1、2x定义域定义域 ),(yxC f(D)称为值域称为值域 函数图形函数图形:Dx,)(xfyx自变量自变量因变量因变量y),(b aD ab2xy2xy2x)1)(1(2)1(22 x x y x y与2x2x112042xx)2,0)12arcsin(41)(2xxx f512)2(2f约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有(实际实际)意意义的一切实数值义的一切实数值.2x 221)1(1)()(24222xxxxfxf f65)(2 xxx f解：解：2x|),(00 xxxx)(),(xffxf,23)1(2xxxf解：解：1)(2 xxf)(xf2x65
2、2)1(3)1()(22tttttf2x2x)(2xf)(1xfy),(b aD 2x1x)(xfy y),(b aD 2x1x)(xfy)(2xf)(1xfyy2x 函数函数y=xy=x2 2是在其定义域是在其定义域(-,+)(-,+)上是上是偶函数偶函数;函数函数y=sinxy=sinx是在其定义域是在其定义域(-,+)(-,+)是奇函数是奇函数;函数函数y=sinx+cosxy=sinx+cosx在其定义域在其定义域(-(-,+),+)上非奇非偶上非奇非偶.2x偶函数偶函数yx)(xfMxMx cos,sinox-xMx ln奇函数奇函数)(xfyxMx lnox-xMxMx cos,s
3、in2xoyxM-My=f(x)I有界有界2x(2)(2)有界与否是和有界与否是和I I有关的有关的.(1)(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意注意:(-,+)(-,+)上任上任221mvE 意一点意一点x,x,存在存在M=1,M=1,使得使得(-,+)(-,+)上都是有界函数。上都是有界函数。(0,+)(0,+)上为无界函数上为无界函数,因为因为Mx /12x(0(0，1)1)上是无上是无界的界的,但在闭区间但在闭区间1,21,2上却是有界函数上却是有界函数,因为在此因为在此2)(21gtmE 2xxyT/2-T/23T/2-3T/22x(1)(1
4、)幂函数幂函数2x是常数是常数,取取值不同函数的值不同函数的定义域不同定义域不同y)1,1(12x2x2x2x2x(2)(2)指数函数指数函数),(),1,0(aaayxyxo2x(3)(3)对数函数对数函数2xxoy2x(4)(4)三角函数三角函数正弦函数正弦函数),(,cos xxyo22/32/x2/2/32y2/2/2x2x余弦函数余弦函数2/52/o2/32/x2/2/32y2/2x正切函数正切函数2xyox212321232x(5)(5)反三角函数反三角函数 1,1,arcsinxxy反正弦函数反正弦函数xyo1122 1,1,arcsinxxy2x2x反余弦函数反余弦函数11ox
5、2 1,1,arccosxxyy2x2x反正切函数反正切函数oxy22,tanarcxxy2xgtv)1arcsinlg(xy1,lg,arcsin xv vu uygtv)1arcsinlg(xy2x例如例如,函数函数,122xu,12arcsin2xy合函数合函数Dx,1231,2322,arcsinxuuy但函数但函数,0可定义复可定义复不能构成复合函数不能构成复合函数.2x22,xuuy 例如例如,函数函数34/3,xuuy 可分解为函数可分解为函数又如函数又如函数x也可分解成：也可分解成：o2x)1,0(aaayx2x)(1yfx )(1yfx 又如又如,)121(lim.)121(
6、lim2)21(xxxxx0,xx0,xx)(1yfx可表为可表为故为初等函数故为初等函数.2x非初等函数举例非初等函数举例:符号函数符号函数,1当 x 0,arcsinuy 当 x=0,1当 x 0oy2x11)(x fy2xxy sgnxy sgnyaxlog 2xxy sgnxy sgnxay xyalog 0)0(f2x)(1xfy 2x 函数函数)(1xfy与其反函数与其反函数xy 的图形关于直线的图形关于直线),(,xeyx对称对称 .例如例如 ,),0(,lnxxy与对数函数与对数函数xy互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线2x对称对称
7、.)(1xfyxy),(abQ),(baPnxxx,.,211xy指数函数指数函数xy sgn,ba 2x内容小结内容小结定义域定义域对应规律对应规律2.2.函数的特性函数的特性单调性单调性,奇偶性奇偶性,有界性有界性,周期性周期性3.3.初等函数的结构初等函数的结构作业作业:1.1.函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素2x且备用题备用题,)()(1xcxf bxf a)(xf,1xt 证明,1tx 证证:令t ct f bf at)()(1则xcxf bx f a)()(1xcxfbfax)()(1由),(1xf)0()(22xxaxbabcxf消去),()(x f x f 显然
8、得,0)0(f又)(xf故0 x01lim xx,)1(1,32,23,0:)1(1)3(nnxnnn 时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设2xnA引例引例:设有半径为设有半径为r r的圆的圆,逼近圆面积逼近圆面积S.S.nnA如图所示如图所示,可知可知nnrcossin2nA),5,4,3(n)(1n当当n n无限增大时无限增大时,无限逼近无限逼近 S.S.用其内接正用其内接正n n边形的面积边形的面积2x刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的他撰写的重重 差差对对九章算术九章算术中的方法和公式作了全面的评中的方
9、法和公式作了全面的评 注注,指出并纠正了其中的错误指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献理论上作出了杰出的贡献.他的他的“割圆术割圆术”求圆周率求圆周率“割之弥细割之弥细,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要的重要极限思想极限思想.的方法的方法:2xnxnxrx2x)(,111)2(nnxn注意：注意：1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴
10、上依次取2x3x4xnx),(nfxn.Nn2.2.数列是整数函数数列是整数函数,.11,.,34,23,2:11)2(nnxn ,xxarctan)1()4(1 nnx2xnx)(limn Ax Axnnn或)(limn Ax Axnnn或)(limn Ax Axnnn或n2.,21nxxx,.,1,1,1:)1()4(1 nnxxxf1)(1x2x又如又如,1nnxnnnx2 收收 敛敛x xxxxg 11)(2x,1,43,32,21 nn2)1()1(nxnn2x0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6()(lim0 xfxxr)(,0 n)(,01)1(nnxn1xy12xxy
11、/1 自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:0)1(xx2x2xAxfx)(lim)()(xAxf当)(0 xf直线直线y=Ay=A为曲线为曲线0,10,00,2)(xxxxxxf当当当的水平渐近线的水平渐近线几何意义几何意义:0 xx2x x2)(,1)1(1)3(nnxnn2arctanxxxf 21)(2arctan x2arctanxoxy22,tanarcxxy2x)(0 xf)(,1)1(1)3(nnxnn )(,)(,1xx.1yyoxxy 22x,x又如：又如：都有水平渐近线都有水平渐近线,xxxg21)(f(x)f(x)及及g(x)g(x)都有水平渐近线都有水平渐
12、近线x再如，再如，1x21 2xx21Axfxfxxxx)(lim)(lim00,.)1()1(,.,161,251,412 nnxy )(,1)(,xx)(,0 x)(,0 xnx2x)()0)()(xxx及，03lim20 xxxxyoxxy1sin2x0 00 00 0存在)()(limxx0)2(lim)(lim00 xxfxxAxfxfxxxx)(lim)(lim000 00 00 0)()(0 xxAx f 当Axfxx)(lim00 xx2x)()0)()(xxx及 Axfxx)(lim0定理定理 2x左极限左极限:Axfxx)(lim00 xx 右极限右极限:Axfxx)(li
13、m0)()(xAxf 定理定理 ;0y)(limxfx2x1)1(lim)(lim00 xxfxx)(xfy)(lim)(lim00 xfxfxx,.1,.,31,21,1:1)1(nnxn 2x思考与练习思考与练习:1.1.若极限若极限)()(lim00 xfxfxx存在存在,)(xf作业作业:是否一定有是否一定有？2.2.设函数设函数)(lim1xfx且且.a存在存在,则则31,121,2xxxx a)(xf2xAxfxxx)(lim)(0或x0)(lim0 xfxx xx/1xxxsinlim xxe x2x注意：注意：1)1)无穷小量是一个变量无穷小量是一个变量,而不是一个数而不是一个
14、数.但但0 0可以作为无穷小的唯一一个常数。可以作为无穷小的唯一一个常数。3)3)此概念对数列极限也适用此概念对数列极限也适用,若若 ,称数列称数列 为为 时的无穷小。时的无穷小。n0 xxxxsin,22)2)无穷小量与自变量变化过程有关。无穷小量与自变量变化过程有关。2x,0)(xf说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !Axfxxx)(lim)(0或0)(lim0 xfxxx0)(lim)(0 xxxx或)(xf2x当当 再如再如:xx1lim,函数函数 x)()(limxgxf时为无穷小时为无穷小;0 x例如例如:,0 例如例如:0 x.0)(,0)(
15、xx.0)(,0)(xx )()(x Bx AAB.0)(,0)(xx2x0)(lim0 xfxx)(lim)(0 xfxxx或Axfxx)(lim0Axfxxx)(lim)(0或0)(lim0 xfxxAxfxxx)(lim)(0或0)sin(lim0 xxx)(lim0 xfxx 2/xxxxarctanlim xxxarctan)./1(lim 2x无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系若若若若)(xfy 为无穷大为无穷大,0sin.lim0 xxx为无穷小为无穷小;)(xfy 为无穷小为无穷小,且且)52(lim32xxx则则为无穷大为无穷大.则则Axfxxx)(lim)(0或在在
16、(或或 时时),),)(/1xf0sin.lim0 xxx注意：注意：(1)(1)无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;(2)(2)无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.2x内容小结内容小结1.1.无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义;2.2.无穷小定理无穷小定理;3.3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系.2x一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则1.2.4 1.2.4 极限的运算极限的运算)()(limxgxf则有则有)(lim)(limxgxf,0)(fexxx1)1(lim0设设
17、)(lim)(limxgxf95228 1sinlim.10 xxx【定理【定理4 4】)(lim)(limxgxf.590457182818284.2)1(1nnB其中其中 B B002x证明证明:x1)()(xBxA 由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得).()(),()(xBx gxAx f 5lim2)(lim232 xxxx)()(xgxf)()(xgxf ABxgxf)()(limACx fCx f C.)(lim)(lim .02x【推论【推论3 3】)13(lim)52(lim2232 xxxxxx(C(C为常数为常数)【推论【推论4 4】,)(10nnnxaxaaxP(n(
18、n为正整数为正整数)例例:设设n n次多项式次多项式,0)()(lim xx则则)13()52(lim232xxxxx.)(lim,)(limBx gAx f .)(lim,)(limBx gAx f ,03)13(lim22 xxxnnnAxfxf )(lim)(lim2x【推论【推论3 3】)13(lim)52(lim2232 xxxxxx(C(C为常数为常数)【推论【推论4 4】,)(10nnnxaxaaxP(n(n为正整数为正整数)1.1.设设n n次多项式次多项式).(0 xf 则则nmba,0(00则则有有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)()(00 xQxP
19、 nnxxnxxnxxaxaxax P 110)lim()lim()(lim000).(0 xPn)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx 2x例例8 8 求求)1/()12(lim23xxxx32311211limxxxxx 339 )13()52(lim232 xxxxx0 2x例例9 9 求求 521lim5 xxx)12/()1(lim32 xxxx521lim5 xxx ,BCOAB的高为2x一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数)mn当mmmxaxaxa110limnnnbx bxb110,00ba,0,mn当mn当0)1xx0)2xx2x例例1
20、0 10 求求)21)(5()21)(21(lim5 xxxxxnnnax a x a 10 10 0)21)(5()5(lim5 xxxx211lim5 xx41,)(110nnnnax ax axP 2x内容小结内容小结1.1.极限运算法则极限运算法则(1)(1)无穷小运算法则无穷小运算法则(2)(2)极限四则运算法则极限四则运算法则注意使用条件注意使用条件2.2.求分式函数极限求法求分式函数极限求法00时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为0)0)x)3时时,对对,)(lim,)(lim不存在存在若 x g x f型型,约去公因子约去公因子)()(limxgxf 时时,分子分母同除最高
21、次幂分子分母同除最高次幂2x思考及练习思考及练习1.1.)()()()(xfxgxfxg)(limxg是否存在是否存在?为什么为什么?答答:不存在不存在 .否则由否则由?321lim2222nnnnnn利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知22)1(limnnnn存在存在 ,与已知条件与已知条件矛盾矛盾.)11(21limnn解解:原式原式21.)1(lim2xxxxxxxx1lim22.2.问问2x3.3.求求1111lim2xx解法解法 1 1 原式原式 =21,1xt tt tt1111lim20解法解法 2 2 令令2122011limttt111lim20tt则则原式原式
22、=0t.0)1(lim33xaxx,1xt2x4.4.试确定常数试确定常数a a使使tatt33011lim0解解 :令令01a则则tatt3301lim01lim330att1a1)()sin(limsinlim00 xxxxxx故故xxx11sinlim 因此因此2x二、两个重要极限二、两个重要极限xsin21BA.ADO，得作单位圆的切线,tan,sinADxABxBCx弧于是有1coslim0sinlim00 xxxx；2222sin21cos0222xxxx2x例例11 11 证明证明0 xxx sin02,xx)20(,xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆1sinlim0 x
23、xx故0 x2x证明证明,xAxfxx)(lim0,tx 1/,221x1sincosxxxCBAAoxy12xnn)1(1圆扇形圆扇形AOB的面积的面积即即x21xtan21xxx1sinlimAOB 的面积的面积AOD的面积的面积)(),(),(xhxgxf)(xf2xtttsinlim0,xOAB的的圆圆心心角角为为扇扇形形例例12 12 求求xxxtanlim0解解:xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01.arcsinlim0 xxx例例13 13 求求2220sin2limxxx解解:原式原式=212121xx1sinlim0 2x2121,2x
24、例例14 14 求,)(lim,)(lim Bx gAx f练习：求练习：求,arcsinxt解解:令令,sin tx 则则tttsinlim0因此因此原式原式 1lim0tttsin2201sinlimxxxx.arcsinlim0 xxx解：解：Axhxgxxxx)(lim)(lim00,)1(lim10ettt xxkx10)1(lim )()1(0)(1 limkkxxkx ennn)1(lim1则则2x2.2.n1)()(limx gx fDn),1,0(lim为常数ccc 2x,2xy 则则BA令令即即.)1(lim1xxkx例例15 15 求求xxxx)11(lim解解:2e k
25、e )12.21()121(lim xxx例例16 16 求求xxxx)11(lim .tanlim0 xxxxxxxsinlim01 2x2.2.两个重要极限两个重要极限e1)1(lim0;_sinlim.1xxx或或;_1sinlim.2xxx注注:代表相同的表达式代表相同的表达式内容小结内容小结1.1.数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则2x思考与练习思考与练习填空题填空题(1(14)4);_1sinlim.30 xxx;_)11(lim.4nnn011e1sinlim0 xxx1e,)()(x hx g作业作业:4 (4),(5)2x
26、)()(xx,0时x都是无穷小都是无穷小,引例引例:,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31exxx)1(lim1但但 2x2x不存在不存在,不可比不可比.极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.)(/)()(x Qx Px R nnx ax aax P 10)(而而 2x01sinlim0 xxx中中,设设在自变量同一变化过程在自变量同一变化过程yAxfxx)(lim0).()(lim00 xPxPnnxx若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,)()(lim xx记作记作0若若则称则称(x)(x)是比是比(x)(x)低阶的无
27、穷小低阶的无穷小;若若)(o,则称则称(x)(x)与与(x)(x)的同阶无的同阶无穷小穷小;特别当特别当c=1c=1时时,称称 (x)(x)与与(x)(x)是等价无穷小是等价无穷小,记记xxx3lim20作作2xxxx1sinlim 例如，例如，o20sinlimxxx,1exxx)1(lim120sinlimxxx)()(lim00 xfxfxx xxx3sinlim020sinlimxxx2 2)(0 xf，1sinlim0 xxx20sinlimxxx2xxarcsin例如例如,当当3x时时26xxsin;xxtan;xarcsinxtan;20cos1limxxxxtan;220sin
28、2limxx22)(4x210 x故故xcos1时时,221x是关于是关于x x的高阶无穷小的高阶无穷小,221x,)(b a Cx f 且且又如又如,2x内容小结内容小结lim,020sinlimx,)0(C)0(sinxxx,0时当 x1.1.无穷小的比较无穷小的比较设设,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k k 阶阶无穷小无穷小2xxsinxtanxxxxx1sin,sin,322,x0 x0 xxcos1 11nx
29、xn1)()(00 x f x x f y 作业作业:常用等价无穷小常用等价无穷小:2x 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的某一邻域内有定的某一邻域内有定义义,当自变量由点当自变量由点x x0 0变到另一点变到另一点x x时时,称称x-x-x x0 0值为自变量的增量值为自变量的增量,记为记为x=x-xx=x-x0 0,相应地相应地f(xf(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0)值为函数的增量值为函数的增量,记为记为y=f(x)-f(xy=f(x)-f(x0 0).).【增量定义】【增量定义】因为因为)(xfy,故有故有)(xf2x0 x1yx)()(lim00
30、xfxfxx0 xxx xxx3sinlim0y0lim0 yx2x【定义【定义1111】,)()(lim00 xfxfxxxxx 0 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0点的某一邻域内有定义点的某一邻域内有定义,在在x x0 0点给自变量以增量点给自变量以增量x=x-xx=x-x0 0,相应地函数相应地函数的增量的增量y=f(x)-f(xy=f(x)-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0),),如果如果y ,则称函数则称函数 y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0连续连续,并称并称点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的连续点的
31、连续点.2x【定义【定义1212】设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的某一邻域内有定的某一邻域内有定义义,若当若当 时时,函数函数f(x)f(x)的极限存在且等的极限存在且等于于f(xf(x0 0),),即即 则称函数则称函数 y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0连续连续.)()(lim00 xfxfxx 即函数即函数0)(0 xg在点在点)cos(sin222xxx(1)(1)0)(0 xg在点在点)cos(sin222xxx即即)()(lim,),(000 x Px Pxxx(2)(2)极限极限)(x(3)(3),0lim Ck连续必须具备下列条件连续必须具备
32、下列条件:存在存在 ;有定义有定义,存在存在 ;。0,10,00,2)(xxxxxxf当当当0 x2x例例17 17 验证函数验证函数y=sinxy=sinx在区间在区间 上是连续上是连续xe1)sin(2xxx xx f x x f ysin)sin()()(在区间在区间 上任取一点上任取一点x,x,当当x x有增量，有增量，xe1对应的函数增量为：对应的函数增量为：)(lim0 xfxx0 x00limxxxx)lim()()(lim000 xfx fx fxxxx)cos(2xx xxx 0,所以函数所以函数xe1y=sinxy=sinx在区间在区间 上连续上连续同样可证同样可证:函数函
33、数exxx /10)1(lim在在x内连续内连续.2x【定义【定义1313】设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的左邻域内的左邻域内(x(x0 0+,x,x0 0内有定义内有定义,若若 ,则称函数则称函数y=f(x)y=f(x)在在点点x x0 0处左连续。处左连续。)()(lim00 xfxfxx ,0 0)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx xueyu/1,2x)(lim0 xfxx,0)(0 xQ),0(f 2x0,20,1)(xxxxf)()(lim00 xRxRxxxyox1211212x若若f(x)f(x)在区间（在区间（a,ba,b）上每一点都
34、连续）上每一点都连续,则称则称 f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上连续上连续;如果如果f(x)f(x)在在x=ax=a点右连续点右连续,而而在在x=bx=b点左连续点左连续,则称则称f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上连续上连续xu/1 例如例如,)2(lim)(lim00 xxfxx 在在)1(lim)(lim00 xxfxx上连续上连续,即即:(有理整函数有理整函数)又如又如,有理分式函数有理分式函数),(义域内连续。义域内连续。在其定在其定只要只要1 都有都有xytan)1(2x种情况之一时种情况之一时,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的间断点的间断点:(1)(
35、1)函数函数f(x)f(x)()(lim00 x f x fx x在在无定义无定义 ;在在在在(2)(2)函数函数f(x)f(x)()(lim00 x f x fx x2x不存在不存在;(3)(3)函数函数f(x)f(x)()(lim00 x f x fx x2x存在存在,但但11)(2 xxxf虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且 根据定义根据定义1212可知可知,当函数当函数f(x)f(x)在点在点x x0 0有下列三有下列三2x)(lim0 xfxyox1211212)(lim0 xfx2x)(lim0 xfxx,0)(0 xQ),0(f 2x0,20,1)(xxxxf)()(l
36、im00 xRxRxxyox1211212x)0(1)1(lim)(lim00fx fx fxx 2xyox12112122x0 xxy1sin)2(为其无穷间断点为其无穷间断点 .0)()(lim000 x fxx fx为其振荡间断点为其振荡间断点 .)()()(000 x fx fx f2例如例如:xy1sin0y0 xxxy0 xx)1(1)(lim1fxfx1 x2x21,1,)(21xxxxfy显然显然x为其可去间断点。为其可去间断点。o(4)(4)y2110,10,00,1)(xxxxxx f y1(5)(5),1)0(fy1211 1)0(f0 x)(.1xf0 x为其跳跃间断点
37、。为其跳跃间断点。2x内容小结内容小结,)()(lim00 xfxfxxxxxxcsc,sec,cot,tan1左连续左连续右连续右连续231)(22xxxxf0,0,sin)(21xx axxx fx在点在点连续的等价形式连续的等价形式2x思考与练习思考与练习1.1.讨论函数讨论函数_,ax=2 x=2 是第二类无穷间断点。是第二类无穷间断点。的间断点。的间断点。2.2.设设,0)0(f)0(f时，时，提示提示:)0(fa0 xxcos,sin9x3xlim23x 0)(0 xg为为连续函数。连续函数。答案答案:x=1:x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,2x)(0 xf例如例如,
38、0 x66619x3xlim9x3xlim23x23x 在在内连续。内连续。xytan在其定义域内连续。在其定义域内连续。2x)()(limafufauAxfxxx)(lim)(0或 xfy)(af)()(lim0afxfxxAxfxxx)(lim)(0或au a)(lim)()(lim00 xfa fxfxxxx0 xx)()(lim00 xxxx uey)(0 xu xeyxxx101coslim )()(lim00 xfxfxx)(0 xu)()(lim0afxfxx2x),(xxuuy/1)1(,cos eu xy cosyfx10 x)cos(sin222xxx),(),()(xf)
39、,0()0,(xx/1)1cos(),(21sin2xxexfx),(21sin2xxexfx2x练习练习1:1:求求ealog解解:原式原式aln1.1lim0 xaxx,1 xat练习练习2:2:求求,)1(logtxa解解:令令)1(loglim0ttat则则aln原式原式,ea0 x说明说明:当当xex1 时时,有有2x2x2x2x)1(1)(lim1fx fx是由连续函数是由连续函数01sinlim202 xxexx)1,0(log aaxya在在上连续上连续 .y0 xxx)1(1)(lim1fx fx练习练习4 4：讨论讨论 的连续性的连续性)1(1)(lim1fx fx解：解：
40、),(,sin uuy因此因此)1(1)(lim1fx fx复合而成复合而成,),0()0,(x练习练习3 3 求求),0()0,(x解：解：0)0()(lim0 fxfx2x),(),(x),(2x)1,0(,xxy)()(lim00 xfxfxx axxx)(lim0例如例如,xy arcsin在在xyln上连续单调递增上连续单调递增,其反其反函数函数),0(在在 1,11,1上也连续单调递增上也连续单调递增.xy sin在在,22上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数.)1(loglim0 xxax在在xxax1)1(loglim0上也连续单调递增上也连续单调递增.又如又如,
41、2xyo1.1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义在其定义注意注意:2.2.初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法:1域内不一定连续域内不一定连续;xx定义区间。定义区间。2x内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数初等函数在定义区在定义区间内连续间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性。右连续性。作业：作业：2x
42、am2xtan;21,31,110,1)(xxxxxx f2M1b)(xfy 2x注意注意:间断点间断点,结论不一定成立。结论不一定成立。若函数在开区间上连续若函数在开区间上连续,或在闭区间内有或在闭区间内有例如例如,)1,0(aaayx无最大值和最小值无最大值和最小值 xtan;21,31,110,1)(xxxxxx f2yyyx0 xxyy也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如,2x,)(Mxfm BbfafA,bax 2x Cf),(ba,ba2x),(ba2x3CBa2xtan;21,31,110,1)(xxxxxx f1Ay1P3P2P)(xfy b2xaxtan;21,31
43、,110,1)(xxxxxx fyb)(xfy 2x 0f,ba),(ba2x2x13)(23 xxxf01323 xx2x)(.1xf2x内容小结内容小结在,),(ba上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值上可取最大与最小值之间的任何值;4.4.当当.0)(f时,ba使)(.2xf必存在必存在)(.3xf上有界上有界;在)(xf)(.3xf在)(.3xf2x2x1.1.任给一张面积为任给一张面积为A A的纸片的纸片(如图如图),),证明必可证明必可思考与练习：思考与练习：将它一刀剪为面积相等的两片将它一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图建立坐标系
44、如图.xy1nn)1(1,)(CS,0)(SAS)(则面积函数则面积函数,),(0因因.2)(0AS使故由介值定理可知故由介值定理可知:)(S,2,0)(aCxf,0 a2x.)()(aff,)()()(xfaxfx证明至少存证明至少存,0)(aCx使使0)()0(a提示提示:令令2x则则13xex易证易证1)(3xexxf2.2.设设在在一点一点证：证：13e至少有一个不超过至少有一个不超过4 4的正根的正根.3.3.证明证明令令)4(f连续连续,且且1434e003 e,)4,0(2x)4,0(根据零点定理根据零点定理,NoImage).0()3(2 xxox原命题得证。原命题得证。NoImage内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然f(x)在闭区间在闭区间0,4上上使使2x
