1、 第 1 页 共 3 页 27.2.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 第第 3 课时课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形两边成比例且夹角相等的两个三角形相似相似 1理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并 能用文字、图形和符号语言表示；(重点) 2会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决 简单的问题(难点) 一、情境导入 利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等量一 量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等另两个角是否对应相 等？你能得出什么结论？ 二、合作探究 探究点：两边成
2、比例且夹角相等的两个三角形相似 【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似 已知：如图，在ABC 中，C90，点 D、E 分别是 AB、CB 延长线上的点， CE9，AD15，连接 DE.若 BC6，AC8，求证：ABCDBE. 解析： 首先利用勾股定理可求出 AB 的长， 再由已知条件可求出 DB， 进而可得到 DBAB 的值，再计算出 EBBC 的值，继而可判定ABCDBE. 证明：在 RtABC 中，C90，BC6，AC8，AB BC2AC210，DB ADAB15105， DBAB12.又EBCEBC963， EBBC12， EBBCDBAB，又DBEABC90，ABCDBE. 方
3、法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件， 如公共角、对顶角等 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 2 题 【类型二】 添加条件使三角形相似 如图，已知ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB12，AC8， AD6，当 AP 的长度为_时，ADP 和ABC 相似 第 2 页 共 3 页 解析：当ADPACB 时，AP AB AD AC， AP 12 6 8，解得 AP9.当ADPABC 时， AD AB AP AC， 6 12 AP 8 ，解得 AP4，当 AP 的长度为 4 或 9 时，ADP 和ABC 相似故 答案为 4
4、 或 9. 方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本 题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题 【类型三】 利用三角形相似证明等积式 如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 的 延长线于 F.求证：AC CFBC DF. 解析：先证明ADCCDB 可得AD CD AC BC，再结合条件证明FDCFAD，可得 AD CD DF CF，则可证得结论 证明：ACB90，CDAB，DACBBDCB90，DAC DCB，且ADCCDB，ADCC
5、DB，AD CD AC BC.E 为 BC 的中点，CDAB， DECE，EDCDCE，EDCFDAECDACD，FCDFDA， 又FF，FDCFAD，DF CF AD DC， AC BC DF CF，ACCFBC DF. 方法总结： 证明等积式或比例式的方法： 把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个 三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式 【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算 如图所示，BCCD 于点 C，BEDE 于点 E，BE 与 CD 相交于点 A，若 AC3， BC4，AE2，求 CD 的长 解析：因为 AC3，所以只需求出 AD 即可求出 CD.可
6、证明ABC 与ADE 相似，再 利用相似三角形对应边成比例即可求出 AD. 解：在 RtABC 中，由勾股定理可得 AB BC2AC2 42325.BCCD，BE DE，CE，又CABEAD，ABCADE，AB AD AC AE，即 5 AD 3 2，解 得 AD10 3 ，CDADAC10 3 319 3 . 方法总结： 利用相似三角形的判定进行边角计算时， 应先利用条件证明三角形相似或通 第 3 页 共 3 页 过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题 【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题
7、如图，在ABC 中，C90，BC8cm，5AC3AB0，点 P 从 B 出发，沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移动，与此同时点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动， 经过多长时间ABC 和PQC 相似？ 解析：由 AC 与 AB 的关系，设出 AC3xcm，AB5xcm，在直角三角形 ABC 中，利用 勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，进而得到 AB 与 AC 的长然后设 出动点运动的时间为 ts， 根据相应的速度分别表示出 PC 与 CQ 的长，由ABC 和PQC 相 似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于 t
8、 的方程，求 出方程的解即可得到 t 的值，从而得到所有满足题意的时间 t 的值 解：由 5AC3AB0，得到 5AC3AB，设 AB 为 5xcm，则 AC3xcm，在 RtABC 中，由 BC8cm，根据勾股定理得 25x29x264，解得 x2 或 x2(舍去)，AB5x 10cm，AC3x6cm.设经过 t 秒ABC 和PQC 相似，则有 BP2tcm，PC(82t)cm， CQtcm，分两种情况：当ABCPQC 时，有BC QC AC PC，即 8 t 6 82t，解得 t 32 11； 当ABCQPC 时，有AC QC BC PC，即 6 t 8 82t，解得 t 12 5 .综上
9、可知，经过12 5 或32 11秒ABC 和PQC 相似 方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况ABCPQC 与ABCQPC 分别列出比例式来解决问题 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 1三角形相似的判定定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 2应用判定定理解决简单的问题 本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主， 利用多煤体引导学生始终参与到学 习活动的全过程中， 处于主动学习的状态 采用动手实践， 自主探索与合作交流的学习方法， 使学生积极参与教学过程在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问 题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.
