1、第二章 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质2.2 二次函数的图象和性质情境引入学习目标1.会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴.（重点）导入新课导入新课y=a(x-h)2+ka0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小最小=kx=h时,y最大最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.复习引入顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最
2、值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43?讲授新课讲授新课我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？2162 12yxx问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？2162 12yxx二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质合作探究2162 12yxx配方可得2221(1 2664 2)2xx21(1 24 2)2xx2221(1 26)64 2
3、 2xx21(6)6 2x21(6)3.2x 想一想：配方的方法及步骤是什么？配方216212xxy你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.3)6(212xy问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21(6)32yx答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？21(6)32yx212yx答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4 如何用描点法画二次
4、函数 的图象？2162 12yxx9 98 87 76 65 54 43 3x解:先利用图形的对称性列表21(6)32yx 7.553.533.557.5510 xy510然后描点画图，得到图象如右图.O问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性.2162 12yxx510 xy510 x=6当x6时，y随x的增大而增大.试一试 你能用上面的方法讨论二次函数y=2x2-8x+7的图象和性质吗？O2287yxx22(44)87xx22(4)7xx22(2)1.x 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x2时，y随x的增大而减小，当x2时，y随x的增
5、大而增大.解：例例1：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.典例精析y=ax+bx+c 2baxxca2222222bbbaxxcaaa22424ba cbaxaa因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa 例例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标.1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即2224().24bacbyaxbxca xaa因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa 要点
6、归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)xyO如果a0,当x 时，y随x的增大而增大；当x=时，函数达到最小值，最小值为 .2bxa 2ba2ba2ba244acba二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2)2bxa xyO如果a0,当x 时，y随x的增大而减小;当x=时，函数达到最大值，最大值为 .2ba2ba2ba244acba二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质例3 已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设
7、可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D.22(1)bxb D顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(,-6)13直线x=13填一填问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2y=k3x+b3k1 _ 0b1 _ 0k2 _ 0b2 _ 0k3 _ 0b3 _ 0二次函数的系数与图象的关系合作探究xyO222
8、bxa 112bxa 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：2ya xb xca1 _ 0b1_ 0c1_ 0a2_ 0b2_ 0c2_ 0开口向上，a0对称轴在y轴左侧，对称轴在y轴右侧，1102bxa 2202bxa x=0时，y=c.xyO442bxa 332bxa a3_ 0b3_ 0c3_ 0a4_ 0b4_ 0c4_ 0开口向下，a0对称轴是y轴，对称轴在y轴右侧，33=02bxa 4402bxa x=0时，y=c.字母符号图象的特征a0开口_a0开口_b=0对称轴为_轴a、b同号对称轴在y轴的_侧a、b异号对称轴在y轴的_侧c=0经过原点c0与y轴交于_半
9、轴c0与y轴交于_半轴向上向下y左右正负要点归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系例4 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是 ()A1B2C3D4D由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图象上x1的点在第四象限得abc0，由图象上x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确【解析】由图象开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图象与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；由对称轴x1可得2ab0
10、，故正确；二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（）2ya xb xcayxyb x解析：由二次函数的图象得知a0，b0.故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限.故选C.C练一练1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴 B.直线x=C.直线x=2 D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D当堂练习当堂练习52322.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：22(1)21213;(2)580319;1(3)22;2(4)12.yxxyxxyxxyxx 直线x=
11、33,5直线x=88,1直线x=1.2559,48直线x=0.519,24最小值-5最大值1最小值 98最大值 94Oyx1233.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是 .直线x=1（2）4.把抛物线yx2bxc的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为yx23x5，则()Ab3，c7 Bb6，c3Cb9，c5 Db9，c21解析：yx23x5化为顶点式为y(x )2 .将y(x )2 向左平移3个单位长度，再向上
12、平移2个单位长度，即为yx2bxc.则yx2bxc(x )2 ，化简后得yx23x7，即b3，c7.故选A.321143211432194A5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（）23A B C DxyO2x=-1B6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3-1x1x2，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y3y1Cy3y1y2Dy2y1y3
13、D这个二次函数的解析式为y x24x6；7.如图，已知二次函数y x2bxc的图象经过A(2，0)，B(0，6)两点(1)求这个二次函数的解析式；12解：(1)把A(2，0)、B(0，6)代入y x2bxc 得12-2+20,6,bcc4,6,bc解得12(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求ABC的面积(2)该抛物线对称轴为直线x 4，点C的坐标为(4，0)，ACOCOA422，SABC ACOB 266.1212412()2课堂小结课堂小结24(,)24bacbaa2bxa y=ax2+bx+c（a 0)(一般式一般式)(顶点式顶点式)224()24bacbya xaa
