1、行列式与矩阵 Do not worry about tomorrow,for tomorrow will bring worries of its own.Todays trouble is enough for today.,2212221212211abxaaxaa 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a :212a,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x行列式的引入行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去
2、1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时时，当当021122211 aaaa方程组有唯一解为方程组有唯一解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 行列式的引入行列式的引入11122121122221xxxabaaabx121 12 11 11 22 1222aaaaaxabb当当112212210a aa a时时方程组有唯一解方程组有唯一解221211121221122aaa aa abxb112111211221222aaa aa abxb如果规定如果规定111211 2212212122aaa a
3、a aaa则有则有D1DD2DD1 22 21 1212222 121aabaaxaab行列式的引入行列式的引入121223835xxxx232 1 3 3731D 1838 1 5 3751D 2282 58 31435D 11227171427DxDDxD解解所以所以行列式行列式例三元线性方程组三元线性方程组111213212223313233aaaaaaaaaD 123121322233112113212321333123aaaaxxxxxxxxbaabaaxab121311131112122232211112223332332122313232333133aaaaaaDaaDaaDaa
4、bbbbbbaaaab abab123312,DDDxxDxDD定义：定义：0,D 若则有：线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式 111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa12120,(1)0,(1)nnbbbb bbLL当时，称为线性方程组当称不完全为 时，称为线齐次非齐次性方程组称为系数行列式称为系数行列式,(01)0DD线性方程组(1)有且仅有唯一解线性方程组非齐次齐次有非零解12121112121222221211nnnnnnnnnnxxxbbaaaaaaaaxaxxbxxxLLLLLL(1)二阶行列式定义二阶行列式定义11122122aaaa11221221a aa
5、 a 5132求二阶行列式的值解解:5 2(1)3 135132iijja行标列标例全排列全排列引例引例:用用1,2,3三个数字三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位可以组成多少个没有重复数字的三位数？数？这是一个大家熟知的问题，答案是：这是一个大家熟知的问题，答案是：3!=6。123132213231312321定义定义:把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列,叫做这叫做这 n 个元素的个元素的全排列全排列(或或排列排列)。n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所有排列的种数,通常用通常用 Pn 表示表示,称为称为排列数。排列数。Pn=n (n1)(n2)2 1=n!
6、排列的逆序和逆序数排列的逆序和逆序数定义：定义：在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中，若数中，若数 isit，则称这两则称这两个数组成一个个数组成一个逆序逆序。例如例如:排列排列32514 中，中，我们规定各元素之间有一个标准次序，以我们规定各元素之间有一个标准次序，以 n 个不同的自个不同的自然数为例然数为例,规定由小到大为标准次序。规定由小到大为标准次序。3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义:一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序数，记为逆序数，记为：1 2nN iiiL三级排列的逆序和逆序数三级排列的逆序和逆序数12n
7、N i ii逆序数为奇数称为奇排列，为0或偶数称为偶排列L排列排列逆序逆序逆序数逆序数排列的奇偶性排列的奇偶性123无无0偶排列偶排列132321奇排列奇排列213211奇排列奇排列23121，312偶排列偶排列31231，322偶排列偶排列32132，31，213奇排列奇排列排列的逆序和逆序数排列的逆序和逆序数123123123123231312312321132213123123a a aa a aa a aa a aa a aa a a1 2 31231 2 323)1(1Nj j jjjjj j ja aa111213212223313233aaaaaaaaa每一乘积项都是由每一乘积项
8、都是由n个元素组个元素组成，成，行标为自然排列，列标作行标为自然排列，列标作全排列，全排列，代数和共有代数和共有n!项项每一项的每一项的符号符号由列标由列标排列的排列的逆序数逆序数所决定所决定n个元素中任意两个元个元素中任意两个元素都位于不同行不同列素都位于不同行不同列三阶行列式三阶行列式 解：解：111213212223313233aaaaaaaaa112233132132132231112122333321221313a aa a aa a aa a aa a aa a aa1 2(2)(4)(2)4(4)2(3)1 1 422 1(3(2)(2).)14D 12-412-4计计算算三三阶
9、阶行行列列式式D-221D-221-34-2-34-2例三阶行列式三阶行列式1 2121 2()111121212221221()nnnnnnnN j jjjjnj jjnnjaaaaaaDaaaaaaLLLLLLLLLL 行列式表示的是一个数行列式表示的是一个数n阶行列式是由阶行列式是由n!项组成，且正号项和负号项组成，且正号项和负号项各项各占占一半一半一一阶行列式阶行列式|a|=a不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆1 2(1 2)nj jjnn表示对所有、的 级排列求和LLn阶行列式阶行列式 注：注：行列式的性质行列式的性质1.行列式转置后，其值不变。行列式转置后，其值不变。2.
10、互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式变号，行列式变号。推论：推论：如果行列式如果行列式D D有两行有两行(列列)相同，则相同，则D=0D=0。3.行列式的行列式的某一行某一行(列列)的所有元素都乘以同一数的所有元素都乘以同一数K K，等于用数，等于用数K K乘此行列式。乘此行列式。推论推论2 2：如果行列式如果行列式D D有有一行一行(列列)的元素全为零，则的元素全为零，则D=0D=0推论推论3 3：如果行列式如果行列式D D有两行（列）的元素对应成比例，则有两行（列）的元素对应成比例，则D=0D=0推论推论1 1：行列式中行列式中某一行（列）某一行（列）的元素的公因数可以提到行列
11、式符号的的元素的公因数可以提到行列式符号的 外面。外面。定义定义1 由 m n个数(1,2,;1,2,)ija im jnmn排成的行列的数表,称为 行 列的矩阵,简称 矩阵.记作:mnm n111212122212nnmmmnaaaaaaaaa()i jm nAa矩阵的定义矩阵的定义m行行n列列 矩阵是一个矩形的矩阵矩阵是一个矩形的矩阵“数表数表”，行列式是在一个方形数表，行列式是在一个方形数表中根据定义规则进行运算的代数式，结果是一个中根据定义规则进行运算的代数式，结果是一个数值数值。行列式行列式n行行n列列，矩阵，矩阵m行行n列列矩阵与行列式的区别矩阵与行列式的区别11121212221
12、2nnmmmnaaaaaaaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLMMML行列式行列式矩阵矩阵几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵 1.行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵 12(,)nAaaa12maaAa2.同型矩阵与矩阵的相等同型矩阵与矩阵的相等两个矩阵行数相等、列数也相等时，称为同型矩阵。如果矩阵 与矩阵 是同型矩阵，且它们的对应元素相等,即()ijAa()ijBb(1,2,;1,2,)ijijab im jn那么就称这两个矩阵相等.记作 AB3.零矩阵零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵.记作 m nOO注意：不同型的零矩阵是不同的.或4.方阵方阵行数与列数都等于 的矩阵
13、称为 阶矩阵或 阶方阵nnn111212122212 nnnnnnnaaaaaaAAaaan阶方阵()ijn nAa的元素 称为主对角线元素1122,nnaaa几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵 5.上上(下下)三角矩阵三角矩阵 11121222000nnnnaaaaaAa11212212000nnnnaaaAaaa6.对角矩阵对角矩阵 2121di0000=0ag(,0,)nn 几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵 7.单位矩阵单位矩阵 100010001nEE几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵的加法矩阵的加法 111112121121212222221122
14、nnnnmmmmmnmnababababababABababab()i jm nAa()i jm nBb1.定义定义 2.运算规律,()()ABBAABCABC注：只有同型矩阵才可以加减3.负矩阵负矩阵()ijAa()ijAa()AAO 4.矩阵的减法矩阵的减法()ABAB 例例1123153A013211BAOA153221111601021333AB013123116211153344BA矩阵的运算矩阵的运算 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法1.定义定义 数 与矩阵 的乘积记作 或 规定为AAA111212122212nnmmmnAAaaaaaaaaaA注：注：与 为同型矩阵A0AO2.运算规
15、律()()AA()AAA()ABAB135210A113001B设 求 2AB解解:135210A 2226002B1322112526012100212AB 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法例矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 1.定义定义()i jm sAa()i js nBb()mjniABCc1 1221si jijijissjikkjkca ba ba ba b(1,2,;1,2,)im jn其中、。1 1只只有有当当第第一一个个矩矩阵阵的的等等于于第第二二个个矩矩阵阵的的时时,两两个个矩矩阵阵数数行行数数才才能能相相乘乘列列注意注意:2 i jABciBj、。的的元元素素就就是是第第一一
16、个个矩矩阵阵的的第第 行行与与第第二二个个矩矩阵阵 的的第第 列列的的对对应应元元素素的的 乘乘积积和和 1011101,11212101010AB设 求 AB解解:记 ABC则 2 33 42 4ABC1112131421222324ccccCcccc设 111213141 1 0 1 1(1)01 00 1 1 001 1 0 2 1(1)01 1 0(1)1 01cccc 则:212223242 1 1 1 0(1)32 0 1 1 0 012 1 1 20(1)42 1 1(1)0 01cccc 00013141AB矩阵的乘法矩阵的乘法 例注：矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般来说 进
17、行矩阵乘法时,一定要注意乘的次序，不能随意改变 ABBA 设1(114),12AB 求 与 .ABBA解解:1 33 11 13 11 33 31(114)1(1 1(1)14 2)(8)211141(114)114.2228A BBA 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 例 设2 4 2 4,1236AB求 与 ABBA解解:2 4 2 41632 1236 8 16AB 2 42 40036 1200BA注意注意:ABO,AOBO或(),A XYOAXAYXYABBA矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 例2.运算规律(假定运算都是可行的):()()AB CA BC()()()ABA BAB(其
18、中为数)()A BCABAC(左分配律)()BC ABACA(右分配律),m nn sm ss mm ns nAOOOAOmm nm nnm nE AAEAnnnnnE AA EA矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 3.矩阵的幂 nA12,AA AAA1 kkkAAAAAAA个为正整数.k矩阵的幂满足下列运算规律:,()klk lklklA AAAA注注:一般来说()kkkABA B22222()2,()()ABAABBAB ABAB矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 线性方程组线性方程组 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba
19、 xaxaxb111212122212()nnijm nmmmnm naaaaaaAaaaa若设 121(),jmnxxxxxM121()jmmbbbbb则其矩阵形式为：A xb矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 例矩阵的转置矩阵的转置1.定义定义 111212122212()nnijm nmmmnm naaaaaaAaaaa112111222212()nnTjin mmmnmn maaaaaaAaaaa设称为矩阵A的转置矩阵。即把矩阵的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。A2.运算规律(假定运算都是可行的):2 412037235A如 T4 217220335ATT()AATTT()ABABTT
20、()AATTT()ABB A矩阵的转置矩阵的转置y21112,13234ABTAABT211312AT21211631313231412AAT63127531434618AAB解：解：.矩阵的转置矩阵的转置例3.定义定义 AnTAA设矩阵为阶方阵，如果满足即(,1,2,)i jjiaai jn那么A称为对称矩阵；如果满足TAA 即(,1,2,)i jjiaai jn 那么A称为反对称矩阵。注注：(1)对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等；(2)反对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为轴对应互为相反数，且主对角线元素全为零。矩阵的转置矩阵的转置方阵的行列式方阵的行列式()detn
21、AAAA由 阶方阵 的元素所构成的行列式 每个元素的位置不变，称为方阵 的行列式。记作或。1.定义定义 2.方阵的行列式满足的运算规律：方阵的行列式满足的运算规律：TAAnAAABA BBA3.奇异矩阵与非奇异矩阵奇异矩阵与非奇异矩阵 0AA当时，称 为奇异矩阵。0AA当时，称 为非奇异矩阵。逆矩阵逆矩阵 逆矩阵的定义及性质AnnBABBAEABA定义定义 设为阶方阵，若存在阶方阵，使，则称方阵可逆，称为的逆矩阵。注：注：-11111(1)(2)AAAAAAA AEABBAEABBAAB如果矩阵 是可逆矩阵，那么 的逆矩阵是惟一的。的逆矩阵记作，即满足的 与 互为逆矩阵，即，0101101001000011D1、计算行列式2-41D3-63-5104(1)2、若矩阵642012963103321230AB 试求AB和BA(2)
