1、双勾函数与不等式的应用一、双勾函数xxy1下面研究函数1、定义域：),0()0,(2、值域：xxxxy11:12法把上式去分母，移项，合并同类项，整理得：012 xyxRx042y解得：22,y当且仅当x=1时，y=2 x=-1时，y=-2同号与中法xxxxy11:22121,0 xxxxyx时当当且仅当x=1时，y=22)1)(2)1()(1,0 xxxxxxyx时当当且仅当x=-1时，y=-2 22,y ,1,1,3、奇偶性其定义域是关于原点对称的，且满足f(-x)=-f(x)形式，所以此函数为奇函数。4、图象如右oxy1-12-2y=x5、单调性从图易知单调递增区间为单调递减区间为 1,
2、0,0,1例1 求函数11xxy的值域解：111111xxxxy令x-1=u，则),1()1,(u上式可化为11uuy1232yxyx时当且仅当时当且仅当,31,y例2 求函数3cos1cosy的最值。解：23cos41cos12,4cosuu则令上式可化为31uuy124所以函数在24上单调递增。.21,2,23cos,45,)12(,43cosmaxminykuyku时即当时即当练习：1、求函数.)22(cos22cos的最值xxxy2、求函数的最值2,0sin4cos122xxxy答案答案3、已知正数a、b满足12ba求a+b的最小值。4、求函数xxxxy2222cossin1cossi
3、n的最小值。),2()2,0(cossin2xxxy解：函数xxy242cossin5、求函数的最值),2()2,0(xxxycossin2xxxy2222cossinsin即xxxy2222cos)cos1()cos1(也就是xxxy2222cos2)cos1()cos1(21即32222)3cos2cos1cos1(21xxxy274278213920y号时取即当且仅当2cos2sin22tgxxx例3 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底 宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数 与a,b的乘积a
4、b成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略 不计）。ABab2解法一：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。由题设知4b+2ab+2a=60(a0,b0)，即 a+2b+ab=30(a0,b0)。当且仅当a=2b时，上式取等号。由a0，b0，解得00为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。根据题设，有4b+2ab+2a=60(a0,b0)，得 b=30-a/2+a(0a30)，当a+2=64/(a+2)时取等号，y达最小值。这时a=6,a=-10（舍去）。将a=6代入式得b=3。故当a为6米，b为3米时，经沉淀
5、后流出的水中该杂质的质量分数最小。aaakabky230于是aaak2302aaak2643064226432aak264234aak64234k 例4、已知直角三角形的周长为定值l，求它的面积的最大值。ababab)22(22,22baba解：由已知，得22222 ab22223ab故面积2422321abS于是当22222 ba面积有最大值24223练习1、已知圆柱的体积为定值V，求圆柱全面积的最小值。答案2、从半径为R的圆形铁片里剪去一个扇形，然后把剩下部分 卷成一个圆锥形漏斗，要使漏斗有最大容量，剪去扇形的 的圆心角应是多少弧度？答案1、21,021,02cos1,0cos)2,2(x
6、即x2cos令所以原式可化为：xxy1而此函数在区间21,0 x上是单调减函数因此当且仅当21x时函数有最小值25y而无最大值。2、xxxxy2222csc4secsin4cos1)1(4122xctgxtgxctgxtg22450,0)2,0(ctgxtgxx9225ctgxtgx当且仅当号时取即2,222tgxxtgctgxtgx返回3、3322234322,0,0babaababa333223,212,21,2,2取最小值时即当即于是当babababa4、法一：xxxxxx2sin42sin41cossin1cossin222222xxx2sin4152sin412sin41222xxx
7、x2sin41516122sin4152sin412sin41222224174152141712sin2sin412sin41222时取到值当xxx显然，当sin2x=1时，上面两个式子同时成立，故原式有最小值417法二、可设sin2x=t，再利用函数的单调性求解。返回1、法一：设圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S。则,2Vhr,2rVhrVrrhrS222222于是322232VrVrVr323223,2,2VSVrrVr有最小值为全面积时即当法二：rhrhrrhrS222223232432323Vhr323223,22,2VSVrrhrhr有最小值为全面积时即当返回2、解：如图，设圆
8、锥形漏斗轴截面顶角为2，底面半径为r，高为h，则于是,cos,sinRhRrcossin331222RhrV2422cossin,0cossinyy则令rR3222)3cos2sinsin(2121)cos2(sinsin22227427821932y于是32732RV3622,36sin,2cos2sin22Rrtg此时得当.,)361(2所做漏斗的容量最大时当剪去扇形的圆心角为例5、过点P（1，4）引一直线l，它在两条坐标轴上的截距皆为 正且它们的和最小，求这条直线的方程。分析：首先设出过P点的直线l:y-4=k(x-1)，于是l与两坐标轴的 交点分别是,54414,),4,0(),0,1
9、4(最小应是由题设kkkkkBkA.0,04kk这就需要由题意不难判断若直线l在两坐标轴上的截距皆正，必然有其倾斜角大于,0,2k即因此均值不等式对正数的要求就可以满足了。解：由前面的分析，l在两坐标轴上的截距之和为：95)(4(2544)14(kkkkkk.2,4时到等号即当且仅当kkk故所求直线方程为(y-4)=-2(x-1),即2x+y-8=0.例6、已知椭圆：BAbabyax,),0(12222是椭圆上两点，线段AB的垂直线与x轴交于点abaxabaxP220220:),0,(证明分析：由线段垂直平分线性质可得|PA|=|PB|，这样就建立了关于点P的方程，再由椭圆上点的坐标的取值范围
10、，可求。证明：设A、B两点的坐标分别为,),(),(212211xxyxyx且和由于点P在AB的垂直平分线上，则|PA|=|PB|。.)()(2220221201yxxyxx)1(0)2)(222102121yyxxxxx,在椭圆上AB)2(.,22222222122221xabbyxabby将（2）代入（1）式，得0)()2)(21222202121xxabxxxxx222210212,abaxxxxx,2121xxaxaaxa且又axxa2221abaxaba22022.|,1|72的最大值求且已知例izzUzCz331|max22UzzizzU错解错解的原因是利用了复数模的不等式：但是忽
11、略了等号成立的条件同向共线时取等号右边不等式当且仅当21212121,zzzzzzzz共线因此等号不成立对应的向量不可能同向而izz,22,0sincos:iz设解)1sin2(sin)cossin(cos|222iizzU则22)1sin2(sin)cos2(coscossin4)cos(sin23)2|(|21cossin,cossin2ttt则令,221)21(212222时当ttttU)2222(225maxizU此时例8、某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当148 x
12、时淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足)148()8(40500),0,8()8(10002xxQtxtxP当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少每千克 多少元？解（1）依题设，有2)8(40500)8(1000 xtx0)280644()808(5,22ttxtx得化简.5502548,01680022txt可得时当判别式:,148,0,0得不等式组由xt1455025488,5001455025488,50022tttttt和解第一个方程组，得100 t第二
13、个不等式组无解。故所求的函数关系为：10,055025482tttx105502548,10)2(2ttx应有为使.054,2 tt得化简51tt或解得.110元千克从而政府补贴至少为每知由于tt例9、某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）(粮食单产=总产量/耕地面积,人均粮食占有量总产量/总人口数)解:设耕地平均每年至多能减少x公顷，又设该地区现有人口为 P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意，得不等式：%)101(10%)11()1010(%)221(4104P
14、MPxM22.1)01.01(1.1110,103x得化简2210110310301.001.0122.11.111022.1)01.01(1.1110CC1.41045.122.11.11103答：该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。4x例9、甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（每千米小时）的平方成正比，比例系数为b、固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？vs解
15、（1）依题意，知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为全程运输成本为：)(2bvvasvsbvvsay故所求函数及其定义域为：cvbvvasy,0),(（2）依题意，知s、a、b、v都为正数，故有absbvvas2)(时上式中等号成立即当且仅当bavbvva,最小全程运输成本时则当若ybavcba,时有在若cvcba,0,)()()()(cvbcavasbccasbvvas)(bcvacvvcs,0,022bcabcvabcavc有且最小时全程运输成本也即当时取等号当且仅当ycvcvbccasbvvas,).()(综上可知，为使全程运输成本y最小，.;,cvcbabbabvcbab时行驶速度应为当行驶速度应为时当
