1、26.2 实际问题与反比例函数 第二十六章 反比例函数 第1课时 实际问题中的反比例函数 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. (重点、难点) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围 导入新课导入新课 情境引入 请欣赏成都拉面小哥的“魔性”舞姿 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 如果他要把 体积为 15 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长 度 y (单位：cm) 与面条粗细
2、(横截面积) S (单位：cm2) 的函数关系式吗？ 15 yS S 0 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例吗？ 实际问题与反比例函数 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 讲授新课讲授新课 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， S 关于d 的函数解析式为 4 10 .S d 典例精析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为
3、500 m ，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 4 10 S d 4 10 500 d ， (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)? 解得 S666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m . 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 4 10 S d 4 10 15 S， 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数
4、 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升1立方分米)的圆锥形漏斗 (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系? d 解： 3 .S d (2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm2？ 解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 d
5、m2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载 完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度装货天数=货物的总量， 可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货 速度=货物的总量卸货天数，得到 v 关于 t 的函 数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =308=240， 所以
6、v 关于 t 的函数解析式为 240 .v t (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得 240 v t 240 48.v t 方法总结：在解决反比例函数相关的实际问题中， 若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的 增减性来解答 . 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心， 这样必须把
7、 1200 立方米的生活垃圾运走 (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： 1200 .y x (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x =125=60，代入函数解析式得 1200 20. 60 y 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这 样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200860=720
8、(立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 7206=120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是：12012=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机105=5 (辆). 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：806=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得 (t 0). 480 v t 当堂练习当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边
9、长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C 2. 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2) 的函数关系为 ，若要使拉出来的面 条粗 1 mm2，则面条的总长度是 cm. 20 yS S 0 2000 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是_ (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要
10、求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于_ 240千米/时 720 v t 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6150=90 (吨)， 根据题意有 90 y x (x0). (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 30 90 1 x y O (3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解： 每天节约 0.1 吨煤， 每天的用煤量为 0.60.1=0
11、.5 (吨)， 这批煤能维持 180 天 9090 180. 0.5 y x 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟 (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： 3600 .v t (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. 3600 240. 15 y (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得：t =12 答：他至
12、少需要 12 分钟到达单位 3600 300 t ， 6. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解： 1200 .y x (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 2450=1200 (m)， 2 台挖掘机需要 1200(215)=40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少 m？ 解：120030=40 (m)， 故每天至少要完成40 m 课堂小结课堂小结 实 际 问 题 中 的 反 比 例 函 数 过程： 分析实际情境建立函数模型明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同
