1、3.1.3 3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算S FW=|F|s|cos 根据功的计算根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量我们定义了平面两向量的数量积运算积运算.一旦定义出来一旦定义出来,我们我们长度和角度长度和角度问题问题.回回 顾顾O OA AB Ba a b b 类似地，可以定义空间向量的数量积类似地，可以定义空间向量的数量积两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！新新 知知2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量;规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数
2、量积等于零.abA1 1B1 1BAabA1 1B1 1BA 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积.a b a|ab|cosba3)3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质注：注：性质性质 是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质性质是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据.(4)(4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律(1)()().aba b .12 EDABOabCcl12 EDABOabCcl222222)()()()3)()()4)()a bcab cpqp qpqpqp
3、q 135 DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85.ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA|85.AC ABCDA B C D 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC 3.另外另外,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零的向量的数量积为零.证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0.a PAaPOOAa POa OA
4、 ,aPAlPA 即即.为为 P O A la 0,0,a POa OA P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例3(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的
5、两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?共面向量定理共面向量定理,有了有了!lmngn g m l,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.证证
6、:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 (,)x y 通过学习通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：决立体几何中的以下问题：1.1.证明两直线垂直证明两直线垂直;2.2.求两点之间的距离或线段长度求两点之间的距离或线段长度;3.3.证明线面垂直证明线面垂直;4.4.求两直线所成角的余弦值等等求两直线所成角的余弦值等等.111111=2ABCABCABBBABC B如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）(A)60(B)90(C)105(D)75OABCEF 已知点已知点O是正是正ABC平面外一点，若平面外一点，若OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是分别是AB、OC的中点，用向量法解决下列问题：的中点，用向量法解决下列问题：(1)计算计算 ；(2).证明证明 ；(3)求求EF的距离的距离;(4)求求OE与与BF所成角的余弦值所成角的余弦值.AO OB ABOC
