1、加法原理加法原理 例例1 1 学校组织读书活动，要求每个同学读学校组织读书活动，要求每个同学读一本书小明到图书馆借书时，图书馆有不一本书小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书同的外语书150150本，不同的科技书本，不同的科技书200200本，不本，不同的小说同的小说100100本那么，小明借一本书可以本那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？分析分析:在这个问题中，小明选一本书有三类在这个问题中，小明选一本书有三类 方法即要么选外语书，要么选科技书，方法即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说所以，是应用加法原理的问题要么选小说所以，是应用加法原理的问题 解：小明借一
2、本书共有：解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）（种）不同的选法不同的选法例例2 一个口袋内装有一个口袋内装有3个小球，另一个个小球，另一个 口袋内装有口袋内装有8个小球，所有这些小个小球，所有这些小 球颜色各不相同问：球颜色各不相同问：从两个口袋内任取一个小球，有多少从两个口袋内任取一个小球，有多少 种不同的取法？种不同的取法？从两个口袋内各取一个小球，有多少从两个口袋内各取一个小球，有多少 种不同的取法？种不同的取法？分析分析 从两个口袋中只需取一个小从两个口袋中只需取一个小 球球,则这个小球要么从第一个口则这个小球要么从第一个口 袋中取，要么从第二个口袋中袋中取，要么
3、从第二个口袋中 取，共有两大类方法所以是加取，共有两大类方法所以是加 法原理的问题法原理的问题 要从两个口袋中各取一个小球，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一则可看成先从第一个口袋中取一 个，再从第二个口袋中取一个，个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问分两步完成，是乘法原理的问题题解：解：从两个口袋中任取一个小球共有从两个口袋中任取一个小球共有 3+8=11（种），（种），不同的取法不同的取法从两个口袋中各取一个小球共有从两个口袋中各取一个小球共有 38=24（种）（种）不同的取法不同的取法例例3 3 如右图，从甲地到乙地有如右图，从甲地到乙地有4 4条
4、路条路可走，从乙地到丙地有可走，从乙地到丙地有2 2条路可走，条路可走，从甲地到丙地有从甲地到丙地有3 3条路可走那么，条路可走那么，从甲地到丙地共有多少种走法？从甲地到丙地共有多少种走法？分析分析 从甲地到丙地共有两大类不同的走从甲地到丙地共有两大类不同的走法法第一类，由甲地途经乙地到丙地这时，第一类，由甲地途经乙地到丙地这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有要分两步走，第一步从甲地到乙地，有4种种走法；第二步从乙地到丙地共走法；第二步从乙地到丙地共2种走法，所种走法，所以由乘法原理，这时共有以由乘法原理，这时共有42=8种不同的种不同的走法走法第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，第二类，
5、由甲地直接到丙地，由条件知，有有3种不同的走法种不同的走法解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：42+3=11（种）（种）不同的走法不同的走法1 1如右图，从甲地到乙地有三条路，如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丁地有三条路，从甲地到丙地从乙地到丁地有三条路，从甲地到丙地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？从甲地到丙地共有多少种走法？334+2=38（种）（种）2书架上有书架上有6本不同的画报和本不同的画报和7本不同本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多
6、少种不同的拿法？有多少种不同的拿法？6+7+15+21+67=91（种）（种）提示：拿两本的情况分为提示：拿两本的情况分为2本画报或本画报或2本书或一本画报一本本书或一本画报一本书书3 3如下图中，沿线段从点如下图中，沿线段从点A A走最短走最短 的的路线到路线到B B，各有多少种走法？，各有多少种走法？（1）6；（2）10；（3）20；（4）35 例例4 如下页图，一只小甲虫要从如下页图，一只小甲虫要从A点出点出发沿着线段爬到发沿着线段爬到B点，要求任何点和线点，要求任何点和线段不可重复经过问：这只甲虫有多少段不可重复经过问：这只甲虫有多少种不同的走法？种不同的走法？分析分析 从从A点到点到
7、B点有两类走法点有两类走法，一类是一类是从从A点先经过点先经过C点到点到B点点，一类是从一类是从A点点先经过先经过D点到点到B点点两类中的每一种具两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从中，都要用乘法原理，而最后计算从A到到B的全部走法时，只要用加法原理求的全部走法时，只要用加法原理求和即可和即可 解：解：从从A点先经过点先经过C到到B点共有：点共有：13=3（种）（种）不同的走法不同的走法从从A点先经过点先经过D到到B点共有：点共有：23=6（种）（种）不同的走法不同的走法所以，从所以，从A点到点到B点点共有：共有：3+
8、6=9（种）（种）不同的走法不同的走法例例5 有两个相同的正方体，每个正方有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6将两个正方体放到桌面上，将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？种情形？分析分析 要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑同为偶数，所以，要分两大类来考虑第一类，两个数字同为奇数由于放两个正方第一类，两个数字同为奇数
9、由于放两个正方体可认为是一个一个地放放第一个正方体时，出体可认为是一个一个地放放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即现奇数有三种可能，即1 1，3 3，5 5；放第二个正方体，；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3 33=93=9种不同的情形种不同的情形第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有论方法，也有3 33=93=9种不同情形种不同情形最后再由加法原理即可求解最后再由加法原理即可求解例例6 从从1到到500的所有自然数中，不含的所有自然数中，不含有数字有数字4的自然数有
10、多少个？的自然数有多少个？分析分析 从从1到到500的所有自然数可分为三大类，即的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数，两位数，三位数一位数中一位数中，不含，不含4的有的有8个，它们是个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中两位数中，不含，不含4的可以这样考虑：十位上，的可以这样考虑：十位上，不含不含4的有的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情这八种情况个位上，不含况个位上，不含4的有的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共十位数，再取个位数，应用乘
11、法原理，这时共 有有 89=72个数不含个数不含4三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有399=243个三位数由于500也是一个不含4的三位数所以，1500中，不含4的三位数共有399+1=244个 解：在解：在1500中，不含中，不含4的一位数有的一位数有8个；不含个；不含4的两位数有的两位数有89=72个；个；不含不含4的三位数有的三位数有399+1=244个，个，由
12、加法原理，在由加法原理，在1500中，共有：中，共有：8+89+399+1=324（个）（个）不含不含4的自然数的自然数4在在11000的自然数中，一共有多的自然数中，一共有多少个数字少个数字0？9+180+3=192（个）5 5在在1 1500500的自然数中，不含数字的自然数中，不含数字0 0和和1 1的数有多少个？的数有多少个？8+88+88+38+38 88=2648=264（个）（个）6十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？9+8+7+6+5+4+3+2+1=459+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次（次）7、有五顶不同的帽子，两
13、件不同的上、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？问：有多少种不同的装束？523=30(种种)例例7 7 如下页左图，要从如下页左图，要从A A点沿线段走点沿线段走 到到B B，要求每一步都是向右、向，要求每一步都是向右、向 上或者向斜上方问有多少种上或者向斜上方问有多少种 不同的走法？不同的走法？分析分析 观察下页左图，注意到，从观察下页左图，注意到，从A A到到B B要一要一 直向右、向上，那么，经过下页右图直向右、向上，那么，经过下页
14、右图 中中C C、D D、E E、F F四点中的某一点的路线四点中的某一点的路线 一定不再经过其他的点也就是说从一定不再经过其他的点也就是说从 A A到到B B点的路线共分为四类，它们是分点的路线共分为四类，它们是分 别经过别经过C C、D D、E E、F F的路线的路线 第一类第一类，经过，经过C C的路线，分为两步，的路线，分为两步，从从A A到到C C再从再从C C到到B B，从，从A A到到C C有有2 2条路可走，条路可走，从从C C到到B B也有两条路可走，由乘法原理，从也有两条路可走，由乘法原理，从A A经经C C到到B B共有共有2 22=42=4条不同的路线条不同的路线第二类
15、第二类，经过，经过D D点的路线，分为两步，点的路线，分为两步，从从A A到到D D有有4 4条路，从条路，从D D到到B B有有4 4条路，由乘法条路，由乘法原理，从原理，从A A经经D D到到B B共有共有4 44=164=16种不同的走种不同的走法法 第三类第三类，经过，经过E E点的路线，分为点的路线，分为两步，从两步，从A A到到E E再从再从E E到到B B，观察发，观察发现各有一条路所以，从现各有一条路所以，从A A经经E E到到B B共有共有1 1种走法种走法第四类第四类，经过，经过F F点的路线，从点的路线，从A A经经F F到到B B只有一种走法只有一种走法最后由加法原理即
16、可求解最后由加法原理即可求解解：如上右图，从解：如上右图，从A A到到B B共有下面的走法：共有下面的走法：从从A A经经C C到到B B共有共有2 22=42=4种走法；种走法；从从A A经经D D到到B B共有共有4 44=164=16种走法；种走法；从从A A经经E E到到B B共有共有1 1种走法；种走法；从从A A经经F F到到B B共有共有1 1种走法种走法所以，从所以，从A A到到B B共有：共有：4+16+1+1=224+16+1+1=22种不同的走法种不同的走法 例例8 8 甲组有甲组有6 6人，乙组有人，乙组有8 8人，丙组人，丙组 有有9 9人。从三个组中各选一人人。从三
17、个组中各选一人 参加会议，共有多少种不同参加会议，共有多少种不同 选法？选法？6 68 89=432(9=432(种种)例例9 9从甲地到乙地有从甲地到乙地有4 4条不同的路，从条不同的路，从乙地到丙地有乙地到丙地有6 6条不同的路。那么从甲条不同的路。那么从甲地经乙地到丙地共有多少不同的路？地经乙地到丙地共有多少不同的路？4 46=24(6=24(条条)8 8、用一张、用一张1010元、一张元、一张5 5元、一张元、一张 2 2元、一张元、一张1 1元，可组成多少元，可组成多少 种不同的币值？种不同的币值？4+6+4+1=15(4+6+4+1=15(种种)9 9、从、从5 5幅国画，幅国画，3 3幅油画，幅油画，2 2幅水彩幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？室，问有几种选法？解：依加法原理，选取两幅不同类型解：依加法原理，选取两幅不同类型 的画布置教室的选法有的画布置教室的选法有:151510106 63131种种
