对于实对称矩阵课件.ppt

1、一向量的内积与许瓦兹一向量的内积与许瓦兹 （Schwarz）不等式）不等式内积内积内积定义：对维列向量内积定义：对维列向量 称称 为向量与的为向量与的内积内积n TnTny,y,yy,x,x,xx2121 nnTyxyxyxyx 2211xy y,x内积内积向量的范数向量的范数许瓦兹不等式许瓦兹不等式内积满足下列运算规律：内积满足下列运算规律：x,yy,x y,xky,kx z,yz,xz,yx 向量的范数向量的范数定义：定义：维向量的长度（或者）范数为维向量的长度（或者）范数为nx 22221nxxxx,x 记为记为x范数性质：范数性质：非负性非负性：对任何向量：对任何向量，有，有 ，当且仅

2、当时，当且仅当时，；x0 x0 x0 x齐次性齐次性：xkkx 三角不等式三角不等式：yxyx 1x当当 时，称时，称 为为单位向量单位向量.xkn 0 ykx,ykx 022 y,yy,xkx,xk 0422 y,yx,xy,x y,yx,xy,x 2二正交向量组与正交化方法二正交向量组与正交化方法正交向量组正交向量组施密特正交化方法施密特正交化方法正交向量组正交向量组当当 时，定义向量与夹角时，定义向量与夹角 的的余弦为：余弦为：0 yxxy yxy,xcos 0 y,x当当 时，称向量与时，称向量与显然，零向量与任何向量正交显然，零向量与任何向量正交xy正交向量组：对不含零向量的向量组，

3、若其中正交向量组：对不含零向量的向量组，若其中 的向量两两正交，则称该向量组为的向量两两正交，则称该向量组为 正交向量组正交向量组例如：维单位坐标向量组就是一个正交向量组例如：维单位坐标向量组就是一个正交向量组n如果向量空间的一组基是正交向量组如果向量空间的一组基是正交向量组,则称它为则称它为向量空间的向量空间的正交基正交基.定理若定理若 为正交向量组，为正交向量组，则它线形无关则它线形无关 证明：设有数证明：设有数 使使 两边同时左乘得，两边同时左乘得，因为，所以因为，所以 因此因此 线形无关线形无关r,21rk,k1011 rrkk Ti 0 iTiik 0 iTi )r,i(ki210

4、r,21r,21x定理定理5若为若为 维正交向维正交向 量组，且，则必有非零量组，且，则必有非零 维向量维向量，使使 与两两正交与两两正交r,21nnr nx推论：推论：对个两两正交的对个两两正交的 维非零向量，总维非零向量，总 可以添上可以添上 个个 维非零向量，使维非零向量，使 个向个向 量两两正交，从而这个向量就构成了向量空量两两正交，从而这个向量就构成了向量空 间间 的一组正交基的一组正交基 nrr nrn nnnnR例已知例已知 的一个向量，的一个向量，求求 的一组正交基的一组正交基3R T,1111 3R解：求解：求，使，使 即：即：得与得与 正交正交 再求，使再求，使 得即为所求

5、得即为所求 就构成了的一组正交基就构成了的一组正交基 Tx,x,x2322212 021 T0232221 xxx T,1012 1 Tx,x,x3332313 0321 T,T,1213 321 ,3R定义定义设维向量设维向量 是向量空间是向量空间 的一组正交基，如果它们均为单位向的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称量，则称 为的一组为的一组正交规范基正交规范基 或或标准正交基标准正交基nr,21)RV(Vn r,21V例如：例如：TTTT,e,e,e,e10000100001000014321 TTTT,2121002121000021210021214321 与：与：都是都是 的正

6、交规范基的正交规范基4R施密特正交化方法施密特正交化方法设设 是线形无关向量组，令：是线形无关向量组，令：r,21 111122221111222321113133111212211 rrrrrrrrrbb,b,bbb,b,bbb,b,bb.,bb,b,bbb,b,bb,bb,b,bb,b rb,b,b21r,21rb,b,b21上述由线形无关向量组导出正交上述由线形无关向量组导出正交向量组的方法叫做向量组的方法叫做施密特正交化施密特正交化方法方法这种方法导出的正交向量组这种方法导出的正交向量组与与等价等价r,21再取再取)r,i(bbiii21 显然为正交规范化的向量组，显然为正交规范化的向

7、量组，且与等价且与等价r,21r,21例例5.2：已知：已知 线性无关试将它们正交规化线性无关试将它们正交规化 TTT,211121111321 101211213121111342111213111134121222321113133111212211bb,b,bbb,b,bbbb,b,bb,b 解：取解：取令：令：TTT,bb,bb,bb 21021616261313131333222111 则则 两两正交且均为单位向量两两正交且均为单位向量.321 ,三正交矩阵与正交变化三正交矩阵与正交变化IAAT 定义定义如果阶方阵满足如果阶方阵满足则称为则称为正交矩阵正交矩阵nAA1.正交矩阵正交矩

8、阵2.正交变换正交变换1.正交矩阵正交矩阵B,A定理定理如果均为阶正交矩阵，如果均为阶正交矩阵，那么：那么：nTAA 1即即 为正交矩阵为正交矩阵TA1 A 为为 阶正交矩阵阶正交矩阵 AAAA21n2 都是正交矩阵都是正交矩阵BAAB，A定理定理阶方阵为正交矩阵的阶方阵为正交矩阵的充要条件充要条件是的列（行）向量两两正交且均为单位向量是的列（行）向量两两正交且均为单位向量nA证明：令证明：令，则，则 n,A 21 为正交矩阵为正交矩阵A I,IAAnTnTT 11 ji,ji,ijjTi01 n,j,i21 由定理的由定理的知上述结论对行向量也成立知上述结论对行向量也成立2.正交变换正交变换

9、定义定义设为阶正交矩阵，设为阶正交矩阵，为维列向为维列向 量，则线性变换称为量，则线性变换称为正交变化正交变化PnxnPxy 事实上，设为正交变化，则有事实上，设为正交变化，则有Pxy xxxPxPxy,yyTTT 小结：小结：我们这节课学习的主要内容为我们这节课学习的主要内容为 正交向量组，正交矩阵，施密特正正交向量组，正交矩阵，施密特正 交化方法。交化方法。其中大家必须理解正交向量组其中大家必须理解正交向量组 与正交矩阵的概念，了解施密特正与正交矩阵的概念，了解施密特正 交化方法。交化方法。第二讲 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量一一.方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向

10、量1.定义定义2.例题例题1.定义定义xAA定义定义5.4 设设 为为 阶方阵阶方阵,如果数如果数 和和 维维 非零向量非零向量 使使 成立成立,则称数则称数 为方为方 阵阵 的的特征值特征值,非零向量非零向量 称为方阵称为方阵 的对应的对应 于特征值于特征值 的的特征向量特征向量.n nxAx xA 定义中的定义中的 又可以写成又可以写成这个齐次线性方程组有非零解的充要条件是这个齐次线性方程组有非零解的充要条件是:xAx 0 xAI 0212222111211 nnnnnaaanaaaaaaAI A上方程称为方阵上方程称为方阵 的的特征方程特征方程.方程的左边称方程的左边称为方阵为方阵 的的

11、特征多项式特征多项式.A设设 为为 阶矩阵阶矩阵,为特征方程为特征方程的根的根.即即 的的 个特征值个特征值,那么那么Ann,21AnnA 21 nAtr 21求特征值、特征向量的步骤求特征值、特征向量的步骤：求出求出 即为特征值即为特征值;0 AI 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0 xAI 的非零解的非零解 即为特征向量即为特征向量.x2.例题例题例例5.4 求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.4102A解解:特征方程为特征方程为 0424102 AI所以所以 的特征值的特征值A2421 ,41 对对 由由 ,得对应的特征向量得对应的特征向量 04 xAI可取为可取为 T,P10

12、1 对对 由由 ,得对应的特征向量得对应的特征向量22 02 xAI可取为可取为 T,P122 特征向量不能由特征值唯一确定特征向量不能由特征值唯一确定,反过来反过来,对不对不同的特征值同的特征值,我们有下列结论我们有下列结论.定理定理5.5 方阵方阵 的对应于不同特征值的特征的对应于不同特征值的特征 向量是线性无关的向量是线性无关的.A例例5.5 求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.202032021A解解:的特征方程为的特征方程为A0212020320212 )()(AI 所以所以 的特征值为的特征值为A21321 ,对对 ,解方程解方程 得基础解系得基础解系121 0 xAI T

13、,P2111 对对 ,解方程解方程 得基础解系得基础解系23 02 xAI T,P1002 例例5.6 求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.312020222A解解:的特征方程为的特征方程为A 0213120202222 AI所以所以 的特征值为的特征值为A21321 ,11对对 ,解方程解方程 得基础解系得基础解系 0 xAI T,P1021 对对 ,解方程解方程 得基础解系得基础解系232 02 xAI TT,P,P20102132 由这两个例子可见由这两个例子可见,方阵对应于它的重特征值方阵对应于它的重特征值的线性无关的特征向量的最大个数不多于重的线性无关的特征向量的最大个数不多

14、于重特征值的重数特征值的重数.定理定理5.6 设设 是是 阶矩阵阶矩阵 的的 重特征重特征 值值,则对应于则对应于 的线性无关的特征的线性无关的特征 向量最大个数向量最大个数 .0 nAk0 kl nn对于有些对于有些 阶矩阵阶矩阵,对应于每个重特征值的线性对应于每个重特征值的线性无关的特征向量的个数等于重特征值的重数无关的特征向量的个数等于重特征值的重数,这这种矩阵称为种矩阵称为非亏损矩阵非亏损矩阵;而对于有些而对于有些 阶矩阵阶矩阵,对对应于某个重特征值的线性无关的特征向量的个应于某个重特征值的线性无关的特征向量的个数小于重数数小于重数.从而它没有从而它没有 个线性无关的特征向个线性无关的

15、特征向量量,这种矩阵成为这种矩阵成为亏损矩阵亏损矩阵.n第三讲第三讲 相似矩阵与实对称矩阵的对角化相似矩阵与实对称矩阵的对角化一一.相似矩阵相似矩阵1.定义定义2.讨论讨论1.定义定义定义定义5.5 对对 阶方阵阶方阵 ,如果存在可如果存在可 逆矩阵逆矩阵 ,使使 则称则称 是是 的相似矩阵的相似矩阵,或者称矩或者称矩 阵阵 与与 相似相似,而对而对 进行运算进行运算 称为对称为对 进行相似变换进行相似变换,可逆矩阵可逆矩阵 称为把称为把 变为变为 的相的相 似变换矩阵似变换矩阵.nABPBAPP 1BAABAAPP1 APABB显然显然,若若 与与 相似相似,则则 与与 等价等价;反之不反之

16、不然然,矩阵相似具有反身性矩阵相似具有反身性,对称性和传递性对称性和传递性.AABBA定理定理5.7 若若 阶方阵阶方阵 与与 相似相似,则则 与与 有相同的特征多项式有相同的特征多项式,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.nAB 证明证明:因为因为 与与 相似相似,即有即有 使使 ABPBAPP 1所以：所以：AIPAIPAPPIBI 1即即 与与 有相同的特征多项式有相同的特征多项式.ABA),(1ndiagn推论推论 若若 阶方阵阶方阵 与对角矩阵与对角矩阵 相似相似,则则 为为 的的 个特征值个特征值.n,21An2.讨论讨论我们下来要讨论我们下来要讨论2个问题个问题：问题问题1:是

17、否任何方阵都于某个对角矩阵相似是否任何方阵都于某个对角矩阵相似?问题问题2:若若 与某个对角矩阵与某个对角矩阵 相似相似,即存在可即存在可逆方阵逆方阵 ,使使 ,那么那么 如何构造如何构造?A P APP1P n,diag 1 APP1我们先假设存在可逆矩阵我们先假设存在可逆矩阵 ，使，使P将将 用其列向量表示为用其列向量表示为P np,p,pP21 由由 得得 ，即，即 APP1 PAP nnnnnp,p,pp,p,pp,p,pA 2211212121 i n,i,pApiii21 i AipA于是于是 ，这说明，这说明是是 的特征值，的特征值，是是 的对应于特征值的对应于特征值的特征向量。

18、这就是的特征向量。这就是 的具体构造方法。的具体构造方法。P余下的问题是余下的问题是 是否可逆，即是否可逆，即是否线性无关。因为若是否线性无关。因为若 可逆，则可逆，则即即 与对角矩阵与对角矩阵 相似。相似。Pnp,p,p21P APP1A A定理定理5.8 方阵方阵 与对角矩阵相似（方阵与对角矩阵相似（方阵 可对角化）的可对角化）的充要条件充要条件是是 为非亏损矩阵。为非亏损矩阵。AA例例1:1:判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？122(1)224242A 212(2)533102A 122(1)224242AE 解：解：得得1232,7 722 0 当当 时，齐次

19、线性方程组为时，齐次线性方程组为122 20AE X得基础解系得基础解系12221,0.01pp 当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为 70AE X37 得基础解系得基础解系3122p 2211020012 123,ppp线性无关线性无关即即A有有3个线性无关的特征向量，所以个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。可以对角化。212(2)533102AE 310 1231.0AE X当当 时，解时，解1231 得基础解系得基础解系11,1 所以所以 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A小结：小结：我们这节课学习的主要内容为矩我们这节课学习的主要内容为矩 阵的特征值和特征向量，相似矩阵

20、。阵的特征值和特征向量，相似矩阵。其中大家必须理解矩阵的特征值和其中大家必须理解矩阵的特征值和 特征向量的概念，掌握矩阵的特征值特征向量的概念，掌握矩阵的特征值 和特征向量的求法，了解相似矩阵和特征向量的求法，了解相似矩阵。二二.实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化定理定理5.9 实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数。定理定理5.95.9的意义：的意义：又因为又因为 ，可知该齐次线性方程组一，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。实向量。0iAE 因为对称矩阵因为对称矩阵 的特征值的特征值 为实数，所以齐次

21、为实数，所以齐次线性方程组线性方程组Ai ()0iAE x 是实系数方程组。是实系数方程组。对于实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量对于实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量不仅线性无关，而且还有更强的结论，这就是不仅线性无关，而且还有更强的结论，这就是21P,P定理定理5.10 设设 是实对称矩阵是实对称矩阵 的两个的两个特征值，特征值，为对应的特征向量为对应的特征向量,若若 则则 正交正交。21 ,A21 21P,P证明证明：已知已知21222111 ,APP,APP由由 对称知对称知A 2122212121211211PPPPAPPPAPPPPPTTTTTT 于是于是 ，但，但 021

22、21 PPT 21 故有故有 ，即，即 正交。正交。021 PPT21P,P定理定理5.11 设设 为为 阶实对称方阵，则必阶实对称方阵，则必 有正交矩阵有正交矩阵 使使 其中其中 为为 的特征值。的特征值。AnP n,diagAPP 11 n,21A证明：任取证明：任取 的一个特征值的一个特征值 及对应的及对应的单位特征向量单位特征向量 ，由定理，由定理5.2的推论知，的推论知，可找到可找到 个单位列量个单位列量A1 1p1 nnp,p,p32使使 为正交向量组。为正交向量组。np,p,p21因此因此 为正交矩阵。为正交矩阵。np,p,pP211 因为因为111111111 ppppAppT

23、TT 0111111 TTiTTiTTiiTppppAppApp n,i32 所以：所以：nTnTTTp,p,pApppAPPAPP212111111 nTnTnTnnTTTnTTTAppAppAppAppAppAppAppAppApp212221212111 nTnTnnTTAppAppAppApp222210000 1100A 其中其中 为上述矩阵中删除第一行、第一为上述矩阵中删除第一行、第一列所余下的子块。显然，列所余下的子块。显然，是是 阶阶的实对称矩阵。的实对称矩阵。1A1A1 n对对 重复上面的做法，可找到重复上面的做法，可找到 阶正交矩阶正交矩阵阵 ，使，使1A1 nQ 2211

24、00AQAQ 其中其中 是是 的特征值，的特征值，是是 阶是对称矩阶是对称矩阵。令阵。令2 1A2A2 n QP0012显然显然 也是正交矩阵，由分块矩阵乘法得：也是正交矩阵，由分块矩阵乘法得：2P 2211111112111120000100001AQAQQAQPAPPP 如此继续下去，可得到正交矩阵如此继续下去，可得到正交矩阵121 np,p,p使使 nnn,diagPAPPP 21111111 令令,P,PPPn 121 由定理由定理5.3（4）知）知仍为正交矩阵，并有仍为正交矩阵，并有P n,diagAPP 211 再由定理再由定理5.7的推论知的推论知n,21为为 的特征值。的特征值

25、。A这个定理说明，任何实对称矩阵这个定理说明，任何实对称矩阵 都能对角化成都能对角化成对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素就是对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素就是 的的特征值，同时说明实对称矩阵都是非亏损矩阵。特征值，同时说明实对称矩阵都是非亏损矩阵。AA例例5.9 设设 310130004AP求一正交矩阵求一正交矩阵，使，使 APP1解：解：0423101300042 AI的特征值为的特征值为A42321 ,，解，解21 对对 02 xAI得基础解系得基础解系T,p 212101 T,1101 规范化得规范化得当当432 时，解方程时，解方程 04 xAI得基础解系得基础解系 TT,1100

26、0132 由于由于32 ,恰好正交，所以只要规范化为恰好正交，所以只要规范化为 TT,p,p 2121000132因此因此 2102121021010321p,p,pP并且并且 4421,diagAPP AP由这个例子可见，对实对称矩阵由这个例子可见，对实对称矩阵 ，求一个，求一个 正交矩阵正交矩阵 使得使得 的步骤如下：的步骤如下：APP1第一步第一步 求求 的特征值；的特征值；Arrr第二步第二步 求对应于每个特征值的特征向量。求对应于每个特征值的特征向量。对于单特征值，只需将属于它的特征向量规范对于单特征值，只需将属于它的特征向量规范化；对化；对 重特征值，需要求出属于它的重特征值，需要

27、求出属于它的 个个线性无关的特征向量，并对这线性无关的特征向量，并对这 个特征向量进个特征向量进行正交规范化，这样就得到行正交规范化，这样就得到 个两两正交的个两两正交的单位特征向量；单位特征向量；nPP第三步第三步 以正交规范化的特征向量为列以正交规范化的特征向量为列组成矩阵，它就是要求的正交矩阵组成矩阵，它就是要求的正交矩阵 ，使，使 这时这时 的主对角线元素只需按的主对角线元素只需按组成组成 的特征向量的顺序依次将它们所的特征向量的顺序依次将它们所属的特征值排列即可。属的特征值排列即可。APP1 注意：注意：（1）所要求的矩阵）所要求的矩阵P不是唯一的；不是唯一的；（2）的主对角线元素的

28、顺序。的主对角线元素的顺序。在例在例5.9中，中，对应于对应于21 的单位特征向量可取成的单位特征向量可取成 310130004AT,p 212101而对应于重特征值而对应于重特征值432 的两个线性无关的的两个线性无关的特征向量可取为特征向量可取为 TT,11111132 由于由于32 ,不正交，所以需要先正交化，取不正交，所以需要先正交化，取 2243111131111222323322 ,再将再将32 ,规范化，得规范化，得TT,p,p 61616231313132于是于是 61312161312162310P 2102121021010P在例在例5.9中中例：设例：设324202,42

29、3A T求正交矩阵求正交矩阵 ，1TAT 使得使得 为对角阵。为对角阵。解解：32422423AE 218 0 1231,8.当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为121 0AE X得基础解系得基础解系112,0p 202.1p 先正交化：令先正交化：令1112,0p 21221114501(,)4222(,)55101pp 再单位化：令再单位化：令1151122,5500 244355522535351535 当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为38 80AE X得基础解系得基础解系311,21p 单位化得单位化得3213211,323123 得正交矩阵得正交矩阵123(,

30、)T 142353 5221353 552033 5 1118TAT 有有小结：我们这节课学习的主要内容为相似小结：我们这节课学习的主要内容为相似矩阵的特点，实对称矩阵的对角化。矩阵的特点，实对称矩阵的对角化。其中大家必须掌握求正交矩阵，使其中大家必须掌握求正交矩阵，使 实对称矩阵化为对角矩阵的方法。实对称矩阵化为对角矩阵的方法。第四讲第四讲 二次型及其标准形二次型及其标准形一一.二次型二次型 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxax,x,xf113113211222222211121222 (5.18)称为二次型。称为二次型。定义定义5.7 含有含有 个变量个变量 的的 二次齐次函数

31、二次齐次函数nnx,x,x21例如：例如：22(,)45f x yxxyy22(,)2f x y zxyxzyz1234122324(,)f x xxxx xx xx x都是二次型。都是二次型。22(,)5f x yxy22(,)22f x yxyx不是二次型。不是二次型。在在（5.18）中，对中，对 ，若取，若取则则于是于是ji ijjiaa ijjijiijjiijxxaxxaxxa 2 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa)x,x,x(f2121222211121121若记若记 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 nxxxx21则则AxxfT（5.19)称为称为

32、二次型的矩阵表示式二次型的矩阵表示式,AAT 其中其中 即即 为对称矩阵。为对称矩阵。A例如：二次型例如：二次型22123131223 (,)34f x xxxxx xx x1123231-201(,)-20 210-32xxxxxx 例如：二次型例如：二次型yzzxyxf 2234 zyx)z,y,x(32102102021在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一就唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系这样，二次型

33、与对称矩阵之间存在一一对应的关系AfA定义：定义：对称矩阵对称矩阵 称为二次型称为二次型 的矩阵，把的矩阵，把 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型；对称矩阵的二次型；对称矩阵 的秩就的秩就叫做二次型的秩。叫做二次型的秩。如果一个二次型的矩阵是实如果一个二次型的矩阵是实对称矩阵，则称其为对称矩阵，则称其为实二次型实二次型。Af例：求二次型例：求二次型 的矩阵的矩阵f22121223(1)(,)223f x y zxxx xx x11031223002A 解：解：12323101012A 例：求对称矩阵例：求对称矩阵 所对应的二次型所对应的二次型。A1232221231213(,)22 3f xx

34、xxxxx xx x 解：解：对二次型，要讨论的主要问题是，寻求可逆的线对二次型，要讨论的主要问题是，寻求可逆的线性变换性变换Cyx (5.20)C,)y,y,y(y,)c(CTnnnij21 其中其中 可逆可逆使二次型只含平方项，即将使二次型只含平方项，即将(5.20)代入代入（5.19）后，二次型变为后，二次型变为AxxfT（5.19）2222211nnTTTTykykykyACCyCyACyAxxf （5.21）这种只含平方项的二次型称为二次型的这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形寻求可逆变换寻求可逆变换Cyx 化二次型为标准形的问题化二次型为标准形的问题就是对实对称矩阵就是对

35、实对称矩阵A寻求可逆变化矩阵寻求可逆变化矩阵C使使ACCT为对角矩阵的问题。为对角矩阵的问题。二二.用正交变化化二次型为标准形用正交变化化二次型为标准形定理定理5.12 任给实二次型任给实二次型AxxfT 总有正交变换总有正交变换Pyx 使使f化为标准形化为标准形2222211nnyyyf 为为其中其中n,21A的特征值。的特征值。例例5.10 求正交变换求正交变换Pyx ，把二次型，把二次型22312xxxf 化为标准形。化为标准形。解：二次型的矩阵解：二次型的矩阵 001010100A它的的特征多项式为它的的特征多项式为 2110101010 AI.,11321 所以所以 的特征值为的特征

36、值为A对对,11 解解0 x)AI(得基础解系得基础解系 T,1011 规范化得规范化得.,pT 210211对对,132 解解 0 xAI得基础解系得基础解系 TT,10101032 由于它们已正交，只需规范化得由于它们已正交，只需规范化得 TT,p,p 2102101032所以正交变化为所以正交变化为 3213212102101021021yyyxxx的标准形的标准形f232221yyyf 由此例，我们可得到用正交变换化二次型为标准形由此例，我们可得到用正交变换化二次型为标准形的步骤的步骤：（1）写出二次型）写出二次型 的矩阵的矩阵 ；fA（2）求）求 的特征值；的特征值；A（3）求对应于

37、特征值的特征向量。对单特征值，）求对应于特征值的特征向量。对单特征值，需将属于需将属于它的特征向量规范化；对它的特征向量规范化；对 重的重的r的的 个线性无关的个线性无关的的特征值，需将属于它的特征值，需将属于它r特征向量正交规范化；特征向量正交规范化；（4）以正交规范化的特征向量为列组成正交）以正交规范化的特征向量为列组成正交 矩阵矩阵 ，写出，写出P正交变化正交变化 ；Pyx （5）按组成）按组成 时特征向量的次序，以其所属时特征向量的次序，以其所属 特征值为系数特征值为系数P写出标准形。写出标准形。三三.用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形例例5.11 化二次型化二次型312

38、12322212222xxxxxxxf 为标准形，并求相应的变换矩阵。为标准形，并求相应的变换矩阵。解：由于解：由于 中含中含 所以先把它们所以先把它们 归并归并f312121xx,xx,x起来配平方得起来配平方得 233222232123223223222321312123222122222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf 2322321xxxxx 便有二次型的标准形便有二次型的标准形 2221yyf 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100110211C 333223211xyxxyxxxy即即 3332232112yxyyxyyyx令：令：第五讲第五讲 惯性定理和正定二

39、次型惯性定理和正定二次型 r,i,k,ykykykfirr2102222211 r定理定理5.13 （惯性定理）（惯性定理）设实二次型设实二次型 的秩为的秩为 ，有两个实可逆变换，有两个实可逆变换 及及AxxfT Cyx Pyx 使使 r,i,yyyfirr2102222211 则则 中的正数个数（称为二次型的正惯中的正数个数（称为二次型的正惯性指数）性指数）rk,k 1与与 中的正数的个数相等。中的正数的个数相等。r,1定义定义5.8 设有实二次型设有实二次型 ，如果对任何如果对任何 有有 （或（或 ），），则称则称 为正定（或负定）二次型，并称对为正定（或负定）二次型，并称对 称矩阵称矩阵

40、 是正定（或负定）的；如果对任是正定（或负定）的；如果对任 何何 有有 （或（或 ），且至少有），且至少有一个向量一个向量 使使 ，则称，则称 为半为半 正定（或半负定）二次型，并称对称矩阵正定（或半负定）二次型，并称对称矩阵 是半正定（或半负定）的。是半正定（或半负定）的。Axx)x(fT 0 x0)x(f0 fA0 x0)(xf0 00 x0)(0 xffA定理定理5.14 实二次型实二次型 为正定（负定）为正定（负定）的充要条件是它的标准形的的充要条件是它的标准形的 个系数个系数 全为正（负）。全为正（负）。Axx)x(fT n31212322212232xxxxxxxf 例例5.12

41、判定二次型判定二次型的正定性。的正定性。解：应用配方法得解：应用配方法得 232221232322321yyyxxxxxxf 由于标准形中的系数全为负，所以由于标准形中的系数全为负，所以 为负定为负定二次型。二次型。fA推论推论 实对称矩阵实对称矩阵 为正定（负定）的为正定（负定）的充要充要 条件条件是是 的特征值全为正数（负数）。的特征值全为正数（负数）。An定理定理5.15（霍尔维兹定理）（霍尔维兹定理）阶实对称矩阶实对称矩 阵阵 为正定的充要条件是为正定的充要条件是 的的 个前主个前主子式（即前主子矩阵的行列式）均为正，子式（即前主子矩阵的行列式）均为正，即即nAA00003332312

42、322211312112221121111 Adet,aaaaaaaaa,aaaa,a实对称矩阵实对称矩阵 为负定的充要条件是它的奇数为负定的充要条件是它的奇数阶前主子式为负，偶数阶前主子式为正，即阶前主子式为负，偶数阶前主子式为正，即A,aaaaaaaaa,aaaa,a0003332312322211312112221121111 例例5.14 判别矩阵判别矩阵 402062225A的正定性。的正定性。解：因为解：因为080062250511 Adet,a所以所以 是负定的。是负定的。A小结：小结：我们这节课学习的主要内容为我们这节课学习的主要内容为 二次型及其标准形，用正交变换化二次型及其

43、标准形，用正交变换化 二次型为标准形，用配方法化二次二次型为标准形，用配方法化二次 型为标准形，二次型的正定性。型为标准形，二次型的正定性。其中大家必须掌握用正交变换其中大家必须掌握用正交变换 化二次型为标准形的方法，会判断化二次型为标准形的方法，会判断 二次型的正定性。二次型的正定性。习题课习题课若能对角化，求出可逆矩阵若能对角化，求出可逆矩阵 使得使得 为对角阵。为对角阵。P1PAP 例例1 1：设：设460350.361A 问问 能否对角化？能否对角化？A解：解：460350361AE 2120 1231,2.当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为121 0AE X 360360

44、360AE 120000000 122xx 得基础解系得基础解系121,0p 200.1p 当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为32 20AE X 6602330363AE 101011000 1323xxxx 得基础解系得基础解系311.1p 2011010011 123,ppp线性无关线性无关，A可以对角化可以对角化。令令 123201,101011Pppp则有则有1100 010002PAP 注意：注意：若令若令 31211121001,0,Pppp 1121 .PAP 则有则有例例2：已知方阵：已知方阵 的特征值是的特征值是A1230,1,3,相应的特征向量是相应的特征向量是

45、1231111,0,2,111 求矩阵求矩阵.A解：因为特征向量是解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵 是是3 阶方阵。阶方阵。A因为因为 有有 3 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。AA即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得P1PAP 其中其中111102,111P 01,3 求得求得1111333110,22111636P 1AP P 11133311101110210221113111636 110121011 例例3：设：设 求求45,23A 100.A解：解：4523AE (2)(1)0121,2.A可以对角化。可以对角化。当当 时时

46、，齐次线性方程组为齐次线性方程组为11 0AE x 5522AE 系数矩阵系数矩阵1100 12xx 令令 得基础解系得基础解系:21x 111p 齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，22 20AE x 25225AE 系数矩阵系数矩阵2500 252p 1252xx 令令 得基础解系得基础解系:22 x令令12(,)Ppp 1512 求得求得1251311P 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得P112PAP 1AP P 1001001APP 10015102513120211 1001001525(1)013121102 100100101101252552132252 例例

47、4：设：设 是是 阶方阵，阶方阵，是是 的的 个特征值个特征值，An2,4,2nAn计算计算3.AE 解：已知解：已知 有有 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化可以对角化AnA1242PAPn 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得P1AP P 1133AEP PPEP13PE P 3E 234323n (1)1 3(23)n 例例5：设：设 阶方阵阶方阵 有有 个互异的特征值，个互异的特征值，nAnAB 阶方阵阶方阵 与与 有相同的特征值。有相同的特征值。nB证明证明：A与与 相似。相似。证：设证：设 的的 个互异的特征值为个互异的特征值为An12,n 则存在可逆矩阵则存

48、在可逆矩阵 ,使得使得1P12111nPAP 又又12,n 也是矩阵也是矩阵 的特征值，的特征值，B所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 ,使得使得2P12122nPBP 111122PAPPBP112112P PAP PB即即1111212()()P PA P PB 1PAPB 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得112P PP BA即即 与与 相似。相似。222123123121323(,)55266f x x xxxcxx xx xx x 例例6：已知二次型：已知二次型 的秩为的秩为2，求参数，求参数C。f51315333Ac 解：解：()2 0 3r AAc 例例7：问：问 取何值时，取何值时，为正定二次型？为正定二次型？f 323121123222132142244xxxxxxxxxx,x,xf 解：二次型的矩阵为解：二次型的矩阵为 4212411 A由霍尔维兹定理知由霍尔维兹定理知 0214421241104410122221121111 Aaaaaa亦即当且仅当亦即当且仅当 时时 正定。正定。12 f