1、HS八(下)教学课件第19章矩形、菱形与正方形19.3 正方形学习目标1.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重、难点)2.探索并证明正方形的判定.(重、难点)3.会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算.(难点)观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.你还能举出其他的例子吗？情景引入情景引入矩形矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形新课讲解1正方形的性质问题1正方形新课讲解新课讲解菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？问题问题2邻边相等矩形正方形菱 形一个角是直角正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2、叫正方形.新课讲解正方形的定义正方形的定义已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：四边形ABCD是正方形.A=90,AB=AC（正方形的定义）.又正方形是平行四边形，正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形(菱形的定义).A=B=C=D=90,AB=BC=CD=AD.新课讲解新课讲解证一证证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO证明：正方形ABCD是矩形,AO=BO=CO=DO.正方形ABCD是菱形.ACBD.新课讲解新课讲解证一证证一证矩形菱形正方形平行四边
3、形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.新课讲解新课讲解正方形的性质正方形的性质平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.ABCD新课讲解新课讲解正方形的对称性正方形的对称性ADCBO如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:ABO、BC
4、O、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.证明:四边形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,并且ABO BCO CDO DAO.新课讲解新课讲解DABCE如图，在正方形ABCD中，BEC是等边三角形.求证：EADEDA15.证明：BEC是等边三角形，BE=CE=BC,EBC=ECB=60.四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD,ABC=DCB=90，AB=BE=CE=CD,ABE=DCE=30，ABE、DCE是等腰三角形，BAE=BEA=CDE=CED=75，EAD=EDA=90-75=15.新课讲解新课讲解1.正方
5、形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD新课讲解新课讲解练一练练一练2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积解：四边形ABCD是正方形，ACBD，OAOD2.在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周长为4AD，面积为AD28.222 2,ADAOOD?8 2新课讲解新课讲解准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形猜想：满足怎
6、样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直新课讲解新课讲解2正方形的判定活动1已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,ACDB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是矩形,AO=CO=BO=DO.ACDB,AD=AB=BC=CD,矩形ABCD是正方形.ABCDO求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.新课讲解新课讲解证一证证一证把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等活动2已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=D
7、B.求证：四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,AC DB.AC=DB,AO=BO=CO=DO,AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形，DAB=ABC=BCD=ADC=90,菱形ABCD是正方形.ABCDO求证：对角线相等的菱形是正方形.新课讲解证一证证一证正方形判定的几条途径：正方形正方形+先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个直角或一组邻边相等对角线相等或对角线垂直平行四边形正方形一组邻边相等且一内角是直角新课讲解新课讲解正方形的判定正方形的判定在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）AAC=
8、BD，ABCD，AB=CDBADBC，A=CCAO=BO=CO=DO，ACBDDAO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO新课讲解练一练练一练在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?解答：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90.AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证 AENBFECMFDNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.新课讲解新课讲解在AEN、BFE、CMF、DNM中，AE=BF=CM=DN,A=B=C=D,AN=BE=CF=DM,AENBFEC
9、MFDNM,EN=FE=MF=NM，ANE=BEF,四边形EFMN是菱形，NEF=180（AEN+BEF）=180（AEN+ANE）=18090=90.四边形EFMN是正方形.?新课讲解新课讲解证明：DEAC，DFAB，DEC=DFC=90.又 C=90，四边形EDFC是矩形.过点D作DGAB，垂足为G.AD是CAB的平分线DEAC，DGAB，DE=DG.同理得DG=DF，ED=DF，矩形EDFC是正方形.如图，在直角三角形中，C=90，A、B的平分线交于点D.DEAC，DFAB.求证:四边形CEDF为正方形.ABCDEFG新课讲解新课讲解如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为
10、A，AF=AE（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由（1）证明：正方形ABCD，AB=AD，BAD=90，AFAC，EAF=90，BAF=EAD，在ADE和ABF中，ADAB，DAEBAF，AEAF ,ADEABF（SAS），BF=DE.新课讲解新课讲解（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：点E运动到AC的中点，AB=BC，BEAC，BE=AE=AC，AF=AE，BE=AF=AE.又BEAC，FAE=BEC=90，BEAF，BE=AF，四边形AFBE为平行四边形，FAE=90，AF=AE，
11、平行四边形AFBE是正方形12新课讲解新课讲解2.一个正方形的对角线长为 2cm，则它的面积是（）A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A对角线互相平分B对角线互相垂直C对角线相等D对角线互相垂直且相等A随堂即练随堂即练3在正方形ABCD中,ADB=,DAC=,BOC=.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是.ADBCOADBCOE459022.5第3题第4题45随堂即练随堂即练5.如图，四边形ABCD中，ABC=BCD=CDA=90，请添加一个条件 _，可得出该四边形是正方形AB=BC(
12、答案不唯一)ABCDO6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从 AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD是正方形，其中错误的是_（只填写序号）(答案不唯一)随堂即练随堂即练7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC，求BE的长解：四边形ABCD为正方形，B90，ACB45，ABBC1cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE，ABAF1cm，BEEF.FCBE.在RtABC中，FCACAF(1)cm，222cm
13、,ACABBC?22随堂即练随堂即练8.如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BEDF.理由如下：四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE=90.DCF=180-BCE=90.BCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.ABDCFE随堂即练随堂即练延长BE交DF于点M,BCEDCF,CBE=CDF.DCF=90,CDF+F=90,CBE+F=90,BMF=90.BEDF.ABDFECM随堂即练随堂即练1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.课堂总结课堂总结5种判定方法一个角是直角且一组邻边相等课堂总结课堂总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
