1、为阶方阵，为阶方阵，为数，为数，为维非零向量，为维非零向量，A 若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）并不一定唯一；并不一定唯一；,阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对方阵；，特征值问题只针对方阵；0 0EA x 有非零解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值0EA 一个特征向量只能属于一个特征值；一个特征向量只能属于一个特征值；一个特征值有无穷个特征向量；一个特征值有无穷个特征向量；若若),1(riAii ，则，则)()(1111rrrrkkkkA 定义定义
2、设设n n阶方阵阶方阵,nnijaA 则则nnnnnnaaaaaaaaaAEf 212222111211)(称为方阵称为方阵A A的的特征多项式特征多项式.0EA 称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程,0)(XAE 称为称为特征方程组特征方程组.注：注：n n阶方阵阶方阵A A的特征多项式为的特征多项式为 的的n n次多项式，次多项式，n n阶方阵阶方阵A A在复数范围内有在复数范围内有n n个特征值个特征值.例例1 1求矩阵求矩阵 5412A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.求求n n阶方阵阶方阵A A的特征值与特征向量的步骤：的特征值与特征向量的步骤
3、：1.计算特征多项式计算特征多项式AE 2.2.求出特征方程求出特征方程0 AE 的根的根n ,21即为即为A A的特征值的特征值3.3.求方程组求方程组0)(XAEi 的基础解系即为的基础解系即为A A的属于的属于特征值特征值 的线性无关特征向量，基础解系的线性组合的线性无关特征向量，基础解系的线性组合即为全部特征向量即为全部特征向量.i 例例2 2 求矩阵求矩阵 201011043A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.例例3 3 求矩阵求矩阵 312222211A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.注：比较例注：比较例2 2和例和例3 3的结果可得如下结论：的结果可得如下结论：属于某一
4、特征值的线性无关的特征向量可能不止一个属于某一特征值的线性无关的特征向量可能不止一个.121122(2);nnnaaa12(1);nA 设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为 ijAa 12,n 则则当是当是的特征值时，的特征值时，的特征多项的特征多项12,n 式可分解为式可分解为 fEA 12n 112121nnnnn 令令0,得得A 121nn 即即12.nA 定理定理 一个一个n n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.因为行列式因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积它的展开式中，主对角线上元素的乘积 1122nnaaaEA 是其中的一项，由行列式的定义，
5、展开式中的其它项至是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含个主对角线上的元素，多含个主对角线上的元素，含的项只能在主对角线上元素的乘积项中含的项只能在主对角线上元素的乘积项中1nn 与与 11122nnnnEAaaa 故有故有比较比较，有，有121122.nnnaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 因此，特征多项式中因此，特征多项式中方阵方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的的迹迹.记为记为 .iiitr Aa 阶方阵阶方阵可逆可逆的个特征值全不为零的个特征值全不为零.若数若数为可逆阵的为可逆阵的的特征值，则的特征值，则则则 为为
6、 的特征值的特征值1 1A 则则 为为 的特征值的特征值k kA则则 为为 的特征值的特征值1A A 则则 为为 的特征值的特征值m mA单位阵单位阵的一个的一个特征值为特征值为定理定理、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值，则的特征值，则1213A 的一个特征值为（）的一个特征值为（）、证阶方阵、证阶方阵的满足，则的满足，则的特征值为的特征值为2AA 或或、三阶方阵、三阶方阵的三个特征值为、，则的三个特征值为、，则211020413A （）（）311751662B 223EA、求下列方阵的特征值与特征向量、求下列方阵的特征值与特征向量互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。互不相等的特征值所对应
7、的特征向量线性无关。互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。线性无关。一、定义一、定义定义定义设设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得使得1,PAPB 则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵，或者说矩阵，或者说矩阵与与相似相似称为对称为对进行进行相似变换相似变换，1,PAP 对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似变换矩阵相似变换矩阵记作：记作：二、性质二、性质（1 1）反身性：反身性：（2 2）对称性：对称性：（3 3）传递性：传递性：；，则，则
8、；，则，则；R AR B=AB 定理定理4.64.6 若阶矩阵若阶矩阵与与相似，则相似，则推论推论若阶矩阵若阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵1212(,)nndiag 相似，相似，12,n 就是就是的个特征值的个特征值则则（1）（2）与与有相同的特征多项式和特征值有相同的特征多项式和特征值（3）)()(BtrAtr（4）若能寻得相似变换矩阵若能寻得相似变换矩阵使使1PAP 对阶方阵对阶方阵，称之为称之为把方阵把方阵对角化对角化三、可相似对角化的条件三、可相似对角化的条件定理定理4.64.6的推论说明，的推论说明，如果阶矩阵如果阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相相似，似，那么，使得那么，使得1PAP 的矩阵
9、的矩阵又是怎样构成的呢？又是怎样构成的呢？则则的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的全部特征值的全部特征值设存在设存在可逆，可逆，1PAP 使得使得 12,nPppp 若若 APP有有 121212,nnnA pppppp 1122,nnppp 于是有于是有(1,2,),iiiApp in 因为因为可逆，可逆，故故0(1,2,),ipin于是于是12,nppp是是的个线性的个线性无无关的特征向量。关的特征向量。反之，反之，即即(1,2,),iiiApp in 设设12(,),nPppp 可逆，且可逆，且则则12,nppp若若有个线性无关的特征向量有个线性无关的特征向量121122(,)
10、(,)nnnAPAp ApApppp1212(,),nnpppP 所以所以1,PAP 即即与对角矩阵与对角矩阵相似相似定理定理4.74.7阶矩阵阶矩阵能与对角矩阵能与对角矩阵相似相似有个线性无关的特征向量有个线性无关的特征向量推论推论如果阶矩阵如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵有个不同的特征值，则矩阵注意注意中的列向量中的列向量12,nppp的排列顺序要与的排列顺序要与12,n 的顺序一致的顺序一致（1 1）可相似对角化可相似对角化（2 2）是是ip()0AE x 的基础解系中的解向量，的基础解系中的解向量，因因ip的取法不是唯一的，的取法不是唯一的，故故因此因此也是不唯一的也是不唯一的（3
11、3）所以如果不计所以如果不计的排列顺序，的排列顺序，0AE 的根只有个（重根按重数计算）的根只有个（重根按重数计算）又又 是唯一的是唯一的则则i 例例1 1 12012001xA设问问x x为何值时，矩阵为何值时，矩阵A A可相似对角化？可相似对角化？例例2 2设 312222211A求mA设维实向量设维实向量称实数称实数1122,nnababab ,.1 122nna ba ba b为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 1212.Tnnbbaaab ,（1 1）对称性：）对称性：（2 2）线性性：）线性性：（
12、3 3）正定性：）正定性：,kk ,0,0 ,0.当且仅当当且仅当时时1111,rrrrkkkk 0,00T00,22212,naaa 令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数范数）.长度为的向量称为长度为的向量称为单位向量单位向量.定理定理4.104.10（CauchyCauchy不等式）不等式）任意两个任意两个n n维实向量维实向量 ,恒有恒有 ,等号成立当且仅当等号成立当且仅当 ,线性相关线性相关.（1 1）非负性：）非负性：（2 2）齐次性：）齐次性：（3 3）三角不等式：）三角不等式：0;00且且；;kk;当当时，时，0 由非零向量由非零向量得到单位向量得到单位向量是是的的单位
13、向量单位向量.01 01 称为把称为把单位化单位化或或标准化标准化.的过程的过程设设 与与 为维空间的两个非零向量，为维空间的两个非零向量，与与 的夹的夹角的余弦为角的余弦为 ,cos,因此因此 与与 的的夹角夹角为为 ,arccos,0.例例 1223,3151,.求求,cos 解解183 2 6 12.4 .求求,1111,1110,TT 练习练习 ,当当，称，称与与正交正交，记作，记作 ,0 若若 ，则，则与任何向量都正交与任何向量都正交.0 0.对于非零向量对于非零向量与与，若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为这个向量组
14、称为正交向量组正交向量组，简称，简称正交组正交组.由单位向量组成的正交组称为由单位向量组成的正交组称为标准正交组标准正交组.2,正交向量组必为线性无关组正交向量组必为线性无关组.m ,21是标准正交向量组是标准正交向量组mjijijijijTi,2,1,0,1,例例1 已知三元向量已知三元向量,121,111 21TT 试求一个非零向量试求一个非零向量3，使使321,称为正交向量组称为正交向量组.1 1）正交化）正交化令令11 1222111,121r121112211,rrrrrrrr 将一组线性无关的向量组化为标准正交向量组将一组线性无关的向量组化为标准正交向量组.就得到一个标准正交向量组
15、就得到一个标准正交向量组.上述方法称为施密特上述方法称为施密特正交化法正交化法.2 2）标准化）标准化112212111,rrr令令则则两两正交，且与两两正交，且与12,r 等价等价.12,r 上述上述方法中的两个向量组对任意的方法中的两个向量组对任意的1,kr12,k 与与12,k 都是等价的都是等价的.例例2 用施密特正交化方法将如下向量组用施密特正交化方法将如下向量组,011 1T TT 111,101 32 化为标准正交向量组化为标准正交向量组.1 1、定义、定义如果阶矩阵满足：如果阶矩阵满足：则称则称为为正交矩阵正交矩阵.则则可表示为可表示为若若按列分块表示为按列分块表示为 1,TT
16、A AEAA 即即12(,),n TA AE 1212TTnTn 11,1E亦即亦即其中其中1()(,1,2,).0ijn nif iji jnif ij ()()Tijn nijn n 的列（或行）向量组是标准正交组的列（或行）向量组是标准正交组.若若为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换=称为称为正交变换正交变换.y Tx x TTx P Px ,Ty yy y ,.x xx正交变换后向量长度不变正交变换后向量长度不变,内积不变内积不变,夹角不变夹角不变.ABAAorAAATT,)3(;11|)2(;)1(11 若若A，B是正交矩阵，则是正交矩阵，则也是正交矩阵也是正交矩阵.1849
17、998149994479991112310121112 111226120,26111226 11132612036111326 判断下列矩阵是否为正交矩阵判断下列矩阵是否为正交矩阵.实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.实对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交实对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.若阶实若阶实对称对称阵阵的重的重特征值对应的线性特征值对应的线性无关的特征无关的特征向量恰有个（不证）向量恰有个（不证）iti it若为阶若为阶对称对称阵，则必有正交阵，则必有正交矩阵矩阵，使，使得得1PAP 推论推论实对称矩阵的特征向量是实向量实对称矩阵的特征向量是实向量.根据上述
18、结论，利用正交矩阵可将实对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵可将实对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.4.2.2.;,0的的特特征征向向量量求求出出由由AxAEi 1.1.;的的特特征征值值求求 A1PAP 例例4设矩阵设矩阵222254245A求一个正交矩阵求一个正交矩阵P，使得，使得为对角阵。为对角阵。例例5 5设三阶对称矩阵设三阶对称矩阵A A的特征值为的特征值为1,2,3;1,2,3;矩阵矩阵A A的属于的属于特征值特征值1 1，2 2的特征向量分别为的特征向量分别为（1）A A的属于特征值的属于特征值3 3的特征向量的特征向量。（2）求矩阵求矩阵A A。12(1,1,1),(1,2,1)TT
