1、第13章全等三角形本章总结提升第13章全等三角形本章总结提升线段垂直平分线的性线段垂直平分线的性质定理质定理逆命题与逆命题与逆定理逆定理尺规作图尺规作图等腰三等腰三角形角形全全等等三三角角形形S.A.S全等三角全等三角形判定形判定命题、公理与定理命题、公理与定理等边三角等边三角形的性质形的性质线段垂直平分线的判线段垂直平分线的判定定理定定理互逆互逆角平分线的性质定理角平分线的性质定理角平分线的判定定理角平分线的判定定理互逆互逆做一条线段等于已知线段做一条线段等于已知线段做一角等于已知角做一角等于已知角过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线做角平分线做角平分线做线段的垂直平分线做线段的垂直
2、平分线A.S.AA.A.SS.S.SH.L.互逆定理互逆定理等腰三角等腰三角形性质定理形性质定理等腰三角等腰三角形判定定理形判定定理等边三角等边三角形的判定形的判定例例1 下列命题的逆命题不是定理的是下列命题的逆命题不是定理的是()A相等的角是对顶角相等的角是对顶角B两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等C全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等问题一命题与逆命题、定理与逆定理问题一命题与逆命题、定理与逆定理 什么叫做命题？什么叫做逆命题？怎样写出一个命题的逆什么叫做命题？什么叫做逆命题？怎样写出一个命
3、题的逆命题？什么叫逆定理？每个定理都有逆定理吗？命题？什么叫逆定理？每个定理都有逆定理吗？本章总结提升C问题二运用全等三角形解决问题问题二运用全等三角形解决问题本章总结提升本章总结提升本章总结提升证明：证明：在线段在线段AD上截取线段上截取线段AF，使，使AFAB，连结，连结EF.在在ABE和和AFE中，中，ABAF，BAEFAE，AEAE，ABE AFE(S.A.S.)，BAFE(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)CDAB，CB180(两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补)又又DFEAFE180，CDFE.在在CDE和和FDE中，中，CDEFDE，CDFE，DEDE，
4、CDE FDE(A.A.S.)，DCDF，ADAFDFABCD.本章总结提升问题三尺规作图问题三尺规作图本章总结提升什么叫尺规作图，基本的尺规作图有哪些？运用尺规作图需要什么叫尺规作图，基本的尺规作图有哪些？运用尺规作图需要注意哪些问题？注意哪些问题？本章总结提升【解析解析】(1)以点以点B为圆心，任意长为半径画弧与为圆心，任意长为半径画弧与AB，BC交于交于E，F两点，两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，连结点再以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，连结点B与两弧与两弧在在ABC内部的交点并延长，与内部的交点并延长，与AC交于点交于点D，BD就是所求作的角平
5、分线就是所求作的角平分线(2)分别以分别以B，D为圆心，以大于为圆心，以大于BD一半的长为半径在一半的长为半径在BD的两侧画弧交于两的两侧画弧交于两点，连结两弧的交点，交点，连结两弧的交点，交AB于点于点E，交，交BC于点于点F，EF就是所求作的线段就是所求作的线段BD的垂直平分线的垂直平分线本章总结提升本章总结提升问题四等腰三角形、角平分线和线段垂直平分线的综合应用问题四等腰三角形、角平分线和线段垂直平分线的综合应用本章总结提升 利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角能通
6、过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？线段的垂直平分线与角平分线的性质与判形，有哪些特殊性质？线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定定理是怎样的？你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线定定理是怎样的？你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗？的性质吗？本章总结提升【解析解析】EF垂直平分垂直平分AB，AFBF.只需再证只需再证AFB90，即证即证AFCBFD 90.根据根据“H.L.”可判定可判定RtACF和和RtFDB全等，从而全等，从而CAFDFB，再由再由AFCCAF90可证可证AFCDFB 90.本章总结提升证明：证明：EF是是AB的垂直平分
7、线，的垂直平分线，FAFB.ACCD，BDCD，ACF 与与FDB都是直角三角形都是直角三角形在在RtACF与与RtFDB中，中，ACFD，FAFB,RtACF RtFDB(H.L.)，CAFDFB.C90，CAFCFA90，CFADFB90，AFB90，故故ABF是等腰直角三角形是等腰直角三角形本章总结提升等角对等边的几个应用等角对等边的几个应用 等腰三角形是一类特殊的三角形，它比一般的三角形应用更为等腰三角形是一类特殊的三角形，它比一般的三角形应用更为广泛我们在七年级已经知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三广泛我们在七年级已经知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这是等腰三角形的定义，
8、也可以作为等腰三角形的判定条角形，这是等腰三角形的定义，也可以作为等腰三角形的判定条件不过，它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的那么，件不过，它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的那么，能否根据三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢？能否根据三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢？本章总结提升回答是肯定的，课本的第回答是肯定的，课本的第82页就证明了页就证明了“如果一个三角形有两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等相等，那么这两个角所对的边也相等”，这个结论简称为，这个结论简称为“等角对等角对等边等边”至此，我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角
9、形至此，我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了下面，我们来看看这个定理的常见应用：了下面，我们来看看这个定理的常见应用：本章总结提升一一 用等角对等边判定等腰三角形用等角对等边判定等腰三角形例例1 如图如图13T4，已知，已知ACBC，BDAD，AC与与BD交于点交于点O，ACBD.(1)求证：求证：BCAD；(2)试判断试判断OAB的形状，并说明理由的形状，并说明理由本章总结提升图图13T4解：解：(1)证明：证明：ACBC，BDAD，CD90.在在RtACB和和RtBDA中，中，ABBA，ACBD，RtACB RtBDA(H.L.)，BCAD(2)OAB是等腰三角形是等腰三角形理由
10、：由理由：由ACB BDA，得，得CABDBA，OAOB，OAB是等腰三角形是等腰三角形本章总结提升二二 用等角对等边证明等腰三角形用等角对等边证明等腰三角形本章总结提升例例2 如图如图13T5，点，点O是是AD，BC的交点，的交点，ACBD，BACABD.求证：求证：ABO是等腰三角形是等腰三角形.【解析解析】要证明要证明ABOABO是等腰三角形，由图可知，就是要证明是等腰三角形，由图可知，就是要证明OAOAOBOB，也，也就是要证明就是要证明CBACBADABDAB，则只要证明，则只要证明ABCABCBADBAD即可即可图图13T5证明：证明：ACBD(已知已知)，BACABD(已知已知)
11、，ABBA(公共边公共边)，ABC BAD(S.A.S.)，CBADAB(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)，OAOB(等角对等边等角对等边)，即即ABO是等腰三角形是等腰三角形本章总结提升【点评点评】由例由例2进一步弄清了证明题的两个主要步骤：分析是执进一步弄清了证明题的两个主要步骤：分析是执果索因，即根据结论去寻找原因；证明是由因到果，即由题设推果索因，即根据结论去寻找原因；证明是由因到果，即由题设推理出要证明的结果理出要证明的结果本章总结提升三三 用等角对等边计算等腰三角形用等角对等边计算等腰三角形本章总结提升例例3 已知三角形的内角分别是已知三角形的内角分别是x度，度，y度
12、，且度，且x2y20.三角形的一三角形的一边长为边长为7，另一边长为，另一边长为10，求它的周长，求它的周长【解析解析】先由内角关系先由内角关系x2y20，判断出该三角形为等腰三角形，判断出该三角形为等腰三角形，再分情况求出三角形的周长再分情况求出三角形的周长解：解：由由x2y20，得，得(xy)(xy)0.因为因为xy0，所以，所以xy0,即即xy.由等角对等边，可知此三角形是等腰三角形由等角对等边，可知此三角形是等腰三角形当腰长是当腰长是7时，则底边长是时，则底边长是10，其周长是，其周长是771024；当腰长是当腰长是10时，则底边长是时，则底边长是7，其周长是，其周长是1010727.所以这个三角形的周长是所以这个三角形的周长是24或或27.【点评点评】涉及等腰三角形的计算等问题，一般要分情况讨论，涉及等腰三角形的计算等问题，一般要分情况讨论，才能避免漏解才能避免漏解本章总结提升八年级数学下册（BS）
