1、第五章第五章 控制系统的李雅普控制系统的李雅普诺夫稳定性分析诺夫稳定性分析外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性1.1.外部稳定性外部稳定性 定义定义：称一个因果系统为外部稳定，如果对任意一个：称一个因果系统为外部稳定，如果对任意一个有界输入有界输入u(t),),即满足即满足的一个任意输入的一个任意输入u(t),),对应的输出对应的输出y(t)均为有界，即有均为有界，即有注注：外部稳定性也常称为：外部稳定性也常称为有界输入有界输入-有界输出稳定性有界输出稳定性，简称，简称BIBOBIBO稳定性稳定性。0(),)u ttt 0(),)y ttt 外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性
2、2.2.内部稳定性内部稳定性 定义定义：考虑连续时间线性系统（：考虑连续时间线性系统（u（t)0)0)称其在称其在t0 0时刻内部稳定，如果有时刻时刻内部稳定，如果有时刻t0 0任意非零初始状态任意非零初始状态x(t0 0)=)=x0 0引起的零输入状态响应引起的零输入状态响应x0u0u(t)有界；并满足渐近属有界；并满足渐近属性，即成立性，即成立 .000(),(),xA txx txtt0lim()0utxt注注：内部稳定性意指自治系统状态运动的稳定性，其实质：内部稳定性意指自治系统状态运动的稳定性，其实质等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定性。等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定性。外部稳定性和
3、内部稳定性外部稳定性和内部稳定性 结论结论1 1：对于连续时间时变系统在时刻：对于连续时间时变系统在时刻t0 0具有内部稳定具有内部稳定性，当且仅当状态转移矩阵性，当且仅当状态转移矩阵（t,t0 0)对所有的时间对所有的时间t t有界，有界，且满足渐近属性且满足渐近属性0lim(,)0tt t 结论结论2 2：对线性定常系统：对线性定常系统其在时刻其在时刻t0t0具有内部稳定性即渐近稳定性的充要条件是：具有内部稳定性即渐近稳定性的充要条件是：系统矩阵系统矩阵A A的所有特征值均具有负实部。的所有特征值均具有负实部。000,(),xAx x txtt5.2 5.2 李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性
4、性理理论论 基于输入基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特输出描述法描述的是系统的外部特性性,因此因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出经典控制理论中的稳定性一般指输出(外外部部)稳定性稳定性;状态空间描述法不仅描述了系统的外状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性部特性,且全面揭示了系统的内部特性且全面揭示了系统的内部特性,因此因此,借助借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态态(内部内部)稳定性。稳定性。李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法方法,即即李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法和和
5、李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法。5.2 5.2 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论 李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或简称李氏第一法或间接法间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对控制理论一致。对线性定常系统线性定常系统,只需解出只需解出全部特全部特征根征根即可判断稳定性即可判断稳定性;对对非线性系统非线性系统,则采用微偏线则采用微偏线性化的方法处理性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一即通过分析非线性微分
6、方程的一次次线性近似线性近似方程来判断稳定性方程来判断稳定性,故只能判断在平衡故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。状态附近很小范围的稳定性。5.2.15.2.1 李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第一方法 考察非线性系统，设在零输入下的状态方考察非线性系统，设在零输入下的状态方程为程为其中，其中，x为为n维状态向量，维状态向量，f(x)为为n维非线性向量维非线性向量函数，且它对状态变量函数，且它对状态变量xi，(i=1,2,n)是连续是连续可微的。可微的。(,)xf x tyyGAyy)()(exyf将将 在原点展开得在原点展开得 ，01111ynnnnyfyfyfyfA1111ennnnx
7、xffxxffxx)()(2yoyGex)(xfx 设设 ，为孤立平衡点。为孤立平衡点。exxy（1）平衡点平移：令平衡点平移：令)(exyfy则则定理定理5.2.15.2.1如果如果 ,则则 渐近稳定，渐近稳定，Re()0AAyy(2)(2)近似线性化：近似线性化：如果存在如果存在 ，则，则 不稳定；不稳定；exRe()0Aex()G y来决定。来决定。exRe()0A如如 ，则，则 的稳定性由高阶导的稳定性由高阶导数项数项,sin02110221ubxaxaxxx0010aa例例5.2.15.2.1 已知非线性系统已知非线性系统其中其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。常数，试分析其平衡状
8、态的稳定性。uU,2,1,0k20exkUabxe2arcsin001知系统有平衡点知系统有平衡点2011200sin0 xaxa xbU解解:求平衡状态：由求平衡状态：由0k 下面仅对下面仅对 情况进行研究，其它情况类似情况进行研究，其它情况类似1111ennnnx xffxxAffxx 11010aconxae计算计算2410211econxaaa01012econxaaIA由特征方程由特征方程得：得：ex1cos0ex 当当 时，系统在时，系统在 渐近稳定；渐近稳定；2111011111(4cos)()022eaaaxaa1cos0ex时，ex系统在系统在 不稳定不稳定;如果如果 ,其稳
9、定性靠一次近似不能判断。其稳定性靠一次近似不能判断。0cos1ex010,0,aa设设 则则5.2.2 5.2.2 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或（简称李氏第二法或直接法直接法）的特点是的特点是不必求解系统的微分方程式不必求解系统的微分方程式,就可以对系就可以对系统的稳定性进行分析判断统的稳定性进行分析判断.该方法建立在该方法建立在能量观点能量观点的基础上的基础上:若系统的某个平衡状态是渐近稳定的若系统的某个平衡状态是渐近稳定的,则则随着系统的运动随着系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不其储存的能量将随时间增长而不断衰减断衰减,直至
10、直至t 时系统运动趋于平衡状态而能量时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值趋于极小值.由此由此,李亚普诺夫创立了一个可模拟系李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的统能量的“广义能量广义能量”函数函数,根据这个标量函数的根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性性质来判断系统的稳定性.由于该方法不必求解系统的微分方程就能由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性直接判断其稳定性,故又称为直接法故又称为直接法,其最大优其最大优点在于点在于对任何复杂系统都适用对任何复杂系统都适用,而对于运动方而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定
11、性分析系统的稳定性分析,则更能显示出优越性。则更能显示出优越性。(,),(0,)0 xf x tftt定理定理5.2.25.2.2 假设系统的状态方程为假设系统的状态方程为(,)V x t如果存在一个具有连续偏导数的标量函数如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：并且满足条件：(,)V x t1 1）是是正定正定的；的；(,)V x t2 2）是是负定负定的。的。那么系统在原点处的平衡状态是那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定一致渐近稳定的。的。(,)V x t ,x 如果随着如果随着有有则在原点处的平衡则在原点处的平衡 状态状态是是大范围渐近稳定的大范围渐近稳定的。(,),(0
12、,)0 xf x tftt定理定理5.2.25.2.2 假设系统的状态方程为假设系统的状态方程为(,)V x t如果存在一个具有连续偏导数的标量函数如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：并且满足条件：(,)V x t1 1）是是正定正定的；的；(,)V x t2 2）是是半负定半负定的。的。那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。(,)V x t ,x 如果随着如果随着有有则在原点处的平衡则在原点处的平衡 状态状态是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。3 3）对任意的对任意的t0 0和任意的和任意的x0 00,0,在在tt0 0时不
13、恒等于零。时不恒等于零。00(;,),)Vt x tt其中其中 表示系统在表示系统在t0时从时从x0出发出发在在t时刻达到的状态解。时刻达到的状态解。00(;,)t x t(,)0;V x t(,)0V x t 定理定理5.2.45.2.4 如果如果则原点则原点不稳定不稳定(,)0;V x t(,)0V x t 0t定理定理5.2.35.2.3 如果如果并且对于任意并且对于任意00,x 和和则系统在则系统在原点原点一致稳定一致稳定.原点处是大范围渐近稳定的原点处是大范围渐近稳定的222112212()222()0V xx xx xxx 0ex 解解:显然，原点显然，原点 是唯一平衡点，是唯一平
14、衡点，2212()0V xxx取取 ，则，则()V x x 又因为当又因为当时，有时，有所以系统在所以系统在22121122221212()()xxx xxxxx xx 例例5.2.2 5.2.2 已知系统已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。0ex 解解:系统具有唯一的平衡点系统具有唯一的平衡点2212()0V xxx 取取 222112212()222()0V xx xx xxx 则则()V x因为除原点处外，因为除原点处外，不会恒等于零。不会恒等于零。()V x x 当当时，时，所以系统在其原点所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。处大范围渐近稳定
15、。2112221212()()xxxxxxxx x 例例5.2.3 5.2.3 已知系统已知系统试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。22112212()222()0W xx xx xxx2212()0W xxx0,ex 解解:系统具有唯一的平衡点系统具有唯一的平衡点取取则则于是知系统在原点处不稳定。于是知系统在原点处不稳定。112212xxxxxx 例例5.2.4 5.2.4 系统的状态方程为系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。试确定系统在其平衡状态的稳定性。1 1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是不是唯
16、一唯一的。的。2 2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。性的信息。3 3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。4 4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳定性方面的任何结论。出该系统稳定性方面的任何结论。5.2.3 5.2.3 几点说明几点说明5 5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状平衡状态态的稳定性。的稳定性。6 6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。的。
