1、123确定性应变确定性应变变化规律可明确地用数学关系式来表述；变化规律可明确地用数学关系式来表述；非确定性应变非确定性应变变化规律不可明确地用数学关系式来表述。又称为变化规律不可明确地用数学关系式来表述。又称为随机应随机应变变。4 在实际分析中，相位角常不予考虑，并在实际分析中，相位角常不予考虑，并且谐波分量也只有有限个。此时可用图且谐波分量也只有有限个。此时可用图5-2所示的振幅所示的振幅频率图来表示。这种图也频率图来表示。这种图也称为称为频谱图频谱图，它直观表示复杂周期性应变，它直观表示复杂周期性应变波中各谐波分量的频率和振幅。由于谐波波中各谐波分量的频率和振幅。由于谐波分量只在分散的特定
2、频率上出现，所以这分量只在分散的特定频率上出现，所以这种频谱图又称为种频谱图又称为离散谱离散谱。复杂的周期性应变可用富里叶级数复杂的周期性应变可用富里叶级数表示为表示为)2cos()(110nnntnft(5-1)即把复杂周期形式变函数看作由静态分量和无限多个谐波分量所组成。即把复杂周期形式变函数看作由静态分量和无限多个谐波分量所组成。0静态分量；静态分量；n、nn次谐波分量的振幅和相位角；次谐波分量的振幅和相位角；f1基频，基频，nf1n次谐次谐波频率。波频率。5 周期性振动应变的合成振动应变是非周期性的。这样的非周期性应变也称为准周期性振动应变的合成振动应变是非周期性的。这样的非周期性应变
3、也称为准周期性应变。它的功率谱也是离散的，但谐波分布是无规律的。周期性应变。它的功率谱也是离散的，但谐波分布是无规律的。结构受到非周期性突加载荷、碰撞等，结构受到非周期性突加载荷、碰撞等，在结构中所引起的应变都是非周期瞬变性在结构中所引起的应变都是非周期瞬变性应变，也称应变，也称冲击应变冲击应变。瞬变信号通常含有。瞬变信号通常含有从零到无穷大连续分布的频率成分，其时从零到无穷大连续分布的频率成分，其时变函数是用富里叶积分表示的，频谱不再变函数是用富里叶积分表示的，频谱不再是离散谱，而是是离散谱，而是连续谱连续谱。6应变的时间历程无法用确定的数学关系来表示，这种性质的应变称为应变的时间历程无法用
4、确定的数学关系来表示，这种性质的应变称为随机性随机性应变应变。这种应变可用概率统计的方法来描述和研究。这种应变可用概率统计的方法来描述和研究。关于动应变的测量，若是确定性应变，要注意估计应变变化规律所包含的频谱关于动应变的测量，若是确定性应变，要注意估计应变变化规律所包含的频谱内容，选择适用其频率范围的测试记录仪器，力求能真实记录应变变化规律，然内容，选择适用其频率范围的测试记录仪器，力求能真实记录应变变化规律，然后进行频谱分析，研究各谐波分量的频率和振幅，以便对结构强度进行分析；而后进行频谱分析，研究各谐波分量的频率和振幅，以便对结构强度进行分析；而对于随机应变，频率范围较广，要选用频响范围
5、足够宽的测量记录仪器，并进行对于随机应变，频率范围较广，要选用频响范围足够宽的测量记录仪器，并进行必要的大量重复试验，根据统计分析结果研究结构强度问题。必要的大量重复试验，根据统计分析结果研究结构强度问题。7 应变计对应变相应时间大约为应变计对应变相应时间大约为0.2s，可认为是立即相应的。但若应变变化频，可认为是立即相应的。但若应变变化频率很高，需要考虑应变计对构件应变的响应问题即应变计在某瞬时的响应能否代率很高，需要考虑应变计对构件应变的响应问题即应变计在某瞬时的响应能否代表敏感删中点在该瞬时的实际应变值。表敏感删中点在该瞬时的实际应变值。设构件表面设构件表面A点处贴一应变计，其栅长为点处
6、贴一应变计，其栅长为L，应变按正弦规律变化，且沿应变，应变按正弦规律变化，且沿应变计的纵向传播，波长为计的纵向传播，波长为。设曲线表达式为。设曲线表达式为xm2sin(a)则应变计栅长中点则应变计栅长中点A的真实应变为的真实应变为AmAx2sin(b)而而A点应变的测量值点应变的测量值A等于在应变计栅长范围内的平均应变，即等于在应变计栅长范围内的平均应变，即8LxLxdxLAmLxLxmAAAsin2sin2sin12/2/令令=L/，则，则sin2sinAmAx比较式（比较式（b）与（）与（c），得相对误差，得相对误差 sin1AAA(d)(c)fvvT v应变波在构件材料中的传播速度；应变
7、波在构件材料中的传播速度；T应变变化周期；应变变化周期；f应变变化频率。应变变化频率。由物理学由物理学 61sin2当当L0,cn=(an-ibn)/2；n0,cn=(an+ibn)/2。17由式（由式（5-4）(注意这里注意这里n为任意整数为任意整数)，得，得dtetyTcTTtinn2/2/1)(1(5-8)cn信号信号(t)的复数频谱分量。的复数频谱分量。将将cn除以除以，注意，注意=1=2/T，由式（，由式（5-8），可得），可得2/2/2/2/)(21)(211TTtiTTtinndtetydtetycn 当当T时，时，=10，相邻谐波频率无限接近，信号的频谱将由离散的线谱，相邻谐波
8、频率无限接近，信号的频谱将由离散的线谱变为无限密集的连续谱。用连续变量变为无限密集的连续谱。用连续变量代替上式中的离散代替上式中的离散n，并用符号，并用符号Y()表示表示这一结果，即这一结果，即dtetyYti)(21clim)(nT(5-9)Y()瞬态应变信号瞬态应变信号y(t)的频谱密度。的频谱密度。18 另一方面，当另一方面，当T时，时，1=可用可用d代替，式（代替，式（5-7）右端）右端deYecectitinntinnn)(1即由式（即由式（5-7）所表达的求和运算将变为积分运算。因此，可将瞬态应变表示为）所表达的求和运算将变为积分运算。因此，可将瞬态应变表示为deYtyti)()(
9、即瞬态信号的时间历程可用富里叶积分形式来表示。即瞬态信号的时间历程可用富里叶积分形式来表示。(5-10)y(t)和和Y()称为富里叶变换对。称为富里叶变换对。Y()称为称为y(t)的富里叶积分变换，的富里叶积分变换，y(t)称为称为Y()的富里叶积分逆变换。的富里叶积分逆变换。由于由于=2f，同理可得与式（，同理可得与式（5-9）和（）和（5-10）类似的富里叶变换对）类似的富里叶变换对dtetyfFift2)()(5-11)dfefYtyift2)()(F(f)为为y(t)的频率谱密度函数，它们完全为一种对偶关系。的频率谱密度函数，它们完全为一种对偶关系。(5-12)19式（式（5-9）和（
10、）和（5-11）为时间范围从）为时间范围从-到到的无限富里叶变换。而对于实测记录的无限富里叶变换。而对于实测记录曲线，计算只是在有限的时间区间曲线，计算只是在有限的时间区间0到到T内进行，此时的富里叶变换为有限富里叶内进行，此时的富里叶变换为有限富里叶变换。有限富里叶变换的定义为变换。有限富里叶变换的定义为TiftdtetyTfF02)(),(F(f,T)有限富里叶变换的频率谱密度函数。有限富里叶变换的频率谱密度函数。T为瞬变信号所在的时间范围。进为瞬变信号所在的时间范围。进行数值计算时，先用与上节相同的方法将信号的时间历程离散化行数值计算时，先用与上节相同的方法将信号的时间历程离散化,获得采
11、样数据获得采样数据yk=y(tk)（k=0、1、2、N-1）。设采样时间间隔为）。设采样时间间隔为t，则通过计算能够得到，则通过计算能够得到相应离散频率为相应离散频率为)1,2,1,0(NjtNjfj(5-13)N=T/t离散数据个数。这样，信号在频率离散数据个数。这样，信号在频率fj处的频谱密度可用有限富里叶积处的频谱密度可用有限富里叶积分的离散化公式计算分的离散化公式计算)1,2,1,0(),(10/2 NjteyTfFNkNijkkj(5-14)它与频率间隔它与频率间隔f=1/（Nt）的乘积称为为频率）的乘积称为为频率fj处的频谱分量处的频谱分量(h)NjktktNjtkfftj注：20
12、)1,2,1,0(1),()(10/2 NjeyNfTfFfYNkNijkkjj(5-15)即频谱分量即频谱分量Y(fj)为离散数据为离散数据yk的有限离散富里叶变换。同样可知数据的有限离散富里叶变换。同样可知数据yk=y(tk)为频为频谱分量谱分量Y(fj)的有限离散富里叶变换，并且有的有限离散富里叶变换，并且有)1,2,1,0()()(10/2 NkefYtyNjNijkjk(5-16)它与周期信号的富里叶级数（它与周期信号的富里叶级数（5-7）在形式上一致，尽管周期信号与瞬变信号在理）在形式上一致，尽管周期信号与瞬变信号在理论上是不同的，然而用离散方法进行频谱计算时，却有着相同的形式。论
13、上是不同的，然而用离散方法进行频谱计算时，却有着相同的形式。用离散方法进行计算时，为了确定一个简谐信号的频率，至少应在它的一个周期用离散方法进行计算时，为了确定一个简谐信号的频率，至少应在它的一个周期内取两个离散值。设要求通过计算能够分辨的最高频率为内取两个离散值。设要求通过计算能够分辨的最高频率为fN，则采样的时间间隔应，则采样的时间间隔应该取为该取为t=1/（2f N）。这时）。这时N为偶数，并且由式（为偶数，并且由式（h）知，能正确反映信号频率成）知，能正确反映信号频率成分的离散频率值最多有分的离散频率值最多有N/2个，按式（个，按式（5-14）或（）或（5-15）计算信号的频谱时，只能
14、）计算信号的频谱时，只能取取j=0,1,2,（N2）-1。注意：对于瞬变信号，所谓的频谱分量或谐波分量，只有计算上的意义。注意：对于瞬变信号，所谓的频谱分量或谐波分量，只有计算上的意义。21对于随机信号的研究，采用数理统计的方法。对于随机信号的研究，采用数理统计的方法。随机信号的单个时间历程称为随机信号的单个时间历程称为样本函数样本函数；在有限时间内获得的随机信号称为；在有限时间内获得的随机信号称为样本样本记录记录；全部可能的样本函数的总体称为；全部可能的样本函数的总体称为随机过程随机过程。研究一个随机过程，需要大量的。研究一个随机过程，需要大量的样本函数或样本记录。样本函数或样本记录。一个随
15、机过程可用四种主要统计特性来描述，即一个随机过程可用四种主要统计特性来描述，即均方值均方值、概率密度函数概率密度函数、自相关自相关函数函数和和功率谱密度函数功率谱密度函数。如果随机过程的统计特性与时间无关，称之为如果随机过程的统计特性与时间无关，称之为平稳随机过程平稳随机过程；研究平稳随机过程，；研究平稳随机过程，只需要在某一时刻，对总体取平均值。只需要在某一时刻，对总体取平均值。在计算随机过程统计特性时，如果对整体取平均值和在某一样本中对时间取平均在计算随机过程统计特性时，如果对整体取平均值和在某一样本中对时间取平均值的效果相同，则称这种随机过程为值的效果相同，则称这种随机过程为各态历经随机
16、过程各态历经随机过程。各态历经随机过程的统计。各态历经随机过程的统计特性可从单个样本函数中得到，它可以使试验和分析工作大大简化。特性可从单个样本函数中得到，它可以使试验和分析工作大大简化。工程实际中的多数随机过程都可认为是平稳的、同时又是各态历经的。统计计算，工程实际中的多数随机过程都可认为是平稳的、同时又是各态历经的。统计计算，可根据信号的单个样本函数或单个样本记录来进行。可根据信号的单个样本函数或单个样本记录来进行。22随机信号的随机信号的均值均值用以描述信号的静态分量。定义为用以描述信号的静态分量。定义为TTdttyTyE0)(1lim)(5-17)y 的均值定义为的均值定义为均方值均方
17、值TTdttyTyE0222)(1lim)(5-18)均方值的算术平方根均方值的算术平方根称为称为均方根值均方根值。y对对的偏差的平方的均值称为的偏差的平方的均值称为方差方差TTdtyEtyTyEyE0222)()(1lim)(方差的算术平方根方差的算术平方根称为称为标准差标准差，它用来描述信号的动态分量，反映信号在均值，它用来描述信号的动态分量，反映信号在均值附近的分散程度。附近的分散程度。(5-19)均值、均方差与方差之间的关系为均值、均方差与方差之间的关系为222(5-23)23 随机信号的瞬时值落在某指定区间内的频数与该区间长度之比在区间长度趋于随机信号的瞬时值落在某指定区间内的频数与
18、该区间长度之比在区间长度趋于无穷小时的极限，定义为随机信号的幅值概率密度，即无穷小时的极限，定义为随机信号的幅值概率密度，即yyytyyPypy)(lim)(0其计算方法：在时间历程曲线上截取幅值区间其计算方法：在时间历程曲线上截取幅值区间(y,y+y)，测量曲线被截在此区间，测量曲线被截在此区间内各段的时间间隔内各段的时间间隔t，设其总和为，设其总和为Ty=t,则信号瞬时值出现在区间则信号瞬时值出现在区间(y,y+y)内内的概率为的概率为TTyytyyPyTlim)(因而幅值概率密度为因而幅值概率密度为TTyypyTylim1lim)(0（5-25）概率密度函数为实值非负函数。实践概率密度函
19、数为实值非负函数。实践表明，工程中的大量随机信号表明，工程中的大量随机信号y(t)服服从或近似服从正态分布，概率密度函从或近似服从正态分布，概率密度函数为数为222)(21)(yeyp(5-24)24 自相关函数用来描述信号在一个时刻自相关函数用来描述信号在一个时刻t的值与另一时刻的值与另一时刻t+的值之间的相互关系。的值之间的相互关系。其定义为其定义为TTdttytyTR0)()(1lim)(5-26)自相关函数是时间位移自相关函数是时间位移的函数，它恒为偶函数。在的函数，它恒为偶函数。在=0时有最大值，且等于均时有最大值，且等于均方值，即方值，即=R(0)；在；在足够大时，足够大时，R()
20、趋于趋于0。自相关函数的计算如图所示，给。自相关函数的计算如图所示，给定一个时间位移定一个时间位移，通过采样计算式（，通过采样计算式（5-26）的数值积分。自相关函数的变化曲）的数值积分。自相关函数的变化曲线如图线如图5-15所示。所示。通过计算自相关函数的值，可检验样本记录长度是否适宜，这只要不断增加通过计算自相关函数的值，可检验样本记录长度是否适宜，这只要不断增加值来计算值来计算R()，如果随，如果随的增大，的增大，R()0，就说明由该样本获得的数据足以代表，就说明由该样本获得的数据足以代表随机信号数据的整体。随机信号数据的整体。25 在工程实际中，研究信号的能量或功率要比研究信号的幅值更
21、为重要。信号的在工程实际中，研究信号的能量或功率要比研究信号的幅值更为重要。信号的能量与幅值的平方成正比，所以在幅值为随机的情况下，应考虑信号的均方值。能量与幅值的平方成正比，所以在幅值为随机的情况下，应考虑信号的均方值。随机信号的均方值是对全部随机信号的均方值是对全部“谐波谐波”分量而言的，如果我们仅对在分量而言的，如果我们仅对在f到到f+f范围内范围内的谐波成分感兴趣，可用具有精确截断特性的带通滤波器对样本记录进行滤波，的谐波成分感兴趣，可用具有精确截断特性的带通滤波器对样本记录进行滤波，然后计算滤波器输出量之平方的平均值即可做到这一点。在记录时间然后计算滤波器输出量之平方的平均值即可做到
22、这一点。在记录时间T时，这时，这一平均值就是在该频率范围内的均方值，记作一平均值就是在该频率范围内的均方值，记作TffTffdttyT02,2,)(1limyf,f（t）表示）表示y(t)在在f到到f+f频率范围内的部分。当频率范围内的部分。当f0时，上式所表示的均方值与时，上式所表示的均方值与f之比的极限，定义为随机信号之比的极限，定义为随机信号y(t)的的功率谱密度函数功率谱密度函数，用，用G(f)表示，即表示，即TffTffffdttyfTffG02,02,0)(1limlim)(5-28)(5-27)功率普密度函数功率普密度函数G(f)为实值非负函数。以频率为实值非负函数。以频率f为横
23、坐标，为横坐标，G(f)为纵坐标，所得曲线为纵坐标，所得曲线称为功率谱密度函数曲线（或功率谱图）。它表示随机信号的能量在频率域上的分称为功率谱密度函数曲线（或功率谱图）。它表示随机信号的能量在频率域上的分配情况，如图配情况，如图5-15所示。所示。26 式（式（5-28）所定义的功率普密度函数，其频率变化范围是）所定义的功率普密度函数，其频率变化范围是0+，因此称为，因此称为单边单边功率普密度功率普密度。相应地，在理论意义上，还有。相应地，在理论意义上，还有双边功率普密度双边功率普密度的概念，频率变化范围的概念，频率变化范围定义为从定义为从-到到+，双边功率谱密度函数用符号，双边功率谱密度函数用符号S(f)表示，它是实值非负函数，在表示，它是实值非负函数，在f0的一边有的一边有)(21)(fGfS 这种关系如图这种关系如图5-17所示。所示。由这种图可了解随机信号的能量主要由哪些频段内的由这种图可了解随机信号的能量主要由哪些频段内的“谐波谐波”所产生。所产生。27fefSReRfSfifid)()(d)()(22因此，对于单边功率谱密度函数，有因此，对于单边功率谱密度函数，有fefGReRfGfifid)()(d)(2)(022（5-29）（5-30）理论分析表明，双边功率谱函数理论分析表明，双边功率谱函数S(f)与自相关函数与自相关函数R()互为富里叶变换，即互为富里叶变换，即
