1、第四章第四章 不定积分不定积分微分学微分学:()(?)Fx 积分学积分学:(?)()f x 互逆问题互逆问题 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程求此曲线方程.211 2.yx 已已知知曲曲线线方方程程，求求过过点点，的的切切线线方方程程 sv ts t 已已知知变变速速直直线线运运动动方方程程,求求瞬瞬时时速速度度.sv tst 已已知知瞬瞬时时速速度度,求求变变速速直直线线运运动动方方程程.积积分分学学问问题题：微微分分学学问问题题：二、二、基本积分表基本积分表第一节第一节 不定积分的概念
2、和性质不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念三、三、不定积分的性质不定积分的性质 cos x 1(0),xx ，一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念sincos.xx是是的的一一个个原原函函数数sinxln x定义定义1（原函数）（原函数）如果在区间如果在区间I内内,即即,xI 都有都有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()()(xF)(xf那么函数那么函数就称为就称为dxxf)(或或I在区间在区间内内原函数原函数.)(xF的导函数为的导函数为(),f x可导函数可导函数是是 在区间在区间 内内xlnx1),0(的一个原函数的一个原函数.原
3、函数存在定理：原函数存在定理：即即 连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 sincosxx xCxcossin （C为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？)(xfI如果函数如果函数在区间在区间内内连续连续，I(),F x那么在区间那么在区间内存在可导函数内存在可导函数使使Ix 都有都有()().Fxf x 关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数C，)()(xfxF （2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则C
4、xGxF )()(（C为任意常数）为任意常数）证证（2）)()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxfCxGxF )()(（C为任意常数）为任意常数）有有无无穷穷多多个个它它们们之之间间相相差差常常数数CxF)()(xf都是都是的原函数的原函数.CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数定义定义2（不定积分）（不定积分）积分变量积分变量 在区间在区间I 内，函数内，函数 的带有任意常数项的带有任意常数项的原函数，称为的原函数，称为 在区间在区间I内的内的不定积分不定积分,)(xf)(xf记为记为 dxxf)(原函数原函数例例1 求求.5dxx
5、 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线求此曲线方程方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1 1，2 2）,1 C所求曲线方程为所求曲线方程为.12 xy)(xfx2即即是是的一个原函数的一个原函数.不定积分的几何意义不定积分的几何意义:()df xx 的图
6、形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成()f x的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x()f x的原函数的图形称为的原函数的图形称为()f x的的积分曲线积分曲线.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：结论：微分运算与求不定积分的运算微分运算与求不定积分的运算“.微分运算与求不定积分的运算的关系微分运算与求不定积分的运算的关系 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积
7、分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、二、基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表(1)kdxkx C (k是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx(3)ln;dxxCx 说明：说明：,0 x,ln Cxxdx )ln(,0 xx,1)(1xxx ,)ln(Cxxdx,|ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx xd
8、xxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 例例4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式根据积分公式Cxdxx 11 1.(3cos)xex dx 2.2xxe dx(2)xe dx (2)ln(2)xeCe(2)ln21xeC 3 cosxe dxxdxsinxexC dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf证证()()f x dxg x dx ()()f x dxg x dx ).()(xgxf 等式成立等式成立.（可推广
9、到有限多个函数之和的情况）（可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质线性性质线性性质 dxxkf)()2(.)(dxxfk(0k 为常数）为常数）例例5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln.xxC 例例7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(1
10、2222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形恒等变形，才能使用基本积分表，才能使用基本积分表.例例9 xdx2tan)1(dxx 2sin)2(2dxxx 2cos2sin1(3)22dxx )1(sec2 dxxdx2secCxx tandxx)cos1(21 1(sin)2xxC dxx2)2sin(1 xdx2csc4Cx cot4解解,sinsec2xxdxdy dx
11、xxy sinsec2,costanCxx ,5)0(y,6 C所求曲线方程为所求曲线方程为.6costan xxy)(xfy )(,(xfx2secsin,xx(0,5),例例10 已知一曲线已知一曲线在点在点处的切线斜率为处的切线斜率为且此曲线与且此曲线与y轴的交点为轴的交点为求此曲线的方程求此曲线的方程.5.基本积分表基本积分表(1)4.不定积分的性质（线性性）不定积分的性质（线性性）1.原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 2.不定积分的概念：不定积分的概念：CxFdxxf)()(3.求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系小结小结6.利用积分公式求积分利用积分公式求积
12、分思考题思考题()ln().f xdxxxCf xx 已已知知，求求思考题解答思考题解答()lnf xxxCx 因因是是的的原原函函数数，()=ln1.f xxx 从从而而，()ln=ln1,f xxxCxx 故故作作 业业习题习题4-1 1.(6),(13)-(26);2.3.4习题习题4-2 1.一、一、填空题：填空题：1 1、一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、)(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它
13、的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、由由)()(xfxF 可 知，在 积 分 曲 线 族可 知，在 积 分 曲 线 族CxFy )()(是任意常数是任意常数C上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题6 6、dxxx_ _；7 7、xxdx2_；8 8、dxxx)23(2_；9 9、dxxx)1)(1(3_；1010、dxxx2)1(=_=_._.二二、求求下下列列不不定定积积分分：1 1、dxxx221 2 2、dxxxx325323 3、dxx2cos2 4 4、dxxxx22sincos2cos5 5、dxxxx)11(26 6、xdxxxx2222sec1sin 三、一曲线通过点三、一曲线通过点)3,(2e斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.，且在任一点处的切线的，且在任一点处的切线的练习题答案练习题答案
