1、5.2 传递函数的频率辨识传递函数的频率辨识5.2 传递函数的频率辨识传递函数的频率辨识 频率特性是描述动态系统的非参数模型，可通频率特性是描述动态系统的非参数模型，可通过实验方法测取。本节讨论在频率特性的已经测过实验方法测取。本节讨论在频率特性的已经测取的情况下，求系统传递函数的方法。取的情况下，求系统传递函数的方法。被控对象用频率特性描述时，一般表达式为被控对象用频率特性描述时，一般表达式为式中式中 是辨识对象输出量的拉式变换，是辨识对象输出量的拉式变换，是是辨识对象输入量的拉式变换。辨识对象输入量的拉式变换。sjY sYjG jU sUj Y s U s5.2.1 5.2.1 利用利用B
2、ode图特性求传递函数图特性求传递函数 如果实验测得了系统的频率响应数据，则可按如果实验测得了系统的频率响应数据，则可按频率特性作出对数频率特性曲线，从而求得传递频率特性作出对数频率特性曲线，从而求得传递函数。最小相位系统通常可以用以下式来描述：函数。最小相位系统通常可以用以下式来描述：其中其中 和和 是一阶微分环节和惯性环节的时间常数，是一阶微分环节和惯性环节的时间常数，和和 是二阶微分环节和振荡环节的阻尼比，是二阶微分环节和振荡环节的阻尼比，和和 是二阶微分环节和振荡环节的时间常数。是二阶微分环节和振荡环节的时间常数。2211122122131442121121pqiiiiiinrliii
3、iiiKT sT sTsG ssT sT sTs1iT3iT1i2i2iT4iT 通过实验测定系统的频率响应之后，就通过实验测定系统的频率响应之后，就可以利用表可以利用表1 中各种基本环节频率特性的渐中各种基本环节频率特性的渐进特性，获得相应的基本环节特性，从而进特性，获得相应的基本环节特性，从而得到传递函数。具体方法是用一些斜率为得到传递函数。具体方法是用一些斜率为0，的直线来逼的直线来逼近幅频特性，并设法找到频率拐点，就可近幅频特性，并设法找到频率拐点，就可以求式以求式 的传递函数。的传递函数。40dB/dec.20dB/dec.以表以表1的第三行为例，的第三行为例，如果低频下幅频如果低频
4、下幅频和相频分别为和相频分别为0dB 和和0度度，高频下幅频和，高频下幅频和相频分别为相频分别为 20dB和和90度度，且相频为，且相频为45度度 时，幅频为时，幅频为 3dB，则说明基本环节为，则说明基本环节为 Ts+1，且且T 可由可由 求得。求得。1/T表表1 基本环节频率基本环节频率响应响应渐进特性渐进特性 被测对象按最小相位系统处理，得到的被测对象按最小相位系统处理，得到的传递函数是传递函数是 G(s)，如果所求得，如果所求得G(s)的相角的相角与实验结果不符，且两者相差一个恒定的与实验结果不符，且两者相差一个恒定的角频变化率，则说明被控对象包含延迟环角频变化率，则说明被控对象包含延
5、迟环节。若被控对象传递函数为节。若被控对象传递函数为 ，则，则有有 esG s limejdG sd 因此，根据频率因此，根据频率 趋于无穷时实验所得趋于无穷时实验所得相频特性的相角变化率，即可确定延迟环相频特性的相角变化率，即可确定延迟环节的延迟时间节的延迟时间。但在高频时相频特性的实。但在高频时相频特性的实验数据难以测量，所以工程上采用下列方验数据难以测量，所以工程上采用下列方法确定系统的纯延迟。法确定系统的纯延迟。如图如图1所示，图中实线为实验得到的对数相频曲所示，图中实线为实验得到的对数相频曲线，虚线为拟合的传递函数线，虚线为拟合的传递函数 所决定的对数相所决定的对数相频特性。如果虚线
6、和实线很接近，则系统不含延频特性。如果虚线和实线很接近，则系统不含延迟环节。如果虚线和实线相差较多，则系统存在迟环节。如果虚线和实线相差较多，则系统存在纯延迟。选取若干个频率纯延迟。选取若干个频率 ，对，对应于每一个应于每一个 可找出其实测曲线与拟合曲线的可找出其实测曲线与拟合曲线的相差角相差角 ，于是，于是再求平均值得再求平均值得，即可作为系统的纯延迟即可作为系统的纯延迟。1,2,kknkkkk ,1,2,kkkkkkkn 121nn Gs图图1 对数频率特性曲线对数频率特性曲线例例 设一个系统的实验频率响应曲线如图设一个系统的实验频率响应曲线如图2所示，试确定系统所示，试确定系统的传递函数
7、。的传递函数。图图2 被测试系统的对数相频特性曲线被测试系统的对数相频特性曲线（1）根据近似对数幅频曲线低频下的斜率）根据近似对数幅频曲线低频下的斜率为为 ，则由表，则由表1可知被测对象包含一可知被测对象包含一个积分环节个积分环节 。（2）近似对数）近似对数幅频曲线有幅频曲线有3个转折频率，即个转折频率，即0.1rad/sec,1 rad/sec和和10 rad/sec，按转折频率，按转折频率处的斜率变化和转折频率处的斜率变化和转折频率10rad/sec附近的谐振附近的谐振峰值峰值来确定传递函数的阻尼比和时间常数。来确定传递函数的阻尼比和时间常数。20dB/dec.1nsn 1212120.1
8、,1,1011110,1.0,0.10TTT 则可写出被测系统的传递函数为则可写出被测系统的传递函数为 2110111010K sG sssss对应标准形式 由于2/1%e由图可以计算出超调量为由图可以计算出超调量为16%，由公式，由公式 ,则则0.5（3）根据）根据 时时，幅频为，幅频为 60dB，即，即，则可得则可得 则被测系统的比例环节可近似为则被测系统的比例环节可近似为 K=10。通过。通过以上分析，可得实际模型的传递函数为以上分析，可得实际模型的传递函数为0.010.0120lg60G j20.01120lg600.010.010.01 0.1111010Kjjjj 21011011
9、1010sG sssss 上式只是根据幅频特性得出的传递函数，因此上式只是根据幅频特性得出的传递函数，因此只是试探性的，根据该传递函数，可得到相应的只是试探性的，根据该传递函数，可得到相应的相频特性曲线，如图相频特性曲线，如图2所示，由该图可见，所示，由该图可见，渐进曲渐进曲线与实验所得的实际相频曲线不符，在线与实验所得的实际相频曲线不符，在=1时，时，实验曲线与实验曲线与 之差约之差约-5度度，而在，而在=10 时，实验时，实验曲线与曲线与 之差约之差约-60度度，这说明实际传递函数包，这说明实际传递函数包含延迟环节，考虑含延迟环节，考虑 与实验曲线的相与实验曲线的相频特性相符，则被测系统的
10、传递函数可修正为频特性相符，则被测系统的传递函数可修正为GG,0.1sG s e 0.12101 e10111010ssG sssss2012212.G()1.nnmmsssssss ,1,2,iiN,iiP QiiiHPjQ5.2.2 利用利用MATLAB工具求系统传递函数工具求系统传递函数对连续系统传递函数对连续系统传递函数给定离散频率采样点给定离散频率采样点假定已测试出系统的频率响应数据假定已测试出系统的频率响应数据。在在MATLAB信号处理工具箱中，给出了一个辨识系统传递信号处理工具箱中，给出了一个辨识系统传递函数模型的函数函数模型的函数invfreqs()，该函数的调用格式是，该函数
11、的调用格式是B,A=invfreqs(H,W,n,m)其中其中W为由离散频率点构成的向量，为由离散频率点构成的向量，n和和m为待辨识系统为待辨识系统的分子和分母阶次，的分子和分母阶次，H为为复数向量，其实部和虚部为辨识为为复数向量，其实部和虚部为辨识时用到的实部和虚部。返回的时用到的实部和虚部。返回的B和和A分别为辨识出的传递函分别为辨识出的传递函数的分子和分母的系数向量。数的分子和分母的系数向量。通过通过A和和B可得到传递函数。可得到传递函数。函数invfreqs()的Matlab解释：help invfreqs INVFREQS Analog filter least squares fi
12、t to frequency response data.B,A=INVFREQS(H,W,nb,na)gives real numerator and denominator coefficients B and A of orders nb and na respectively,where H is the desired complex frequency response of the system at frequency points W,and W contains the frequency values in radians/s.INVFREQS yields a filt
13、er with real coefficients.This means that it is sufficient to specify positive frequencies only;the filter fits the data conj(H)at-W,ensuring the proper frequency domain symmetry for a real filter.通过如下两个实例说明Matlab函数辨识传递函数：仿真实例之一：仿真实例之一：对一阶连续系统传递函数辨识验证函数invfreqs()：15G ssfreqs函数 H=FREQS(B,A,W)returns
14、the complex frequency response vector H of the filter B/A:B(s)H(s)=-A(s)仿真程序：chap5_2.m close all;w=logspace(-1,1)num=1 den=1,5 H=freqs(num,den,w)num,den=invfreqs(H,w,0,1);G=tf(num,den)仿真实例之二：仿真实例之二：假设在频率范围w上测出系统频率响应数值为H，得到频率范围w及频率响应数值H如下：w=logspace(-1,1)H=0.9892-0.1073i 0.9870-0.1176i 0.9843-0.1289i
15、 0.9812-0.1412i 0.9773-0.1545i 0.9728-0.1691i 0.9673-0.1848i 0.9608-0.2017i 0.9530-0.2200i 0.9437-0.2396i 0.9328-0.2605i 0.9198-0.2826i 0.9047-0.3058i 0.8869-0.3301i 0.8662-0.3551i 0.8424-0.3805i 0.8150-0.4060i 0.7840-0.4310i 0.7491-0.4549i 0.7103-0.4771i 0.6677-0.4968i 0.6216-0.5133i 0.5725-0.5258i
16、 0.5210-0.5335i 0.4680-0.5361i 0.4144-0.5331i 0.3613-0.5242i 0.3099-0.5098i 0.2613-0.4900i 0.2164-0.4654i 0.1762-0.4370i 0.1413-0.4057i 0.1121-0.3728i 0.0886-0.3393i 0.0706-0.3064i 0.0577-0.2753i 0.0489-0.2466i 0.0436-0.2210i 0.0406-0.1987i 0.0391-0.1796i 0.0383-0.1635i 0.0377-0.1499i 0.0369-0.1385i
17、 0.0356-0.1287i 0.0339-0.1201i 0.0318-0.1123i 0.0293-0.1051i 0.0266-0.0983i 0.0239-0.0919i 0.0212-0.0857i;其中logspace函数为:LOGSPACE Logarithmically spaced vector.LOGSPACE(X1,X2)generates a row vector of 50 logarithmically equally spaced points between decades 10X1 and 10X2.仿真程序：仿真程序：chap5_3.mclear all;
18、close all;w=logspace(-1,1)H=0.9892-0.1073i 0.9870-0.1176i 0.9843-0.1289i 0.9812-0.1412i 0.9773-0.1545i 0.9728-0.1691i 0.9673-0.1848i 0.9608-0.2017i 0.9530-0.2200i 0.9437-0.2396i 0.9328-0.2605i 0.9198-0.2826i 0.9047-0.3058i 0.8869-0.3301i 0.8662-0.3551i 0.8424-0.3805i 0.8150-0.4060i 0.7840-0.4310i 0.
19、7491-0.4549i 0.7103-0.4771i 0.6677-0.4968i 0.6216-0.5133i 0.5725-0.5258i 0.5210-0.5335i 0.4680-0.5361i 0.4144-0.5331i 0.3613-0.5242i 0.3099-0.5098i 0.2613-0.4900i 0.2164-0.4654i 0.1762-0.4370i 0.1413-0.4057i 0.1121-0.3728i 0.0886-0.3393i 0.0706-0.3064i 0.0577-0.2753i 0.0489-0.2466i 0.0436-0.2210i 0.
20、0406-0.1987i 0.0391-0.1796i 0.0383-0.1635i 0.0377-0.1499i 0.0369-0.1385i 0.0356-0.1287i 0.0339-0.1201i 0.0318-0.1123i 0.0293-0.1051i 0.0266-0.0983i 0.0239-0.0919i 0.0212-0.0857i;num,den=invfreqs(H,w,3,4);G=tf(num,den)利用上述频率响应数据，则得到辨识的传递函数为：1.001 s3+6.812 s2+22.89 s+20.59-s4+9.816 s3+33.29 s2+45.2 s+20.58 由仿真结果可见，采用invfreqs()函数可得到传递函数辨识结果。参考文献参考文献薛定宇，控制系统计算机辅助设计，北京：清华大学出版社，1996
