平面直角坐标系中的位似会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律。平面直角坐标系中的位似平面直角坐标系中的位似图形的画法平面直角坐标系中的位似解：(1)图略(2)A(3，6)，B(5，2)，C(11，4)C(3，2)D(3，2)(8，3)或(4，3)理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系。理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系。新知一 平面直角坐标系中的位似变换(3)作
16、 DE/BC，交 AB 于点 D，作 EFBC 于A 课后练习课后练习2(漯河模拟漯河模拟)如图如图，在边长为在边长为1的小正方形组成的网格中的小正方形组成的网格中，建立平面直角建立平面直角坐标系坐标系，ABO与与ABO是以点是以点P为位似中心的位似图形为位似中心的位似图形，它们的顶点它们的顶点均在格点均在格点(网格线的交点网格线的交点)上上，则点则点P的坐标为的坐标为()A(0，0)B(0，1)C(3，2)D(3，2)CD A 5(习题3变式)ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(2，3)，C(0，4)，以原点O为位似中心，将ABC放大后得到的DEF与ABC对应边的比为21，这时DEF
17、各个顶点的坐标分别是多少？解：解：(2，4)，(4，6)，(0，8)或或(2，4)，(4，6)，(0，8)6如图如图，在网格图中在网格图中，已知已知ABC和点和点M(1，2)(1)以点以点M为位似中心为位似中心，相似比为相似比为2，在第一象限画出将在第一象限画出将ABC放放大后得到的大后得到的ABC；(2)写出写出ABC的各顶点坐标的各顶点坐标解：解：(1)图略图略(2)A(3，6)，B(5，2)，C(11，4)B 8某学习小组在讨论某学习小组在讨论“变化的鱼变化的鱼”时时，知道大鱼与小鱼是位似图形知道大鱼与小鱼是位似图形(如图如图)，则小鱼上的点则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点对应大鱼上
18、的点()A(2a，2b)B(a，2b)C(2b，2a)D(2a，b)AD(8，3)或或(4，3)6 13(习题习题5变式变式)如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，以点以点A为位似中心为位似中心，把正方形把正方形ABCD缩小为原来的一半缩小为原来的一半，得正方形得正方形ABCD，画出图形并写出画出图形并写出B，C，D的坐的坐标标解：图略解：图略，有两种情况：有两种情况：B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)；B(0，0)，C(0，1)，D(1，1)14如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(1，4)，C(3，2)(1)画出画出ABC关于关于y轴对称的图形轴对称的图形A1B1C1，并直接写出并直接写出C1点坐标；点坐标；(2)以原点以原点O为位似中心为位似中心，相似比为相似比为12，在在y轴的左侧轴的左侧，画出画出ABC放放大后的图形大后的图形A2B2C2，并直接写出并直接写出C2点坐标；点坐标；(3)如果点如果点D(a，b)在线段在线段AB上上，请直接写出经过请直接写出经过(2)的变化后点的变化后点D的对应的对应点点D2的坐标的坐标解：解：(1)图略图略，C1点坐标为点坐标为(3，2)(2)图略图略，C2点坐标为点坐标为(6，4)(3)D2点坐点坐标为标为(2a，2b)
