1、数学数学理科理科 第第 1 页（页（共共 6 页页） 吉林市普通中学吉林市普通中学 2019201920202020 学年度高中毕业班第三次调研测试学年度高中毕业班第三次调研测试 理理科数学科数学 本试卷共本试卷共 22 小题，共小题，共 150 分，共分，共 6 页，考试时间页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。题卷一并交回。 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题
2、卡的指定位置上。姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2 2选择题答案使用选择题答案使用 2B2B 铅笔填涂铅笔填涂, ,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案的标号；非选择题答案必须必须使用使用 0.50.5 毫米黑色毫米黑色字迹的字迹的签字笔书写，字体工整、签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。笔迹清楚。 3 3请按照题号在各题的答题区域请按照题号在各题的答题区域( (黑色线框黑色线框) )内作答，超出答题区域书写的答案内作答，超出答题区域书写的答案 无效。无效。 4. 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字
3、迹的签字笔描黑。作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。纸刀。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 题，每小题题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分。在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求。个是符合题目要求。 1. 已知集合已知集合-1,0,1,2A , |lg(1)Bx yx，则，则AB A. 2 B. 1,0 C. 1 D. 1,0,1 2. 已知复数已知
4、复数z满足满足i z 1 1，则，则z= A. i 11 22 B. i 11 22 C. i 11 22 D. i 11 22 3. 已知向量已知向量ab(3,1),(3, 3) ，则向量，则向量b在向量在向量a方向上的投影为方向上的投影为 A. 3 B. 3 C. 1 D. 1 4. 已知已知m n,为两条不重合直线，为两条不重合直线，, 为两个不重合平面，下列条件中，为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件的充分条件 是是 A. mn mn, B. mn mn, 保 密 数学数学理科理科 第第 2 页（页（共共 6 页页） C. mn m, n, D. mn m, n, 5. 一个几何
5、体的三视图如一个几何体的三视图如右右图所示，则该几何体的体积为图所示，则该几何体的体积为 A. 10 3 B. 3 C. 8 3 D. 7 3 6. 函数函数f xx 2 ( )cos(2) 3 的对称轴不可能为的对称轴不可能为 A. x 5 6 B. x 3 C. x 6 D. x 3 7. 已知已知f x( )为定义在为定义在R上的奇函数，且满足上的奇函数，且满足f xf x(4)( ),当当x(0,2) 时，时， f xx2( )2 , 则则f(3) A. 18 B. 18 C. 2 D. 2 8. 已知数列已知数列 n a为等比数列，若为等比数列，若aaa 768 26，且，且aa 5
6、9 36，则，则 aaa 768 111 A. 13 18 B. 13 18 或或 19 36 C. 13 9 D. 13 6 9. 椭圆椭圆 xy 22 1 92 的焦点为的焦点为F F 12 ,，点，点P在椭圆上，若在椭圆上，若PF2| 2 ，则，则F PF 12 的大小为的大小为 A. 150 B. 135 C. 120 D. 90 10. 已知已知 b abca 0.2 1 2 1 ( ) 2 ,log 0.2, ，则，则a b c, ,的大小关系是的大小关系是 A. abc B. cab C. acb D. bca 11. 赵爽赵爽是是我国古代数学家我国古代数学家、天文学家天文学家，
7、大约公元大约公元 222 年年，赵爽为周赵爽为周髀髀算经一书作序时，算经一书作序时， 介绍了介绍了“勾股圆方图勾股圆方图”， 又又称称“赵爽弦图赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1） ） ，类比） ） ，类比“赵爽弦图赵爽弦图”，可类似地构造如，可类似地构造如 图图（2）所示的图形，它是由）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形，设六边形，设A FF A2 ,
8、若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率 为为 A. 2 13 13 B. 4 13 AB C DE F A B C D E F 图图1图图2 22 2 1 正视图正视图 俯视图俯视图 侧视图侧视图 数学数学理科理科 第第 3 页（页（共共 6 页页） C. 2 7 7 D. 4 7 12. 已知已知F F 12 ,分别为双曲线分别为双曲线 xy C ab 22 22 :1的左、右焦点，点的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，是其一条渐近线上一点， 且以且以FF 12为 为直径的圆经过点直径的圆经过点P，若，若PFF 12
9、的面积为的面积为b2 2 3 3 ，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C. 5 D. 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13. 二项式二项式x 5 (2) 的展开式中的展开式中x3的系数为（用数字作答）的系数为（用数字作答） . 14. 已知两圆相交于两点已知两圆相交于两点A aB( ,3), ( 1,1) ， 若两圆圆心都在直线， 若两圆圆心都在直线xyb0上， 则上， 则ab 的的 值是值是 . 15. 若点若点P(cos ,sin )在直线
10、在直线yx2 上，则上，则cos(2) 2 的值等于的值等于 . 16. 已知数列已知数列 n a的前的前n项和项和 nn Sa 1 4 且且 1 1 4 a ，设，设 xx f xee2( )1 ，则，则 fafafa7 21222 (log)(log)(log)的值等于的值等于 . 三、解答题：三、解答题：共共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一
11、）必考题：共 60 分分 17.17.（12 分）分） 在在ABC 中，角中，角A B C, ,的对边分别为的对边分别为a b c, ,，若，若abCC3(sin3cos). . （1 1）求角求角B的大小；的大小； （2 2）若若A 3 ，D为为ABC 外一点，外一点，DBCD2,1, ,求四边形求四边形ABDC面积的最大值面积的最大值. . 数学数学理科理科 第第 4 页（页（共共 6 页页） 18.18.（12 分）分） 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励 学生线上学习。
12、某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系， 对高三年级随机选取对高三年级随机选取 4545 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于 5 5 小时的有小时的有 1919人， 余下的人中， 在检测考试中数学平均成绩不足人， 余下的人中， 在检测考试中数学平均成绩不足120120分的占分的占 8 13 ， 统计成绩后得到如下， 统计成绩后得到如下2 2 列联表：列联表： 分数不少于分数不少于 120 分分 分数不足分数不足 120 分分
13、 合计合计 线上学习时间不少于线上学习时间不少于 5 小时小时 4 19 线上学习时间不足线上学习时间不足 5 小时小时 合计合计 45 （1 1）请完成上面）请完成上面2 2列联表；列联表；并并判断是否有判断是否有 99%的把握认为的把握认为“高三学生的数学成绩与学“高三学生的数学成绩与学 生线上学习时间有关”；生线上学习时间有关”； （2 2） （）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于） （）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于 120120 分和分数不足分和分数不足 120120 分分 的两组学生中抽取的两组学生中抽取9 9名学生， 设抽到不足名学生， 设抽到不足1201
14、20分且每周线上学习时间不足分且每周线上学习时间不足5 5小时的人数是小时的人数是X， 求求X的分布列（概率用组合数算式表示） ；的分布列（概率用组合数算式表示） ； （）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于 120 分的学生中随分的学生中随 机抽取机抽取 20 人，求这些人中每周线上学习时间不少于人，求这些人中每周线上学习时间不少于 5 小时的人数的期望和方差小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）（下面的临界值表供参考） 2 0 ()P Kk 0.100.10 0.050.05 0.0250.025 0.0100.0
15、10 0.0050.005 0.0010.001 0 k 2.7062.706 3.8413.841 5.0245.024 6.6356.635 7.8797.879 10.82810.828 （参考公式（参考公式 n adbc K ab cd ac bd 2 2 () ()()()() 其中其中nabcd） 数学数学理科理科 第第 5 页（页（共共 6 页页） 19.19.（12 分）分） 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD 中，中，ABCD, ,ADABCDDAB 1 ,60 2 ，点，点 E F,分别为分别为CD AP,的中点的中点. . （1 1）证明：证明：PC面面BEF
16、； （2 2）若若PAPD ，且，且PAPD ，面，面PAD 面面ABCD, ,求二面角求二面角FBEA的余弦的余弦 值值. . 20.20.（12 分）分） 已知倾斜角为已知倾斜角为 4 的直线经过抛物线的直线经过抛物线 2 :2(0)Cxpy p的焦点的焦点F，与抛物线，与抛物线C相交于相交于 A、B两点两点, ,且且| 8AB . . （1 1）求抛物线求抛物线C的方程；的方程； （2 2）设设P为抛物线为抛物线C上任意一点（异于顶点） ，过上任意一点（异于顶点） ，过P做倾斜角互补的两条直线做倾斜角互补的两条直线 1 l、 2 l， 交抛物线交抛物线C于另两点于另两点C、D，记抛物线，
17、记抛物线C在点在点P的切线的切线l的倾斜角为的倾斜角为 ，直线，直线CD的倾斜角的倾斜角 为为 ，求证：，求证： 与与 互补互补. . 21.21.（12 分）分） 已知函数已知函数 2 ( )ln(1)1( ,).f xxaxabxba bR （1 1）若若0a ，试讨论，试讨论( )f x的单调性；的单调性； （2 2）若若02,1ab，实数，实数 12 ,x x为方程为方程 2 ( )f xmax的两不等实根，的两不等实根， 求证：求证： 12 11 42a xx . . AB CD E F P 数学数学理科理科 第第 6 页（页（共共 6 页页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10
18、 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。 22.22.（10 分）分） 在直角坐标系在直角坐标系xOy中，曲线中，曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 3cos sin x y （ 为参数） ，以原点为参数） ，以原点O为为 极点，以极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为的极坐标方程为sin()2 6 . . （1 1）求曲线）求曲线 1 C的普通方程与曲线的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2 2）设）
19、设,A B为曲线为曲线 1 C上位于第一，二象限的两个动点，且上位于第一，二象限的两个动点，且 2 AOB , ,射线射线,OA OB交交 曲线曲线 2 C分别于分别于,D C，求，求AOB 面积的最小值，并求此时四边形面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积的面积. . 23.23.（10 分）分） 已知已知, ,a b c均为正实数，函数均为正实数，函数 222 111 ( ) | 4 f xxx cab 的最小值为的最小值为1. . 证明： （证明： （1 1） 222 49abc； （2 2） 111 1 22abbcac . . 数学数学理科理科 第第 7 页（页（共共 6 页页）
20、 吉林市普通中学吉林市普通中学 2019201920202020 学年度高中毕业班第学年度高中毕业班第三三次调研测试次调研测试 理理科数学科数学参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、选择题一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A D A D C A C B D B 二、填空题二、填空题 13. - 40； 14. -1; 15. 4 5 ； 16. 7 三、解答题三、解答题 17. 解：解： （1）3(sin3cos)abCC,由正弦定理得由正弦定理得: 3sinsin(sin3cos)ABCC 3sin()sinsin3sincosBCBCBC，即，即
21、3cossinsinsinBCBC -3 分分 sin0,3cossinCBB即即tan3B (0, ), 3 BB -6 分分 （2）在在BCD中，中，2,1BDCD 222 122 1 2 cosBCD 5 4cosD 又又 3 A ， 则， 则ABC为 等 边 三 角 形 ，为 等 边 三 角 形 ， 2 1 sin 23 ABC SBC 5 3 3cos 4 D -8 分分 又又 1 sinsin 2 BDC SBDDCDD， 5 3 sin3cos 4 ABCD SDD 5 3 2sin() 43 D -10 分分 数学数学理科理科 第第 8 页（页（共共 6 页页） 当当 5 6
22、D 时 ， 四 边 形时 ， 四 边 形ABCD的 面 积 取 最 大 值 ， 最 大 值 为的 面 积 取 最 大 值 ， 最 大 值 为 5 3 2 4 . -12 分分 18.解：解： （1 1） 分数不少于分数不少于 120 分分 分数不足分数不足 120 分分 合计合计 线上学习时间不少于线上学习时间不少于 5 小时小时 15 4 19 线上学习时间不足线上学习时间不足 5 小时小时 10 16 26 合计合计 25 20 45 -3 分分 2 2 45(15 16 10 4) 7.296.635 25 20 19 26 K 有有 99% 的 把 握 认 为的 把 握 认 为 “ 高
23、 三 学 生 的 数 学 成 绩 与 学 生 线 上 学 习 时 间 有 关高 三 学 生 的 数 学 成 绩 与 学 生 线 上 学 习 时 间 有 关 ” -5 分分 （ 2 2 ）（）（ I ） 由 分 层 抽 样 知 ， 需 要 从 不 足） 由 分 层 抽 样 知 ， 需 要 从 不 足120分 的 学 生 中 抽 取分 的 学 生 中 抽 取 20 94 45 人人 -6 分分 X的可能取值为的可能取值为 0 0，1,2,3,4.1,2,3,4. 4 4 4 20 (0) C P X C , 31 416 4 20 (1) C C P X C , 22 416 4 20 (2) C
24、 C P X C 13 416 4 20 (3) C C P X C , 4 16 4 20 (4) C P X C -8 分分 （II）从全校不少于）从全校不少于 120 分的学生中随机抽取分的学生中随机抽取 1 人人 此人每周上线时间不少于此人每周上线时间不少于5小时的概率为小时的概率为 15 0.6 25 -10 分分 设从全校不少于设从全校不少于 120 分的学生分的学生中随机抽取中随机抽取 20 人，这些人中每周线上学习时间不少于人，这些人中每周线上学习时间不少于 5 小小 时的人数为时的人数为Y，则，则(20,0.6)YB，故，故( )20 0.612E Y , ( )20 0.6
25、 (1 0.6)4.8D Y -12 分分 数学数学理科理科 第第 9 页（页（共共 6 页页） 19解解“ （1）证明：连接）证明：连接AC交交BE于于H，连接，连接FH ,ABCEHABHCE BHACHA ABHCEH AHCHFHPC -2 分分 FH 面面,FBEPC 面面FBE PC面面FBE -4 分分 （2）取）取AD中点中点O，连，连PO，OB.由由PAPD，POAD 面面PAD面面ABCD PO面面ABCD，又由，又由60DAB，ADAB OBAD 以以,OA OB OP分 别 为分 别 为, ,X Y Z轴 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系轴 建 立 如
26、 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 -6 分分 设设2AD ，则，则(1,0,0)A，(0, 3,0)B,( 1,0,0)D , 11 (0,0,1),( ,0, ) 22 PF (2,0,0)EBDA， 11 ( ,3, ) 22 BF -8 分分 1 (0,0,1)n 为面为面BEA的一个法向量的一个法向量 -9 分分 设面设面FBE的法向量为的法向量为 2000 (,)nx y z， 依题意，依题意， 2 2 0 0 EB n BF n 即即 0 000 20 11 30 22 x xyz 令令 0 3y ，解得，解得 02 6.(0, 3,6)zn -10 分分 AB CD E
27、F P xy z H O 数学数学理科理科 第第 10 页（页（共共 6 页页） 12 12 12 ,62 39 cos, 1339 n n n n nn 因为二面角为锐角，故其余弦值为因为二面角为锐角，故其余弦值为 2 39 13 -12 分分 20.解：解： （1）由题意设直线）由题意设直线AB的方程为的方程为 2 p yx 令令 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，联立，联立 2 2 2 p yx xpy 得得 2 2 30 4 p ypy -3 分分 12 3yyp， 根据抛物线的定义得根据抛物线的定义得 12 4AByypp，又，又8AB ， 48,2pp 故所求抛物线
28、方程为故所求抛物线方程为 2 4xy -5 分分 （2）依题意，设）依题意，设 2 0 0 (,) 4 x P x， 2 (,) 4 C C x C x， 2 (,) 4 D D x D x 设设 1 l的方程为的方程为 2 0 0 () 4 x yk xx，与，与 2 4xy联立联立 消去消去y得得 22 00 440xkxkxx -7 分分 0 4 C xxk，同理同理 0 4 D xxk -8 分分 0 2 CD xxx ， 直 线， 直 线CD的 斜 率的 斜 率 22 21 21 4() CD xx K xx = 1 () 4 CD xx 0 1 2 x -10 分分 数学数学理科理
29、科 第第 11 页（页（共共 6 页页） 切 线切 线l的 斜 率的 斜 率 0 0 1 2 lx x Kyx 。 由。 由0 lCD KK， 得， 得与与互 补互 补 -12 分分 21. 解：解： （1）依题意）依题意0x，当，当0a时，时， 1 ( )(1)fxb x -1 分分 当当1b时 ，时 ，( )0fx恒 成 立 ， 此 时恒 成 立 ， 此 时( )f x在 定 义 域 上 单 调 递 增 ；在 定 义 域 上 单 调 递 增 ； -3 分分 当当1b时，若时，若 1 0, 1 x b ，( )0fx；若；若 1 , 1 x b ，( )0fx 故 此 时故 此 时( )f
30、x的 单 调 增 、 减 区 间 分 别 为的 单 调 增 、 减 区 间 分 别 为 1 0, 1b 、 1 , 1b -5 分分 （2）方法 1：由 2 ( )f xmax得ln(2)20xaxm 令( )ln(2)2g xxax，则 12 ( )()g xg xm -7 分 依题意有 1122 ln(2)ln(2)xaxxax， 2 1 12 ln 2 x x a xx - 8 分 要证 12 11 42a xx ，只需证 2 121 1212 2ln 2(2) x xxx a x xxx （不妨设 12 xx） ， 即证 122 211 2ln xxx xxx 数学数学理科理科 第第
31、12 页（页（共共 6 页页） -10 分 令 2 1 (1) x t t x ， 1 ( )2ln,g ttt t 2 2 211 ( )1(1)0g t ttt ， ( )g t在(1,)单 调 递 减 ，( )(1)0g tg， 从 而 有 12 11 42a xx -12 分 方法 2：由 2 ( )f xmax得ln(2)20xaxm 令( )ln(2)2g xxax，则 12 ( )()g xg xm， 1 ( )(2)g xa x -7 分 当 1 (0,) 2 x a 时( )0g x， 1 (,) 2 x a 时( )0g x， 故( )g x在 1 (0,) 2a 上 单
32、调 递 增 ， 在 1 (,) 2a 上 单 调 递 减 ， -8 分 不妨设 12 xx，则 12 1 0 2 xx a ， 要证 12 11 42a xx ，只需证 2 1 2 (42 )1 x x a x ，易知 2 2 1 (0,) (42 )12 x a xa ， 故只需证 2 1 2 ()() (42)1 x gxg a x ，即证 2 2 2 ()() (42)1 x gxg a x -10 分 令( )( )() (42 )1 x h xg xg a x ， （ 1 2 x a ） ， 则 2 1 ( )( )() (42 )1 421 x h xg xg a x a x =
33、2 1 (2)1(2)1 421 a xa x xx a x = 2 2 4(2)21 0 421 aa x a x -11 分 （也可代入后再求导） 数学数学理科理科 第第 13 页（页（共共 6 页页） ( )h x在 1 , 2a 上单调递减， 1 ( )()0 2 h xh a ， 故 对 于 1 2 x a 时 ， 总 有( )() (42 )1 x g xg a x 。 由 此 得 12 11 42a xx -12 分 22. 解：解： （1）由曲线）由曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 3cos sin x y （为参数）消去参数得为参数）消去参数得 2 2 1 3 x y -
34、2 分分 曲线曲线 2 C的极坐标方程为的极坐标方程为sin()2 6 即即sincoscos sin2 66 340xy -4 分分 （2）依题意得）依题意得 1 C的极坐标方程为的极坐标方程为 22 22 cos sin1 3 - 5 分分 设设 1 (, )A , 2 (,) 2 B , 3 (, )D , 4 (,) 2 C 则则 22 22 1 1 cos sin1 3 ， 22 22 2 2 sin cos1 3 ，故故 22 12 114 3 -7 分分 22 1212 2114 3 ， 当 且 仅 当， 当 且 仅 当 12 （ 即（ 即 4 ） 时 取） 时 取 “=” -8
35、 分分 故故 12 13 24 AOB S ，即，即AOB面积的最小值为面积的最小值为 3 4 -9 分分 此时此时 34 1122 22 sin() cos() 4646 COD S 4 8 cos 3 故所求四边形的面积为故所求四边形的面积为 329 8 44 数学数学理科理科 第第 14 页（页（共共 6 页页） -10 分分 23. 证明证明 （ 1 ）, ,0a b c ， 222 111 ( ) 4 f xxx abc 222 111 () 4 xx abc 222 111 4abc 222 111 4abc 1 -3 分分 由柯西不等式得由柯西不等式得 222 (4)abc 222 111 () 4abc 2 (1 1 1)9 当且仅当当且仅当23abc时取时取“=”。 222 49abc -5 分分 （2） 22 112 , abab 22 111 , 4bcbc 22 111 4acac （以上三式当且仅当（以上三式当且仅当23abc时同时取时同时取“=”） -7 分分 将以上三式相加得将以上三式相加得 211 abbcac 222 111 2()2 4abc 即即 111 1 22abbcac -10 分分
