1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值【知识梳理知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)函数的导数与单调性的关系函数的导数与单调性的关系:函数函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可在某个区间内可导导,则则若若f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)在这个区间内是在这个区间内是_函数函数;若若f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)在这个区间内是在这个区间内是_函数函数;若若f(x)=0,f(x)=0,则则f(x)f(x)在这个区间内是在这个区间内是_._.增增减减常数函数常数函数(2)(2)函数的极值与导数函数的极值与导数:极值的概念极值的概念:f
2、(x)f(xf(x)f(xf(x)f(x0 0)极极小值点小值点判定判定f(xf(x0 0)是极大是极大(小小)值的方法值的方法:若若x x0 0满足满足_,_,且在且在x x0 0的两侧的两侧f(x)f(x)的导数的导数_,_,则则x x0 0是是f(x)f(x)的的极值点极值点.()()如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧_,_,右侧右侧_,_,即即“_”,_”,那么那么f(xf(x0 0)是极大值是极大值;()()如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧_,_,右侧右侧_,_,即即“_”,_”,那么那么f(xf(x0 0)是极小值是极小值.f(xf(x0 0)=0)=0异号异
3、号f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0左正右负左正右负f(x)0f(x)0f(x)0左负右正左负右正(3)(3)函数的最值与导数函数的最值与导数:函数函数f(x)f(x)在在a,ba,b上有最值的条件上有最值的条件:如果在区间如果在区间a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条的图象是一条_的曲线的曲线,那么那么它必有最大值和最小值它必有最大值和最小值.求求y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上的最大上的最大(小小)值的步骤值的步骤:()()求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的内的_._.()()将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值
4、与的各极值与_比较比较,其中其中_的一个是最大值的一个是最大值,_,_的一个是最小值的一个是最小值.连续不断连续不断极值极值端点处的函数值端点处的函数值f(a),f(b)f(a),f(b)最大最大最小最小2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)可导函数可导函数f(x)f(x)在在a,ba,b上是增函数上是增函数,则有则有_在在a,ba,b上恒上恒成立成立.(2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在在a,ba,b上是减函数上是减函数,则有则有_在在a,ba,b上恒上恒成立成立.f(x)0f(x)0f(x)0f(x)03.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看
5、一看(1)(1)常用方法常用方法:利用导数判断单调性的方法利用导数判断单调性的方法,利用导数求极值、最值的利用导数求极值、最值的方法方法.(2)(2)数学思想数学思想:分类讨论、数形结合分类讨论、数形结合.(3)(3)记忆口诀记忆口诀:导数应用比较广导数应用比较广,单调极值及最值单调极值及最值;导数恒正单调增导数恒正单调增,导数恒负当然减导数恒负当然减;求出导数为零点求出导数为零点,左增右减极大值左增右减极大值;左减右增是极小左减右增是极小,同增同减非极值同增同减非极值;若是加上端点值若是加上端点值,最大最小皆晓得最大最小皆晓得.【小题快练小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心
6、思考判一判(1)(1)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调递增上单调递增,那么在区间那么在区间(a,b)(a,b)上一定有上一定有f(x)0.(f(x)0.()(2)(2)如果函数在某个区间内恒有如果函数在某个区间内恒有f(x)=0,f(x)=0,则函数则函数f(x)f(x)在此区间内没有在此区间内没有单调性单调性.(.()(3)(3)导数为零的点不一定是极值点导数为零的点不一定是极值点.(.()(4)(4)三次函数在三次函数在R R上必有极大值和极小值上必有极大值和极小值.(.()【解析解析】(1)(1)错误错误.函数函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(
7、a,b)上单调递增上单调递增,则则f(x)0.f(x)0.故故f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调递增的充分不必要条件上单调递增的充分不必要条件.(2)(2)正确正确.如果函数在某个区间内恒有如果函数在某个区间内恒有f(x)=0,f(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数.如如f(x)=3,f(x)=3,则则f(x)=0,f(x)=0,函数函数f(x)f(x)不存在单调性不存在单调性.(3)(3)正确正确.导数为零的点不一定是极值点导数为零的点不一定是极值点.如函数如函数y=xy=x3 3在在x=0 x=0处导数为零处导数为零,但但x=0
8、x=0不是函数不是函数y=xy=x3 3的极值点的极值点.(4)(4)错误错误.对于三次函数对于三次函数y=axy=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d,y=3ax+cx+d,y=3ax2 2+2bx+c.+2bx+c.当当(2b)(2b)2 2-12ac0,12ac0,即即b b2 2-3ac0-3ac0,f(x)0,解得解得xln2,xln2,则函数则函数f(x)=ef(x)=ex x-2x-2x的的单调递增区间为单调递增区间为(ln2,+).(ln2,+).答案答案:(ln2,+)(ln2,+)(2)(2)(选修选修2-2P302-2P30练习练习BT4BT4改编改编)若若f(x)=a
9、xf(x)=ax3 3+3x+2+3x+2无极值无极值,则则a a的范围为的范围为_._.【解析解析】f(x)=3axf(x)=3ax2 2+3,+3,若若a0,a0,则则f(x)0,f(x)0,f(x)f(x)在在R R上增上增,f(x),f(x)无极值无极值.答案答案:0,+)0,+)3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(1)若函数若函数f(x)=kx-lnxf(x)=kx-lnx在区间在区间(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增,则则k k的取值范围是的取值范围是()A.(-,-2 B.(-,-1A.(-,-2 B.(-,-1C.2,+)D.1,+)C.2,+)
10、D.1,+)【解析解析】选选D.D.因为因为f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)上递增上递增,所以所以f(x)0f(x)0恒成立恒成立,因为因为f(x)=kx-lnx,f(x)=kx-lnx,所以所以f(x)=k-0,f(x)=k-0,即即k .k .因为因为x1,x1,所以所以 1,0(x(-1,1),f(x)0(x(-1,1),所以所以f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)为增函为增函数数,又又x(-1,0)x(-1,0)时时,f(x),f(x)为增函数为增函数,x(0,1),x(0,1)时时,f(x),f(x)为减函数为减函数,所所以选以选B.B.(3)(3)已知已知e e为自
11、然对数的底数为自然对数的底数,设函数设函数f(x)=f(x)=(e(ex x-1)(x-1)-1)(x-1)k k(k=1,2),(k=1,2),则则()A.A.当当k=1k=1时时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极小值处取到极小值B.B.当当k=1k=1时时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极大值处取到极大值C.C.当当k=2k=2时时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极小值处取到极小值D.D.当当k=2k=2时时,f(x),f(x)在在x=1x=1处取到极大值处取到极大值【解题提示解题提示】当当k=1,2k=1,2时时,分别验证分别验证f(1)=0f(1)=0是否
12、成立是否成立,根据函数的单根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点调性判断是极大值点还是极小值点.【解析解析】选选C.C.当当k=1k=1时时,f(x)=e,f(x)=ex x(x-1)+e(x-1)+ex x-1,-1,此时此时f(1)0,f(1)0,故排除故排除A,B;A,B;当当k=2k=2时时,f(x)=e,f(x)=ex x(x-1)(x-1)2 2+(e+(ex x-1)(2x-2),-1)(2x-2),此时此时f(1)=0,f(1)=0,在在x=1x=1附近左侧附近左侧,f(x)0,f(x)0,f(x)0,所以所以x=1x=1是是f(x)f(x)的极小的极小值点值点.考点考点1
13、 1 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性【典例典例1 1】(1)(1)已知已知f(x)=1+x-sinx,f(x)=1+x-sinx,则则f(2),f(3),f(2),f(3),f()f()的大小关系正确的是的大小关系正确的是()A.f(2)f(3)f()A.f(2)f(3)f()B.f(3)f(2)f()B.f(3)f(2)f()C.f()f(2)f(3)C.f()f(2)f(3)D.f()f(3)f(2)D.f()f(3)f(2)(2)(2)已知常数已知常数a0,a0,函数函数f(x)=ln(1+ax)-f(x)=ln(1+ax)-讨论讨论f(x)f(x)在区间在区间(0,+
14、)(0,+)上的单调性上的单调性.【解题提示解题提示】(1)(1)利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性.(2)(2)先求先求f(x),f(x),分分a1a1与与0a10a0,f(x)0,所以所以f(x)f(x)在在(0,(0,上是增函数上是增函数,所以所以f()f()f(3)f(2).f(3)f(2).(2)f(x)=(2)f(x)=(*)当当a1a1时时,f(x)0(x(0,+),f(x)0(x(0,+),此时此时f(x)f(x)在区间在区间(0,+)(0,+)上单调递上单调递增增;当当0a10a1时时,222a2(x2)2xax4(a1).1 ax(x2)(1 ax)(x2)由
15、由f(x)=0f(x)=0得得x x1 1=(x=(x2 2=-=-舍去舍去).).当当x(0,xx(0,x1 1)时时,f(x)0;,f(x)0.,f(x)0.故故f(x)f(x)在区间在区间(0,x(0,x1 1)上单调递减上单调递减,在区间在区间(x(x1 1,+),+)上单调递增上单调递增.综上所述综上所述,当当a1a1时时,f(x),f(x)在区间在区间(0,+)(0,+)上单调递增；当上单调递增；当0a10a0).f(x)=(x0).当当a=0a=0时，时，f(x)=f(x)=恒大于恒大于0 0，f(x)f(x)在定义域上单调递增在定义域上单调递增.当当a0a0时，时，f(x)=f
16、(x)=f(x)f(x)在定义域上单调递增在定义域上单调递增.x1x12a2x(x1)22(x1)222a2a(x1)2x0 x(x1)x(x1)，当当a0a0时，时，a(x+1)a(x+1)2 2+2x=0+2x=0对应的对应的=(2a+2)=(2a+2)2 2-4a-4a2 2=8a+4=8a+4，当，当aa时，时，00，导函数图象开口向下，导函数图象开口向下，f(x)f(x)在定义域上单调递减在定义域上单调递减.当当 a0a00，x x1,21,2 对称轴对称轴方程为方程为 .且且x x1 1x x2 2=10=10，所以，所以f(x)f(x)在在(0(0，)上单调递减，上单调递减，()
17、()上单调递上单调递增，增，上单调递减上单调递减.1212(2a2)8a4a12a1,2aa 2a21x102aa a12a1a a12a1a12a1,aa a12a1(,)a 综上所述综上所述,a0,a0时时,f(x),f(x)在定义域上单调递增；在定义域上单调递增；a a 时，时，f(x)f(x)在定义域上单调递减在定义域上单调递减;a0;a0f(x)0或或f(x)0f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)g()=g(x)g()=，所以，所以b .b .25x(3b2)x12x1313131352x331352x,3313131919【加固训练加固训练】
18、1.1.在区间在区间(-1,1)(-1,1)内不是增函数的是内不是增函数的是()A.y=eA.y=ex x+x B.y=sinx+x B.y=sinxC.y=xC.y=x3 3-6x-6x2 2+9x+2 D.y=x+9x+2 D.y=x2 2+x+1+x+1【解析解析】选选D.AD.A选项中选项中y=ey=ex x+1,xR+1,xR时都有时都有y0,y0,所以所以y=ey=ex x+x+x在在R R上为上为单调递增函数单调递增函数,所以在所以在(-1,1)(-1,1)上是增函数上是增函数;B;B选项中选项中(-1,1)(-1,1),而而y=sinxy=sinx在在 上为增函数上为增函数,所
19、以所以y=sinxy=sinx在在(-1,1)(-1,1)上是增函数上是增函数;C;C选项选项y=3xy=3x2 2-12x+9,-12x+9,令令y=3xy=3x2 2-12x+90-12x+90得得x3x3或或x1,x0,y=2x+10,得得x ,x ,所以有所以有y=xy=x2 2+x+1+x+1在在(,+)(,+)上为增函数上为增函数,所以本题选所以本题选D.D.,2 2,2 2 12122.2.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2+ax+1(aR),+ax+1(aR),求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间.13【解析解析】因为因为f(x)=xf(x
20、)=x2 2+2x+a,+2x+a,二次方程二次方程x x2 2+2x+a=0+2x+a=0的判别式的判别式=4-4a.=4-4a.当当a1a1时时,0,f(x)0,0,f(x)0,此时此时(-,+)(-,+)是函数是函数f(x)f(x)的单调递增的单调递增区间区间;当当a1a0,f(x)=0,0,f(x)=0有两个实数根有两个实数根x=-1+x=-1+和和x=-1-x=-1-,此时此时(-,-1-),(-1+,+)(-,-1-),(-1+,+)是函数是函数f(x)f(x)的单调递的单调递增区间增区间,(-1-,-1+),(-1-,-1+)是函数是函数f(x)f(x)的单调递减区间的单调递减区
21、间.综上综上,当当a1a1时时,函数函数f(x)f(x)只有单调递增区间只有单调递增区间(-,+);(-,+);当当a1a0),xR,(a0),xR,则则f(x)f(x)的极大值为的极大值为_._.【解题提示解题提示】根据求极值的步骤直接求解即可根据求极值的步骤直接求解即可.23【规范解答规范解答】由已知由已知,有有f(x)=2x-2axf(x)=2x-2ax2 2(a0),(a0),令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=0 x=0或或x=.x=.当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:可知可知,当当x=x=时时,f(x),f(x)
22、有极大值有极大值,且极大值为且极大值为f()=f()=答案答案:1ax(-,0)0（0,）（,+）f(x)-0+0-f(x)减0增减1a1a1a213a1a1a21.3a213a命题角度命题角度2:2:利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的最值【典例典例3 3】已知函数已知函数f(x)=(4xf(x)=(4x2 2+4ax+a+4ax+a2 2),),其中其中a0.a0f(x)0得得0 0 x x2x2，所以所以f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为0,)0,)，(2,+).(2,+).x224x16x1610 x24x82(5x2)(x2)(8x16)x2 xxx，2525(2)
23、f(x)=(2)f(x)=令令f(x)=0f(x)=0得得x=x=或或x=x=f(x)f(x)在定义域上的单调性为在定义域上的单调性为0,0,上单调递增上单调递增,(,),(,)上单调上单调递减递减,+),+)上单调递增上单调递增.从而需要讨论从而需要讨论 ,与与1 1及及4 4的大小的大小.当当 4 4或或 1 1，即即a-40a-40或或-2a0-2a0时，时，f(x)f(x)在在1,41,4上单调递增，上单调递增，故故f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(1)=4+4a+af(1)=4+4a+a2 2=8=8，解得，解得a=-2a=-22 2 ，均需舍去；，均需舍去；22224x4ax
24、a20 x12axa(10 xa)(2xa)(8x4a)x2 x2 x2 x，a10a2，a10a10a2a2a10a2a10a22当当 1 1且且 4 4，即即-10a-8-10a-8时，时，f(x)f(x)在在1,41,4上单调递减，上单调递减，故故f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(4)=2(64+16a+af(4)=2(64+16a+a2 2)=8)=8，解得解得a=-10a=-10或或a=-6(a=-6(舍去舍去)；当当1 41 4，即，即-8a-2-8a-2时，时，f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(),f(),因为因为f()=0f()=0，所以不成立；，所以不成立；a10
25、a2a2a2a2当当1 41 4，即，即-40a-10-40a0,ln20,所以所以f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在在0,10,1上是增函数上是增函数,所以所以f(1)f(1)最大且为最大且为a+b+2=4a+b+2=4a+b=2a+b=2;又当又当-1x0-1x0时时,3ax,3ax2 20,20,2x xln20,ln20,所以所以f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在在-1,0-1,0上是增函数上是增函数,所以所以f(-1)f(-1)最小且为最小且为-(a+b)+-(a+b)+,将代入得将代入得f(-1)f(-1)=-2+=-,=-2+=-,故选故选A.A.3212
26、122.2.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+bx+bx2 2+cx+d(b,c,d+cx+d(b,c,d为常数为常数)，在，在x(0,1)x(0,1)内取得极内取得极大值，在大值，在x(1,2)x(1,2)内取得极小值，则内取得极小值，则 (c-3)(c-3)2 2的取值范围是的取值范围是()()21(b)23737A.(5)B.(5 5)C.(25)D.(5 25)24，【解析解析】选选D.D.因为因为f(x)=xf(x)=x3 3+bx+bx2 2+cx+d,+cx+d,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2+2bx+c.+2bx+c.因为函数因为函数f(x)f(x)在
27、在x(0,1)x(0,1)内取得极大值内取得极大值,在在x(1,2)x(1,2)内取得极小值内取得极小值,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2+2bx+c=0+2bx+c=0在在(0,1)(0,1)和和(1,2)(1,2)内各有一个根内各有一个根,所以所以f(0)0,f(1)0,f(0)0,f(1)0,即即 在在bOcbOc坐标系中画出其表示坐标系中画出其表示的区域，如图，的区域，如图，表示点表示点A(-A(-，3)3)与可行域内的点连线的距离的平方，与可行域内的点连线的距离的平方，点点A(-A(-，3)3)到直线到直线3+2b+c=03+2b+c=0的距离为的距离为由由12+4b+c=
28、012+4b+c=0与与3+2b+c=03+2b+c=0联立，可得交点为联立，可得交点为 ，与点，与点A A的距离为的距离为5 5，所以所以 的取值范围是的取值范围是(5(5，25)25)，故选，故选D.D.c0,32bc0,124bc0.221(b)(c3)212121 3355 ，9(,6)21(3)2，221(b)(c3)23.3.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-3ax-3ax2 2+2bx+2bx在在x=1x=1处有极小值处有极小值-1.-1.(1)(1)试求试求a,ba,b的值并求出的值并求出f(x)f(x)的单调区间的单调区间.(2)(2)求在区间求在区间-2,2-
29、2,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值.【解析解析】(1)(1)因为因为f(x)=xf(x)=x3 3-3ax-3ax2 2+2bx,+2bx,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-6ax+2b,-6ax+2b,由已知得由已知得f(1)=0,f(1)=0,则则3-6a+2b=0,3-6a+2b=0,因为当因为当x=1x=1时有极小值时有极小值-1,-1,所以所以f(1)=1-3a+2b=-1,f(1)=1-3a+2b=-1,由得由得a=,b=-,a=,b=-,把把a=,b=-a=,b=-代入代入f(x)f(x)中中,得得f(x)=xf(x)=x3 3-x-x2 2-x,-x,所以所以
30、f(x)=3xf(x)=3x2 2-2x-1,-2x-1,令令f(x)=0,f(x)=0,则则f(x)=(3x+1)(x-1)=0,f(x)=(3x+1)(x-1)=0,若若f(x)0,f(x)0,即在即在(-,-),(1,+)(-,-),(1,+)上上,函数函数f(x)f(x)单调递增单调递增,若若f(x)0,f(x)0),f(x)=1-(x0),因而因而f(1)=1f(1)=1，f(1)=-1f(1)=-1，所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)在点在点A(1,f(1)A(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为y-1=-(x-1),y-1=-(x-1),即即x+y-2=0.x+y-2=
31、0.a.x2x(2)(2)由由f(x)=x0f(x)=x0知：知：当当a0a0时时,f(x)0,f(x)0,函数函数f(x)f(x)为为(0,+)(0,+)上的增函数上的增函数,函数函数f(x)f(x)无极无极值值;当当a0a0时时,由由f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=a.x=a.又当又当x(0,a)x(0,a)时时,f(x)0;,f(x)0.,f(x)0.从而函数从而函数f(x)f(x)在在x=ax=a处取得极小值处取得极小值,且极小值为且极小值为f(a)=a-alna,f(a)=a-alna,无极大值无极大值.综上综上,当当a0a0时时,函数函数f(x)f(x)无极值无极值;当当a
32、0a0时时,函数函数f(x)f(x)在在x=ax=a处取得极小值处取得极小值a-alna,a-alna,无极大值无极大值.axa1,xx规范解答规范解答2 2 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用【典例典例】设函数设函数f(x)=f(x)=(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间,最大值最大值.(2)(2)讨论关于讨论关于x x的方程的方程|lnx|=f(x)|lnx|=f(x)根的个数根的个数.2xxc.e解题导思解题导思 研读信息快速破题研读信息快速破题规范解答规范解答 阅卷标准阅卷标准 体会规范体会规范(1)(1)因为因为f(x)=+c,f(x)=+c,所以所以f(x
33、)=(1-2x)ef(x)=(1-2x)e-2x-2x，1 1分分令令(1-2x)e(1-2x)e-2x-2x=0=0，解得，解得x=x=当当x x0,f(x)f(x)0,f(x)为单调增函数为单调增函数，当当x x 时，时，f(x)0,f(x)f(x)0ln x0，则，则g(x)=ln x-xeg(x)=ln x-xe-2x-2x-c-c，所以所以g(x)=eg(x)=e-2x-2x(+2x-1)(+2x-1)，因为因为x(1,+)x(1,+)，所以，所以2x-102x-10，00，于是于是g(x)0g(x)0，因此，因此g(x)g(x)在在(1,+)(1,+)上为单调递增函数上为单调递增函
34、数.6 6分分2xex2xex()()当当x(0,1)x(0,1)时，时，ln x0ln x1x01x0，于是于是-1-1，又因为，又因为2x-112x-11，所以，所以-+2x-10-+2x-10，即即g(x)0,g(x)0,-c0,即即c-ec-e-2-2时时,g(x),g(x)没有零点没有零点,故关于故关于x x的方程的方程|lnx|=f(x)|lnx|=f(x)根的个数为根的个数为0;0;9 9分分当当g(1)=-eg(1)=-e-2-2-c=0,-c=0,即即c=-ec=-e-2-2时时,g(x),g(x)只有一个零点只有一个零点,故关于故关于x x的方程的方程|lnx|=f(x)|lnx|=f(x)根的个数为根的个数为1;1;1010分分当当g(1)=-eg(1)=-e-2-2-c0,-c-ec-e-2-2时时,g(x),g(x)有两个零点有两个零点,故关于故关于x x的方程的方程|lnx|=f(x)|lnx|=f(x)根的个数是根的个数是2.2.1111分分综上所述综上所述,当当c-ec-ec-e-2-2时时,方程方程|lnx|=f(x)|lnx|=f(x)根的个数为根的个数为2.2.1212分分
