1、圆的内接四边形圆的内接四边形新课讲解：新课讲解：若一个多边形的所有顶点都在若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做同一个圆上，这个多边形叫做圆圆内接多边形内接多边形，这个圆叫做这个，这个圆叫做这个多多边形的外接圆边形的外接圆。OBCDEFAOACDEBOOC CA AB BD D如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为圆内接四边形；圆内接四边形；OO为为四边形四边形ABCDABCD外接圆。外接圆。COODBA如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，弧弧BCDBCD和弧和弧BADBAD所对的所对的圆心角的和是周角圆心角的和是周角AACC180 同理同理BBDD
2、180180圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补如果延长如果延长BCBC到到E E，那么，那么DCEDCEBCDBCD 180所以所以AADCEDCE又又 AA BCDBCD 180180C COOD DB BA AE因为因为AA是与是与DCEDCE相邻的内相邻的内角角DCBDCB的对角，我们把的对角，我们把AA叫做叫做DCEDCE的内对角。的内对角。圆内接四边形的一圆内接四边形的一个外角等于它的内个外角等于它的内对角对角。C COOD DB BA AEC COOD DB BA AE1234567定理：定理：圆内接四边形的圆内接四边形的对角互补，并且任何一对角互补，并且任何一个外角都等
3、于它的内对个外角都等于它的内对角。角。练习：练习：1 1、如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为OO 的内接四边形，已知的内接四边形，已知BODBOD100100，求，求BADBAD及及BCDBCD的度的度数。数。A AOOD DB BC C圆内接平行四边形是矩形圆内接平行四边形是矩形O OC CD DB BA A试证明：试证明：(1)(1)四边形四边形ABCDABCD内接于内接于OO，则，则A+C=_A+C=_ ，B+ADC=_;B+ADC=_;若若B=80B=800 0，则则ADC=_ CDE=_(ADC=_ CDE=_(图图5)5)(2)(2)四边形四边形ABCDABCD内接于内接
4、于OO，AOC=100AOC=1000 0则则B=_D=_(B=_D=_(图图6)6)图图5 5(3)(3)四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O,A:C=1:3,O,A:C=1:3,则则A=_,A=_,EDBAC80DBACO100 180 180 100 80 50 130 45 填空填空DBACO(4)梯形ABCD内接于 O,ADBC,B=750,则C=_ 75若若ABCDABCD为圆内接四边形，则下列哪为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立个选项可能成立（）（A）A B C D 1 2 3 4（B）A B C D 2 1 3 4（C）A B C D 3 2 1 4（D）A B C
5、D 4 3 2 1B补充练习：补充练习：例：如图例：如图OO1 1与与OO2 2都经过都经过A A、B B两点，两点，经过点经过点A A的直线的直线CDCD与与OO1 1 交于点交于点C C，与，与OO2 2 交于点交于点D D。经过点。经过点B B的直线的直线EFEF与与OO1 1 交于点交于点E E，与，与OO2 2 交于点交于点F F。求证：求证：CEDFCEDF12OOOOF FA AB BE EC CD D12OOOOF FA AB BE EC CD DCEDFCEDF1EEFF180180EE11180180、11FFABECABEC是是OO1 1的内接四边形的内接四边形ABFDA
6、BFD是是OO2 2的内接四边形的内接四边形连结连结ABAB证明：连结证明：连结ABABABECABEC是是OO1 1的内接四边形，的内接四边形，11FFADFBADFB是是OO2 2的内接四边形，的内接四边形，EE11180180EEFF180180CEDFCEDF12OOOOF FA AB BE EC CD D1定理：定理：如果一个四边形的如果一个四边形的一组对角互补，那么这个一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。四边形内接于圆。圆内接四边形的判定：ABCD0180:ABCDBD 已知:求证 四边形内接于圆D.:.,点共圆点共圆四四、求证求证边上的高边上的高的的是是如图如图例例QPBAAC
7、FQBCFPABABCCF1022102图图ABCFPQ.,FPCFQAACFQBCFPQFPC所以因为中在四边.四点共圆、则CPFQ.QPCQFC故,ABCF 又因为.,.QPCAQFCAQFAAQFAQFC则也互余与而互余与所以.,四点共圆、因此QPBA.PQ连接证明例例2 2、如图，、如图，D D为为ABCABC的边的边BCBC上一点，上一点，OO1 1经过点经过点B B、D D，交，交ABAB于另一点于另一点E E，OO2 2 经过点经过点C C、D D，交，交ACAC于另一点于另一点F F，OO1 1与与OO2 2 交于点交于点G G，求证：（，求证：（1 1）BAC+EGFBAC+
8、EGF180180C CF FO O1 1A AB BG GD DOO2 2 （2 2）EAGEAGEFG EFG E ED DB BA AC CO O 定理定理 若两点在一条线段同侧且对该线若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆,D DB BA AC C特别的，对定线段张角为直角的点共圆特别的，对定线段张角为直角的点共圆E作作ABC的外接圆的外接圆 O，在，在 O的弧的弧AB上取点上取点E，使使E与与C在在AB的两侧，因为的两侧，因为A,E,B,C四点共圆，四点共圆，所以所以ACB+AEB=180又已知又已知ACB=ADB所以所以ADB+AEB=180因此因此A,E,B,D四点共圆，四点共圆，因为过不共线的三点因为过不共线的三点A,E,B只有一个圆，即只有一个圆，即 O，所以，所以
