1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第第3节节 柯西公式及其推论柯西公式及其推论柯西公式：设f(z)在以圆为边界的闭圆盘上解析，f(z)沿C的积分为零。考虑积分)0(|:|000rrzzCCdzzzzfI0)(则有：(1)被积函数在C上连续，积分I必然存在；（2）在上述闭圆盘上 不解析，I的值不一定为0，0)(zzzf柯西公式：因此，I的值只f(z)与在z0点附近的值有关。例如：由柯西定理，得.21)(iIzf 时，现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以z0 为心，以r为半径的圆Cr，rCCdzzzzfdzzzzf00)()(令，iezz0由于I的值只f(z)与在z0点附近的值有关，
2、与r无关，由f(z)在点z0的连续性，应该有柯西公式：),(20zifI即事实上，当r趋近于0时，有Cdzzzzfizf00)(21)(则有CidezfiI)(0柯西公式：由于由f(z)在点z0的连续性，所以)(0,00r使得当时，rCzr,0|)()(|0zfzfrCCdzzzzfzfzfdzzzzf0000)()()()(rrCCdzzzzfzfdzzzzf0000)()(1)(柯西公式：22|)()(|00rrdzzzzfzfrC因此即当r趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而idzzzrC210因此，结论成立。定理4.1(柯西公式)定理定理4.1 设D是以有限条简单闭曲线C为边
3、界的有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域 上解析，那么在内任一点z，有DCdzfizf)(21)(其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，我们称它为柯西公式。注解：注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。定理4.1的证明：证明：设 ，Dzzf)(在满足 的点 处解析。zD,以z为心，作一个包含在D内的圆盘，设其半径为r，边界为圆Cr。在 上，挖去以Cr为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域 。DD显然
4、函数定理4.1的证明：0C1C2CCz定理4.1的证明：其中，沿曲线C的积分是按关于D的正向取的，CCdzfdzf)()(沿Cr的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。解析，所以有在 上，的函数 以及D)(fzf)(定理4.2(高阶导数公式)：定理定理4.2 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域D,.)3,2,1()()(2!)(1)(ndzfinzfCnn)(21)(Cdzfizf上解析，那么f(z)在D内有任意阶导数高阶导数公式：证明：先证明结论关于n=1时成立。设Dhz是D内另一点。只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0)()(2 )(21)(
5、2112CCCdzfihdzfidhzfihCdzhzfih2)()(2Cdzfihzfhzf2)()(21)()(高阶导数公式：现在估计上式右边的积分。设以z为心，以2d为半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取z+h，使得0|h|d，那么当 时,|,|dhzdzD设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度是L，于是我们有因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。,2|)()(2|22dMLhdzhzfihC高阶导数公式：现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，结论成立。取z及z+h同上，那么有Ckkkdzfikhzfhzf2)()()()(2)!1()()(CkCkCkdzfikd
6、zfikdhzfikh211)()(2)!1()()(2!)()(2!1CkCkkkdzfikdzhzOhzkfihk2112)()(2)!1()()()1()(1()(2!高阶导数公式：)1()(1)()(1)(2)!1(21CkkhOdzzhzfik由此证明，当h趋近于0时，上式的右边趋于0，于是定理的结论当n=k+1时成立。系4.1：系4.1 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数。注解1、以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；注解2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；定理4.3：定理4.3 设函数f(z)在以)0
7、(|:|000zzC为边界的闭圆盘上解析，那么)1!0,.;2,1,0()(!|)(|0)(nMnzfnn其中).0(|)(|max)(0|0zfMzz定理4.3的证明：证明：令C是圆)0(|00 zz那么，由导数公式，有|)()(2!|)(|1)(Cnndzfinzf11)(!2)(2nnMnMn!其中，n=0,1,2,;0!=1。注解：注解1、上面的不等式称为柯西不等式。注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个整函数，例如zezz,cos,sin等。关于整函数，我们有下面重要的刘维尔定理刘维尔定理：定理4.4：有界整函数一定恒等常数证明：f(z)是有界整函数，即存在),0(M使得.|)(
8、|C,Mzfz),0(,C0zf(z)在上|0 zzz解析。由柯西公式，有/|)(|0Mzf令 ，可见0)(,C00zfz从而f(z)在C上恒等于常数。莫勒拉定理：5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，定理5.1 如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有0)(Cdzzf那么f(z)在区域D内解析。莫勒拉定理：证明：,C0z作以为z0心的圆盘.DK 在凸区域K内，函数f(z)连续，并且对于K内任何一个三角形的周界C，则可以证明f(z)在K内有原函数F(z)，即)()(zfzF于是F(z)在K内解析。由系4.1，f(z)在K内，在z0解析，从而有任意阶导数。又因为z0的任意性，结论成立。
