1、1.1 等腰三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第第1 1课时课时 三角形的全等和等腰三角形的性质三角形的全等和等腰三角形的性质 学习目标1.回顾全等三角形的判定和性质;2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用 其解决基本的几何问题.(重点)导入新课导入新课情境引入问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?斜拉桥梁埃及金字塔体育观看台架问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.思考：你能证明等
2、腰三角形的“三线合一”吗？问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？1.两点确定一条直线；2.两点之间线段最短；3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直；4.同位角相等，两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；8.三边分别相等的两个三角形全等.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；(2
3、)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.讲授新课讲授新课全等三角形的判定和性质一已知：如图,A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.证明：A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180），C=180(A+B)，F=180(D+E).A=D,B=E（已知），C=F（等量代换）.BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）.FEDCBA总结归纳定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的
4、性质吗?推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?定理:等腰三角形的两个底角相等.等腰三角形的性质及其推论二问题引入等腰三角形的两个底角相等.ABC已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？已知：如
5、图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC (已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，BAD CAD(SSS).B=C(全等三角形的对应角相等).在BAD和CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.AB=AC (已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BAD CAD(SAS).B=C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在BAD和CAD中想一想：由BAD CAD，除了可以得到B=C之外，你还可以得
6、到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又 ADB+ADC=180，ADB=ADC=90，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线.ABCD定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用.总结归纳推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.ACBD1 2AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合
7、一）.AB=AC,BD=CD(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在ABC中,ABCD 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC；ABC,ABD,BCD.ABCDx2x2x2x（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？BDC=A+ABD=2 A=2 ABD,ABC=BDC=2 A,C=BDC=2 A.（4）设A=x,请把 ABC的内角和
8、用含x的式子表示出来.A+ABC+C=180，x+2x+2x=180,ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72.x2x2x2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.归纳例2 如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)若ADAE，求证：BDCE；(2)若BDCE，F为DE的中点，如图，求证：AFBC.解析：(1)过A作AGB
9、C于G，根据等腰三角形的性质得出BGCG，DGEG即可证明；(2)先证BFCF，再根据等腰三角形的性质证明图图ABD GECABDECF证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.图图ABD GECABDECF当堂练习当堂练习1.如图，已知ABAE，BADCAE，要使ABC AED，还需添加一个条件，这个条件可以是_CD（答案不唯一）2.(1)等腰三角形一个底角为为75,它的另外两个角为_；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为 _；(3)等腰三
10、角形一个角为120,它的另外两个角为_.75,3072,72或或36,10830,30结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）20顶角1800底角90课堂小结课堂小结等腰三角形的性质等边对等角三线合一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.全等三角形的对应边相等，对应角相等.1.1 等腰三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第2课时 等边三角形的性质 学习目标1.进
11、一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角 形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问 题.(重点、难点)在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？导入新课导入新课情境引入讲授新课讲授新课等腰三角形的重要线段的性质一ACBDEACBMNACBPQ 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？猜想：底角的两条平
12、分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.你能证明你的猜想吗？例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等ACBE已知:求证:BD=CE.如图,在ABC中,AB=AC,BD和CE是ABC的角平分线1 2猜想证明D2=ACB(已知),AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).证明：12又1=ABC，121=2(等式性质)在BDC与CEB中，DCB=EBC（已知），BC=CB（公共边），1=2（已证），BDCCEB（ASA）BD=CE(全等三角形的对应边相等)ACBE1 2D又CM=，BN=，12AB例2 证明:等腰三角形两腰上的中线相等BM=CN求证:已知：如图,在ABC中,AB=A
13、C,BM,CN 是ABC两腰上的中线12AC证明：AB=AC(已知)，ABC=ACB.CM=BN在BMC与CNB中，BC=CB,MCB=NBC,CM=BN，BMCCNB（SAS）BM=CN.ACBMN例3 证明:等腰三角形两腰上的高相等BP=CQ求证:已知：如图,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高证明：AB=AC(已知)，ABC=ACB.在BMC与CNB中，BC=CB,QBC=PCB,BQC=CPB，BQCCPB（SAS）BP=CQ.ACBPQ还有其他的结论吗?ACBDE1.已知:如图,在ABC中,AB=AC.（1）如果ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE吗?为什么
14、？（2）如果ABD=ABC，ACE=ACB 呢?由此你能得到一个什么结论?议一议：13131414 如果ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE吗?1n1n过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.BD=CEBD=CEBD=CE2.已知:如图,在ABC中,AB=AC.(1)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？1313ACBDEBD=CE(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？1414BD=CE由此你能得到一个什么结论?(3)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？1n1nBD=CE两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.这里是一个
15、由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.等边三角形的性质二想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.可以利用等腰三角形的性质进行证明.怎样证明这一定理了？定理证明已知：如图,在ABC中，AB=AC=BC求证：A=B=C=60ACB证明：在ABC中，AB=AC(已知)，B=C(等边对等角).同理A=B又A+B+C=180(三角形的内角和等于180)，A=B=C=60定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.BCDAE例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求EDA的度
16、数.解：ABC是等边三角形，CBA=60.BD是AC边上的中线，BDA=90,DBA=30.BD=BE，BDE=(180 DBA)2=(18030)2=75.EDA=90 BDE=9075=15.当堂练习当堂练习ACBDE1.如图,ABC和ADE都是等边三角形，已ABC的周长为18cm,EC=2cm,则ADE的周长是 cm.122.如图所示，ACM和BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.证明：ACM和BCN都为等边三角形，1360，123 2，即ACNMCB.CACM，CBCN，CANCMB(SAS)，ANBM.3.如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角
17、形，求AEB的大小.CBODAE解：OAB和OCD是两个全等的等边三角形.AO=BO,CO=DO,AOB=COD=60.A、O、D三点共线，DOB=COA=120，COA DOB(SAS).DBO=CAO.设OB与EA相交于点F,EFB=AFO，AEB=AOB=60.F变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出AEB的大小吗？DCABEO方法与前面相同，AEB=60.课堂小结课堂小结等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.定理：等边三角形的三个内角都相等，
18、并且每个角都等于60.1.1 等腰三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点、难点）2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；（重点）学习目标复习引入导入新课导入新课问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？等腰三角形的两底角相等(简写成 等边对等角”)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 三线合一”)问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？题设：一个三角形是等腰三角形 结论：相等的两边所对应的角相等思考：如图，在ABC中，如果B=C，那么A
19、B与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm讲授新课讲授新课等腰三角形的判定一ABC如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得B=C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？互动探究已知：如图，在ABC中,B=C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?建立数学模型：CAB做一做：画一个ABC，其中B=C=30，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC你能验证你的结论吗？在ABD与ACD中，中，1=2，ABD ACD（AAS）.B=C，AD=AD，AB=AC.过A作
20、AD平分BAC交BC于点D.证明：CAB21D（ABC是等腰三角形.结论验证：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).等腰三角形的判定定理：在ABC中，B=C,应用格式：AB=AC(等角对等边).ACB总结归纳ABCD211=2,BD=DC（等角对等边）.1=2,DC=BCABCD21（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中.辨一辨：如图,下列推理正确吗?例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：AED是等腰三角形.ABCDE证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA,ABDDCA(SSS),ADB=DAC(全等三角形的对应角相等）,AE=DE
21、(等角对等边）,AED是等腰三角形.典例精析例2 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DEBC.求证：ADE为等腰三角形.证明 AB=AC，B=C.又 DEBC，ADE=B，AED=C.ADE=AED.ADE为等腰三角形.想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?ABC反证法二 如图,在ABC中,已知BC,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.假设AB=AC,那么根据“等角对等边”定理可得B=C,但已知条件是 BC.“B=C”与“BC”相矛盾，因此ABAC.小明是这样想的:你能
22、理解他的推理过程吗?在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法 总结归纳用反证法证题的一般步骤1.假设:先假设命题的结论不成立;2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与 定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确.例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：ABC求证：A,B,C中不能有两个角是直角【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“A,B,C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“A,B,C中有两个
23、角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾典例精析证明：假设A,B,C中有两个角是直角，不妨设A=B=90，则A+B+C=90+90+C180这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角当堂练习当堂练习E21ABCD7236如果AD=4cm，则1.已知:如图,A=36，DBC=36，C=72,1=,2=；图中有 个等腰三角形；BC=cm；723634 个等腰三角形.如果过点D作DEBC,交AB于点E,则图中有52.已知：等腰三角形ABC的底角ABC和 ACB的平分线相交于点O.求证：OBC为等腰三角形.ABCDEO证明:ABC和ACB的平分线相交于点
24、O，ABD=DBC=，ACE=ECB=.12ABC12ACB DBC=ECB，OBC是等腰三角形.又 ABC是等腰三角形，ABC=ACB，3.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.l1l2l3P 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行假设不成立l3与l2 不相交l3l2l1l2假设_,那么_.这与“_ _”矛盾.所以_,即求证的命题正确.证明:因为已知_,所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,课堂小结课堂小结等腰三角形的判定等角对等边有两个角
25、相等的三角形是等腰三角形反证法先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.1.1 等腰三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第4课时 等边三角形的判定及含30角的直角三角形的性质 学习目标1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)2.掌握含30角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)导入新课导入新课观察与思考观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？一个三角形满足什么条件就是等边三角形?由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等
26、的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些定理吗？等边三角形的判定一讲授新课讲授新课ABC已知：如图，A=B=C.求证：AB=AC=BC.A=B,AC=BC.B=C,AB=AC.AB=AC=BC.证明：三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.定理1：定理2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.ABC已知：若AB=AC ,A=60.求证：AB=AC=BC.证明：AB=AC ,A=60.BC (180。A)=60.A=B=C.AB=AC=BC.证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？12证明:AB=AC,B=60(已知),C=B=60
27、(等边对等角)，A=60(三角形内角和定理)A=B=C=60 ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在ABC中，AB=AC,B=60求证:ABC是等边三角形第二种情况：有一个底角是60.ACB60【验证】等腰三角形(含等边三角形)性质判定的条件等边对等角等角对等边“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合有一角是60的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60三个角都相等的三角形是等边三角形归纳总结例1 如图,在等边三角形ABC中，DEBC,求证：ADE是等边三角形.ACBDE证明：ABC是等边三角形，A=B=C.DE/
28、BC,ADE=B,AED=C.A=ADE=AED.ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？典例精析变式：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE,ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,求证：ADE是等边三角形.证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60.AD=AE,ADE是等腰三角形是等腰三角形 ADE是等边三角形.又 A=60.含30角的直角三角形的性质二操作:用两个含有30角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？30303030你能说出所拼成的三角形的形状吗？猜想：在直角三角形中,30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？3030303
29、0303030303030合作探究结论结论:在直角三角形中在直角三角形中,30,30角所对的直角边等于斜边的角所对的直角边等于斜边的一半一半.已知:如图,在ABC中,ACB=90，A=30.求证:BC=AB.12A30BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转 化“线段相等”问题猜想验证30 30 ACB=90,(已知)ACD=90，(平角意义)在ABC与ADC中，BC=DC，（作图）ACB=ACD，（已证）AC=AC，（公共边）ABCADC（SAS），AD=AB；ACB=90,BAC=30，(已知)B=60，ABD是等边三角形，(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)BC=BD=AB(等
30、式性质)30ABCD证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD，2121定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半几何语言：在ABC中,ACB=90,A=30BC=AB(在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半)ABC30推论：归纳总结CBAD例2 如图，在ABC中，已知AB=AC=2a,B=ACB=15,CD是腰AB上的高，求CD的长.解：B=ACB=15，(已知)DAC=B+ACB=15+15=30，ADC=90，CD=AC=a（在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半）12例3 已知:如图,在ABC中，ACB=9
31、0，A=30，CDAB于D求证:BD=DACB30证明：A=30，CDAB，ACB=90BC=B=60BCD=30，BD=BD=AB4AB2，CB2，AB.4 1.已知ABC中，A=B=60，AB=3cm，则ABC的周长为_cm.9当堂练习当堂练习2.在ABC中，B90，C30，AB3则AC=_;BC=_ABC33063 33.已知：如图，AB=BC，CDE=120，DFBA，且DF平分CDE.求证：ABC是等边三角形.证明:AB=BC，ABC是等边三角形.又CDE=120，DF平分CDE.FDC=ABC=60，ABC是等腰三角形，EDF=FDC=60，又DFBA，证明：延长BC至D，使CD=
32、BC，连接AD.ACB=90，ACD=90又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等边三角形B=60在RtABC中，BAC=304已知：在RtABC中，C=90,BC=AB求证：BAC=30CBAD121212课堂小结课堂小结1.等边三角形的判定:有一个角是60的等腰三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形2.特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于303.数学方法：分类的思想1
33、.2 直角三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第1课时 直角三角形的性质与判定 1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三 角形的性质和判定.2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解 决问题.（重点、难点）学习目标直角三角形的两个锐角互余.问题1 直角三角形的定义是什么？问题2 三角形内角和的性质是什么？有一个是直角的三角形叫直角三角形.三角形内角和等于180.这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.导入新课导入新课复习引入问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，如
34、果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.讲授新课讲授新课直角三角形的性质与判定一问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？问题引入根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？如图，在ABC中，A+B=90，那么ABC是直角三角形吗？在ABC中，因为 A+B+C=180，又A+B=90，所以C=90.于是ABC是直角三角形.勾股定理与逆定理二知识回顾勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.acb勾弦股证明欣赏221112222
35、11222211112222212222111222222()()(2).sa b a baab bababsababcabcssabababcabc，bacbac1美国第二十任总统的证法：cabcabcabcab(a+b)2=c2+，a2+2ab+b2=c2+2ab，a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 ；(a+b)2c2+2利用正方形面积拼图证明：142ab142abc c2=+(b-a)2，c2=2ab+b2-2ab+a2，c2=a2+b2，a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 c2 +(b-a)23赵爽弦图14ab214ab2ca ca cb
36、 aabbb如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？ABC已知：如图,在ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:ABC是直角三角形分析：构造一个直角三角形与ABC全等，你能自己写出证明过程吗？例1 证明此命题：证明：作RtDEF,使E=90,DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)AC2+BC2=AB2(已知),DE=AC,FE=BC(作图),AB2=DF2，AB=DF，ABCDFE（SSS）C=E=90,ABC是直角三角形 DFE ABC归纳总结定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边
37、的平方,那么这个三角形是直角三角形勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方互逆命题与互逆定理三议一议定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件观察上面三组命题,你发现了什么?1.两直线平行,内错角相等；3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；2.内错角相等,两直线平行；5.一个三角形中相等的边所对的角相等；6.一个三角形中相等的角所对的边相等；说出下列命题的条件和结论：在
38、两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为：条件为：两直线平行；结论为：内错角相等因此它的逆命题为：内错角相等，两直线平行.归纳总结例2 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.条件：一个三角形是直角三角形.结论：它的两个锐角互余.逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.典例精析(2)等边
39、三角形的每个角都等于60.条件：一个三角形是等边三角形;结论：它的每个角都等于60.逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60，那么这个三角形是等边三角形.（3）全等三角形的对应角相等.条件：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题知识归纳知识归纳例3 举例说明下列命题的逆命题是假命题.（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题
40、：如果两个角相等，那么这两个角是直角.例如10能被5整除，但它的个位数是0.（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数 能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.例如60=60，但这两个角不是直角.如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.注意2：不是所有的定理都有逆定理.知识归纳当堂练习当堂练习1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4 c
41、m B.5 cm C.6 cm D.10 cm【解析】RtABC中，AB2=AC2+BC2=100，AB=10cm.BE=AB=5cm.12B 2.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.(1)同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.真直角三角形角的性质课堂小结课堂小结边的性质勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形定理1：直角三角形的两个锐角互余；定理2：有两个角
42、互余的三角形是直角三角形.互逆命题与互逆定理互逆命题互逆定理一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的条件.概念概念1.2 直角三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第2课时 直角三角形全等的判定 情境引入学习目标1探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”（难点）2会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等（重点）旧知回顾旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法导入新课导入新课ABCABCCBAACBCAB思考：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ABCABC1
43、.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？口答：动脑想一想如图，已知AC=DF，BC=EF，B=E，ABCDEF吗？我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即B=E=90，且AC=DF，BC=EF，现在能判定ABCDEF吗？ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）一讲授新课讲授新课 任意画出一个RtABC,使C=90.再画一个RtA B C
44、，使C=90,BC=BC,A B=AB,把画好的RtAB C 剪下来，放到RtABC上，它们能重合吗？ABC作图探究画图方法视频（点击文字播放）画图思路画图思路（1）先画）先画M C N=90ABCM CN画图思路（2）在射线）在射线CM上截取上截取BC=BCMCABCNBMC画图思路（3）以点）以点B为圆心，为圆心，AB为半径画弧，交射线为半径画弧，交射线CN于于AMCABCNBA画图思路（4）连接）连接ABMCABCNBA思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？知识要点“斜边、直角边”判定方法u文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.u几
45、何语言：ABCA BC 在RtABC和Rt ABC 中，RtABC Rt ABC(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=AB,BC=BC,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等 （）HLSASAASAAS判一判典例精析 例1 如图，ACBC，BDAD，ACBD，求证：BCAD.证明：ACBC，BDAD，C与与D都是直角
46、.AB=BA,AC=BD.在 RtABC 和RtBAD 中，RtABCRtBAD(HL).BCAD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.变式1：如图，ACB=ADB=90，要证明ABC BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）ABDCAD=BC DAB=CBABD=AC DBA=CABHL HLAASAAS如图，AC、BD相交于点P,ACBC，BDAD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.变式2HLAC=B
47、DRtABDRtBAC如图：ABAD，CDBC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.变式3HLADB=CBDRtABDRtCDBADBC例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，如果ADAF，ACAE.求证：BCBE.证明：AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，且ADAF，ACAE，RtADCRtAFE(HL)CDEF.ADAF，ABAB，RtABDRtABF(HL)BDBF.BDCDBFEF.即BCBE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件例
48、3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角B和F的大小有什么关系？解：在RtABC和RtDEF中,BC=EF,AC=DF,RtABCRtDEF(HL).B=DEF(全等三角形对应角相等).DEF+F=90,B+F=90.1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等DA当堂练习当堂练习2.如图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点 E，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4，则 CH的长为（）A1 B2 C3 D44.如图，在AB
49、C中，已知BDAC，CE AB，BD=CE.求证：EBCDCB.ABCED证明：BDAC，CEAB，BEC=BDC=90.在 RtEBC 和RtDCB 中，CE=BD，BC=CB，RtEBCRtDCB(HL).3.如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）.全等HLAFCEDB5.如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:BFAC,DEAC,BFA=DEC=90.AE=CF，AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在RtABF和RtCDE中，AB=CD,AF=CE,RtABFRtCDE(HL).BF=DE
50、.如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BD平分EF.AFCEDBG G变式训练1 AB=CD,AF=CE.RtABFRtCDE(HL).BF=DERtGBFRtGDE(AAS).BFG=DEGBGF=DGEFG=EGBD平分EF如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?变式训练2C AB=CD,AF=CE.RtABFRtCDE(HL).BF=DERtGBFRtGDE(AAS).BFG=DEGBGF=DGEFG=EGBD平分EF6.如图，有一直角三角形ABC，C90，AC10cm，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直
