1、 1 工工 程程 数数 学学 基基 础础 习习 题题 解解 答答 2 习习 题题 一一 A 一一、判断题判断题 1.； ，2.；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8.；9.；10. . 二、填空题二、填空题 1.; CC AB 2. 11 1 ( )1,2,3,4,( ) , , ,() , , ,( )1,4,( )2,3;ffa b ef Aa b efBfb DR 3.满满; 4.2supE,3infE; 5.0; 6.0; 7. n; 8.Y. B 1. 证证 ()yf AB ,xAB 使 得使 得)(xfy . 由由xAB, 得得xA, 且且xB故故 ( )( )yf xf A
2、且且( )yf B,即即( )( )yf Af B,因此因此()( )( )f ABf Af B. 当当f是单射时是单射时,只需证明只需证明( )( )()f Af Bf AB即可：即可： ()()() ,yfAfBf Rf由由是单射是单射知知,() .() ,() ,1XyfxyfAyfBx使使得得且且 ,( )(),xAxBxAByf xf AB 且且即即从从而而故故( )( )()f Af Bf AB. 是可能的，是可能的，例如例如, 2 :, 2, 0, 1, 3, 1, 0.fxxABAB 取取则则()( 1,0)0, 1, f ABf于于是是而而 ( )( )0, 40, 90,
3、4 .f Af B从而从而有有 . 2. 证证（1）n N,有)2 , 2( 1 2 , 1 2 nn ,故故 1 )2 , 2( 1 2 1 2 n n , n . 另一方面另一方面,)2 , 2(x,k N,使使 1 2 , 1 2 kk x,故故 1 1 2 1 2 n n , n x,于是于是 )2 , 2( 1 1 2 1 2 n n , n . 因此因此, 1 1 2 , 1 2)2 , 2( n nn . （2）n N,有有) 1 2 , 1 2(2 , 2 nn ,故故 1 ) 1 2 , 1 2(2 , 2 n nn . 另 一 方 面另 一 方 面 , 对 任 意对 任 意
4、2 , 2x, 即即2x,k N, 使 得使 得2 1 2 k x, 即即 3 ) 1 2 , 1 2( kk x,从而从而 1 ) 1 2 , 1 2( n nn x，故故 1 2 , 2) 1 2 , 1 2( n nn . 因此因此, 1 ) 1 2 , 1 2(2 , 2 n nn . 3. sup,sup,sup,.AAA证证 设设且且要要证证唯唯一一 只只需需证证明明即即可可 sup,sup, ,;. inf. AAA A A 因因为为是是最最小小上上界界 而而是是 的的上上界界 故故又又因因为为是是最最小小上上界界 而而 是是 的的上上界界 故故因因此此 类类似似地地可可以以证证
5、明明是是唯唯一一的的 4. 证证 设设 D Y 是线性空是线性空间间X的一族子空间的一族子空间,要证要证 DY X 也也是是 的的线线性性子子空空间间.显然显然 DY ，z 只需证明只需证明. DY X 对对 的的线线性性运运算算是是封封闭闭的的事实上，事实上，, D x yY 及及, K,从而对每一个从而对每一个D, 有有, x yY,故故xyY,xY.于是于是, D xyY , D xY .因此因此, DY 是是X的线性子空间的线性子空间. 5. ,Wf gW 证证 显显然然包包含含零零多多项项式式 故故非非空空；又又及及，有有 ()(0)() (0)(0)(0)(0)(0) (0)(0)
6、 (0)(0)000,fgfgfgfgffgg即即 ;()(0)() (0)(0)(0) (0)(0)00,.fgWfffffffW即即 0, 1. n WP所所以以, ,是是的的线线性性子子空空间间 11 11021 12 1001121 0, 1,( ),( )2. (0)(0)0,0,( )(1). nnn nnnn nn nn fWPf xa xaxa xafxna xa xa ffaaaaf xa xaxa xa x 设设则则由由 得得即即故故 23 (1,),dim. n xxxxWWn由由上上可可知知, ,是是的的一一个个基基 故故 6. 1 (1),(0)0.( )0,0.TT
7、T xTTx “”: :因因为为 是是线线性性的的 故故有有于于是是, ,若若则则由由存存在在知知 是是单单射射, ,从从而而有有 1 TT “”: :要要证证存存在在, ,只只需需证证明明 是是单单射射： 121212121212 ,(),()( )()0,0,.x xXT xT xT xxT xT xxxxxT当当) )即即时时 由由条条件件得得即即故故 是是单单射射 11 12121211221122 (2),s.t.,(),().y yYx xXyTx yTxxTyxTy 及及即即于于是是有有K 11111 11221122112211221122 (+)( )() ()()(),Ty
8、yTT xT xTTxxxxTyTy 1 :.TYX 故故是是线线性性的的 7. 2 22 2 :,.BA 解解 首首先先验验证证是是线线性性的的 然然后后求求其其在在即即 下下的的矩矩阵阵 2 2 1212 ,XXk k 由由 的的定定义义，有有 10010000 , 00001001 ()B 1122011221012021122 (+)(+)+()+(),k Xk XA k Xk Xk A Xk A XkXkX 2 22 2 :. 故故是是线线性性的的 1 11 22 12 2 10010000 , 00001001 EEEEB 关关键键是是求求基基元元的的像像在在基基 下下的的坐坐标标
9、： 4 111112212211 100 000 00,00, T aba cdc EaEEcEEEac 即即 121112212212 010 000 00,00, T aba cdc EEaEEcEEac 即即 211112212221 000 100 00,00, T abb cdd EbEEdEEEbd 即即 221112212220 000 010 00,00, T abb cdd EEbEEdEEbd 即即 00 00 . 00 00 ab ab A cd cd 5 习习 题题 二二 A 一一、判断题判断题 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12
10、. . 二二、填空题填空题 1.x；2.n；3. 2 ,(1) ,i,i ；4. 1,1；5. 200 004 014 ；6. 200 020 012 ；7.O； 8.O；9.1；10.6. 三三、单项选择题单项选择题 1.(d)；2. (b)；3. (b)；4. (d)；5. (a). . B 1.解解 （1）EA 212 3 , 2 2, 1 020 012 201 200 120 012 2 223 11 3 2 213 2232 )2(00 )2(10 001 020 )2(10 201 3 12 3 )2( 1 1 )2(00 010 001 , 3 123 ( )( )1, ( )
11、(2) .ddd （2）EA 13 12 3 , 1 11 11 11 11 11 11 3 2 11 222 3 11111 011010 011012 )2)(1( 1 1 )2)(1(00 010 111 173 12 , 1( ) 1d,1)( 2 d,)2)(1()( 3 d. 6 （3）EA 5234 010 001 001 2345 100 010 001 54230 010 010 001 2 543200 100 010 001 2 3 2 5432 1 1 1 234 , 12 ( )( )( )1ddd,5432)( 234 4 d. （4） 1,2 31001300 4
12、1001400 71211721 761671 EA 2 11 223 1 4 16 2 13 11 13001000 021000(1)00 04210(4)21 0611106111 22 4 3 2 3 2 10001000 0(1)000(1)00 06210621 06101010(1)0 2 4 2 1 4() 2 4(1) 10 2 46 41 3 42 2 2 1000 1000 (1) 0(1)00 000 10 0001 0001 (1) (1)010 010 10 10 2 4 2,4 (2 ) 3,4 3 2 10 4 10001 00(1)01 00011 0100(
13、1) , 123 ( )( )( )1ddd, 4 4 ) 1()(d. 7 2. 解解 (1) 4 det( )(2)A ， 4 4 )2()(D,又又01 021 210 100 , 1)( 3 D,从而从而1)()( 21 DD.于是于是不变因子为不变因子为1)()()( 321 ddd, 4 4 )2()(d；初等因子组为初等因子组为 4 )2(. (2) 2 2 100100 010010 ( ) 00000()0 000000() B 2 2 )( )( 1 1 , 故不变因子为故不变因子为 1)()( 21 dd, 2 3 )()(d, 2 4 )()(d; 初等因子组为初等因子
14、组为 22 )( ,)(. (3)显然显然 3 13 ( )1,det( )(1)( )DCD,而而 2 (1)(5)08(1) adj ( )3(1)(1)6(1) 2(1)0(1)(3) C ， 1)( 2 D. 因此因此 2 321 ) 1()(, 1)(, 1)(ddd; 初等因子组初等因子组: 2 ) 1( , 1. （4）由第由第 1 题题（4）知知1)()()( 321 ddd, 4 4 ) 1()(d. 也可这样解：由行列式的也可这样解：由行列式的Laplace展开定理得展开定理得 4 3121 det( )(1) 411 D ， 故故 4 4 ) 1()(D;又又)(D的左下
15、角的三阶子式的左下角的三阶子式37247 167 217 014 2 与与)( 4 D是互质的是互质的,所以所以1)( 3 D,从而从而1)()( 12 DD. 因此因此 4 4321 ) 1()(, 1)()(, 1)(dddd;初等因子组初等因子组: 4 ) 1(. 8 3.解解（1） 120 020(1)(1)(2) 211 EA ， 1 1 2 AJ . （2）EA 6111 230 34 371 230 34 3104 252 373 6111 230 364110 22 ) i)(i)(1(1 23 ， AJ i i 1 . （3） 1,2 31001300 41001400 71
16、211721 17616171 EA )1(12 )1(13 )6(14 22 22 ) 1() 1(0 1000 00) 1(0 0001 1160 1240 00) 1(0 0031 2 2 ) 1( ) 1( 1 1 , 初等因子组为初等因子组为 2 ) 1(, 2 ) 1(,于是于是 11 01 1 J， 11 01 2 J,故故 1 2 1 11 1 11 J J J . （4） 000 100 1 EA ,( )det() n n DEA,又有一个又有一个1n阶子式阶子式 9 0) 1( 1 1 1 1 n ,1)()( 11 DDn，故故 1)()()( 121 n ddd, n
17、 n d)(;初等因子组为初等因子组为 n ,所以所以 0 10 1 10 AJ . (事实上，A本身就是一个 Jordan 块) 4.解解（1）由第由第 1 题题（2）知知1)( 1 ,2)2)(1()( 2 2 ,所以所以 1 2 100 002 011 C AC C . （2）由第由第 1 题题（3）知知5432)( 234 ，故故B的有理标准是的有理标准是 0005 1004 0103 0012 C . 5. 解解 由由J立 即 可 知立 即 可 知A的 初 等 因 子 组 为的 初 等 因 子 组 为 2 ) 1(,2, 2 )2(, 于 是 不 变 因 子 为于 是 不 变 因 子
18、 为 1)()()( 321 ddd, 2 4 d, 22 5 )2() 1()(d.即即2)( 1 ， 412136)( 234 2 ，故故 20000 00004 010012 001013 00016 C . 6.解解 （1） 744744 ( )481099 418418 fEA 10 2 )9)(9( 714 090 847 . 因为因为 2441644 (9 )(9 )4171 411 4117411 AE AEO ,所以最小多项式所以最小多项式 为为)9)(9()(m. （2） 32 3 10 ( )det()0132(2)(1) 23 DEB ,有一个二阶 有一个二阶 子式子式
19、01 1 01 ,1)()( 21 DD. 因此因此, 2 3 ) 1)(2()()(dm. （3）对对EC施行初等变换得其施行初等变换得其Smith标准形标准形 23 ( )diag(1, 1, 1,(3) ,(3) )S ， 3 5 )3()()(dm. 7.证证 若若A可对角化可对角化,则则A的的最小多项式最小多项式)(m无重零点无重零点,必要性得证必要性得证. 若若A有一个无重零点有一个无重零点 的零化多项式的零化多项式)(,则因为则因为)(deg)(degm,故故)(m也无重零点也无重零点,由定理由定理 2.16 知知A可可 对角化对角化. 8. 证证 (1) 2 2AAE, 2 2
20、AAEO,) 1)(2(2)( 2 是是A的一的一 个无重零点的零化多项式个无重零点的零化多项式,故故A可对角化可对角化. (2) m AE,1 m 是是A的零化多项式的零化多项式,其零点其零点 2 i e k m k (0,1,1)km是互不是互不 相同的相同的,故故A可对角化可对角化. 11 习习 题题 三三 A 一一、判断题判断题 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.； 14.14. 15.；16.；17.；18.；19.；20.；21.；22；.23.；24.；25. . 二二、填空题填空题 1.0；2. 0 y；3. T 11 1, 2
21、n ；4. 1 2 ；5.Banach；6.1；7.3；8. 1 5,22,14 F AAA ； 8.3. 三三、单项选择题单项选择题 1.(c)；2. (c)；3. (b)；4. (a)；5. (b); 6.(c). . B 1. 证证 仅验证三角不等式仅验证三角不等式,其余是显然的其余是显然的. 设设 T n) ,( 1 x, T n) ,( 1 y是是 n R中的任意两个元素中的任意两个元素. n i n i n i i n i iiiii 111 11 1 1 )(yxyx； i ni i ni ii ni i ni 111 1 1 maxmaxmaxmaxyx yx. 2. 证证 因
22、为因为, x yC ab及及K,有有 (N1) ttxx b a d)( 1 0,显然若显然若0x,即即0)(tx,则则0 1 x;反之反之,若若0 1 x,即即 0d)( ttx b a ,则由则由)(tx的连续性的连续性,知知0)(tx,即即0x; (N2) 1 1 d)(d)(xttxttxx b a b a ; (N3) ttyttxttytxyx b a b a b a d)(d)(d)()( 1 11 yx ; 所以所以 1 是是, C a b上的范数上的范数. 3.解解 222 12 1i1 i22,1i1 i2,max1,i ,1 i2.xxx 4.解解 1 max101, 2
23、10 ,i11 imax2,3,2222, max12i , 011,101 imax4,2,124. A A 5.证证 (1)lim,lim,. nn nn xxXxyYxy 设设又又只只需需证证明明即即可可 12 0limlim limlimlim000, 0,0,. nn nn nnnn nnn xyxyxxxy xxxyxxxy xyxyxy 故故即即 12 2lim,1,1, 1,1. max,1,(). nn n nnn Nnn xxXNnNxx xxxxxx MxxxxnxMx （ ）设设则则对对使使得得当当时时, ,恒恒有有从从而而有有 即即 取取则则，有有故故有有界界 6.证
24、证 设设x是是,() n XxXx中中任任意意一一点点是是 中中收收敛敛于于 的的任任一一序序列列. . :,lim()( );:,lim() ().lim()()()(),:. nn nn nn n fXYYf xf xg YZZg f x g f xgfxgfxgfXZx 由由连连续续 知知在在 中中有有又又由由连连续续 知知在在 中中有有 即即在在点点 处处连连续续 ,:.xXgfXZ由由的的任任意意性性 知知是是连连续续映映射射 7. 证证 由于由于() n x和和() n y都是都是X中的中的C a uc hy序列，则序列，则0, 12 ,N NN,使得使得 当当 1 ,Nmn时，时
25、， 2 mn xx； 当当 2 ,Nmn时，时， 2 mn yy. 令令,max 21 NNN ,则当则当Nnm,时时,有有 )()( mmnnmmnn yxyxyxyx 22 mnmn yyxx, 这表明这表明() nn xy是是R中中Cauchy的序列的序列,由由R的完备性知的完备性知,数列数列() nn xy收敛收敛. 1 000 01 1 1 01010101 2 1 (1)0, 1,0,0, 1,()0,max( )()0, (N ). d( )d( ( ) 0, 1,max( )maxmax( )max, dd (N ). ,0, d x d dd xxxx d fCfxf xff
26、 xf x f xf x fCff xf xf xx f gC 8.证证且且即即使使得得故故 即即满满足足 即即满满足足 0101 0101 010 d( ( )( ) 1,max( )( )max d d ( )dg( ) max( )( )max dd max( )max d xx xx x f xg x fgf xg x x f xx f xg x xx f x 10101 01010101 3 1 d ( )dg( ) ( )maxmax dd d ( )dg( ) max( )maxmax( )max, dd (N ). ,0, 1. xxx dd xxxx d d f xx g x
27、 xx f xx f xg xfg xx C 即即满满足足 所所以以是是上上的的范范数数 13 (2):D 1 , 0 1 C 1 , 0C显然是线性的显然是线性的.因为因为 10, 1 fC ,有有 110101 d ( )d ( ) maxmax( )max, dd d xxt f xf x Dff xf xx 故故D是有界的是有界的. 9. 证证 由于由于 是是 n n C上的方阵范数上的方阵范数,故故, n n A B C及及 C,有有 (1) 1 * 0AS AS ,并且并且 11 * 0AS ASS ASOAO ; (2) 11 * ASASOS ASA ; (3) 11111 *
28、 ABSAB SS ASS BSS ASS BS * AB; (4) 111 * ()()ABS ABSS AS S BS 11 * S ASS BSAB ; 因此因此, * 是是 n n C上的方阵范数上的方阵范数. 10. 2222 1ii12; F A 解解 2 1i ( )det(),( )0; i1 fEAA HHH H 2 1i1i22 i22 i ,(4), ()4, i1i12i22i2 ()2. A AEA AA A AA A 11. 证证 显然显然A.是可逆阵是可逆阵A的特征值的特征值,则则 1 是是 1 A特征值特征值,故故 11 A ,即即 1 1 A . 1 1 A
29、A . 12.证证 要证要证 0 ( ),xTN只需证明只需证明 0 0.Tx 0 ()( ),0.lim, nnn n xTTxnxxT 由由知知于于是是当当且且 是是有有界界线线性性算算子子时时 有有N 0 (lim)lim ()lim00, nn nnn TxTxT x 故故 0 ( ).xTN 14 习习 题题 四四 A 一一、判断题判断题 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8. . 二二、填空题填空题 1. 22 1 3 ee0 01cos xx x x ；2. 22 2 (1) t E t ；3.1；4. 3 e t ；5. 2 222 2 22 2 eee ee e tt
30、t t tt t t t ； 6. t t t 2cos2 cos cos ；7.1； 8. 3 e. B 1. sincos d ( ) , dcossin tt A t ttt 解解 22dd det( )cossin0 dd A ttt tt , 22 sincos d ( ) det()sincos1. dcossin tt A t tt ttt 2. 22 1 3 ee0 ( ). 01cos xx x f x 解解x 3. 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 11 0 0 e de de 11 ( )dd 2 d 11. sin dcos d1 cos1sin1 tt ttt
31、A tttt t t tt t 解解 4. 证明证明（1） d ddddd ()()()() dddddd T TTTT f xxx x AxAxxAxAxx A tttttt ddddd ()2; ddddd TTTTTTTTxxxxx x Ax Ax Ax Ax A ttttt . （2） dddddd ()()2. dddddd T TTTTTTxxxxx x xxxxxx tttttt 5. 证证（1）若）若lim k k AA ,则则 2 lim0 k k AA . 2 22 () TTT kkk AAAAAA (可以证明可以证明 1 2 22 2 HT AAAA)， 2 lim0
32、TT k k AA ,即即lim TT k k AA . 同理可证同理可证lim k k AA ,由上已证的结果立即可得由上已证的结果立即可得lim HH k k AA . 15 （2） 000 ()lim()lim() NN TkTkkT kkk NN kkk c Ac Ac A 0 lim() N kT k N k c A 0 (lim) N kT k N k c A 0 () kT k k c A 6. 证证 令令 3 200 d e t ()11120 113 EA 得得A的全部特征值均为的全部特征值均为 2. 于是于是 1 3 BA 的所有特征值都是的所有特征值都是 3 2 ,故故
33、2 1 3 B,因此因此lim k k BO . 7. 证证 方法一方法一: 当当0t时时,显然成立显然成立,故设故设0t.记记 010 100 t tA t . 22 det()(i )(i )EAttt，t i 1 ,t i 2 . 对对t i 1 ,解方程解方程(i )0tEA x可得可得 1 1 i x ；对；对t i 2 解方程解方程( i )0tEA x 得得 2 1 i x . 令令 11 ii P ,则则P可逆且可逆且 1 1/ 2i/ 2 1/ 2i/ 2 P . 所以所以 01 i 10ii1 i 111/ 2i/ 2e0 eediag(e ,e ) ii1/ 2i/ 20e t t Att t PP tt tt tttt tttt cossin sincos )ee( 2 1 )ee( i 2 1 )ee( i 2 1 )ee( 2 1 iiii iiii . 方法二： 记方法二： 记 01 10 B , 2 1 det()1 1 EB ,( )i, iB.B的最小多项式的最小多项式 1)( 2 ,2)(deg. 故设故设 01 e( )( ) tB a t Ea t B. t e与与)()( 10 tata在在( )B上的值相等上的值相等
