1、.1.2问题重述 医院就医排队是我们熟悉的现象，它以各种形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。为此考虑以某医院眼科病床的合理安排经行数学模型的建立。假设：该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。.3问题重述白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住
2、院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，因此这些眼科疾病可不考虑急症。通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come,First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，因此院方希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。.4问题重述 以下是题目的五个问题：问题一：试分析确定合理的评价指标体系
3、，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。.5问题重述 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平
4、均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。.6符号说明与模型假设2.1符号说明 ：t时刻挂号的m(1为外伤、2为白内障双眼、3为白内障单眼、4为青光眼、5为视网膜疾病)类病人中未住院的第j个病人在n+1天是否被安排入住；0表示未安排入住、1表示安排入住。：t时刻注册的m类病人中未住院的第j个病人到n+1天已等待的天数；：第n+1天出院的人数。.7 ：外伤病人在n+1天安排入院的优先级系数。：白内障双眼病人在n+1天安排入院的优先级系数。：白内障单眼病人在n+1天安排入院的优先级系数。：青光眼病人在n+1天安排入院的优先级系数。：视网膜疾病病人在n+1天安排入院的优先级系数。符号
5、说明与模型假设.8符号说明与模型假设2.2 模型假设1、假设白内障手术在周一、三做；2、假设白内障手术与视网膜疾病、青光眼手术不安排在同一天做。3、假设术前准备时间白内障手术为1、2天，视网膜疾病、青光眼手术为2、3天；4、假设该医院每天出院安排在早上，住院安排在出院之后。5、假设外伤病人，住院后第二天即安排手术。.9问题分析和基本思路3.1 问题分析和建模思路该题目中，虽然有五个问题，但他们之间是相互联系的。我们在分析及解决问题时应兼顾五个问题进行系统的思考，而不能独立的考虑某一个问题，这样既不全面也不利于所有问题的合理解决。.10问题分析和基本思路思路流程图.11问题分析和基本思路问题一由
6、于该医院以前采用FCFS方案安排住院，造成未住院病人等待时间过长、队列也越来越长和医院资源利用率太低。我们在问题一中建立的评价指标体系可较好的评价出原有FCFS结果的优劣。不仅如此，我们还可以用此评价体系来评价问题二及以后的问题中模型的优劣。v 对于问题二，首先我们根据各类病人以前术后观察的情况来推断当前的前术后观察的情况，得到第二天的拟出院病人数。然后，才能确定第二天应该安排哪些病人住院。我们可以以第二天是否安排某一病人住院为决策变量，以优先因子大的优先服务(为了使病床的安排更加合理，我们按时间分情况讨论，不同的病人在不同的时间应该有不同的优先级系数，我们的目标是使总的优先级最大。)和等待住
7、院病人的总和等待时间最小两个目标为目标函数，考虑指派约束、手术时间约束、等待时间约束，建立双目标0-1规划模型。.12模型的建立4.1 问题一评价体系分析与建立医院进行床位安排就是要充分利用医院资源和使等待住院病人人数尽量少，这样既可以提高医院资源利用率，又可以提高病人满意度。对于医院来说，为充分、合理利用病床资源，病人就不能在医院住得太久；如果平均每天入院人数越大，则等待住院的病人就会越少。对于病人来说，他们希望的是等待时间尽可能少。综上，可确定以人均等待时间、人均住院时间、平均每天的入住量为评价指标体系，来评价该问题病床安排模型的优劣。.13模型的建立各指标规范如下：.14模型的建立4.2
8、 问题二模型的建立由模型准备的随机拟合，我们可以得到第二天拟出院的人数，然后再安排哪些病人住院，以等待住院的某个病第二天住院与否为决策变量建立规划模型。假设现在是在第n天考虑第n+1天的安排住院情况。首先确定目标函数：医院进行床位安排有两个目的：一是按病种合理安排病床，使病人等待住院时间尽量少和在医院等待手术的的时间尽量少；另一个是使未安排住院的病人总和等待时间尽量小。.15模型的建立由此，将建立一个双目标规划模型，其目标任务如下、优先级大的病种优先服务，为了使病床的安排合理，我们按时间分情况讨论，不同病种的病人应该有不同的优先级系数，我们的目标是使得总的优先级最大。、使等待住院的病人的等待时
9、间尽量短，即使第二天还没有安排住院的病人的综合等待时间最小。即：.16目标函数一：其中 为第1到5类病人（单、双眼白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤）的优先级因子，而且这些因子的值是随着时间而变化的，在约束条件中我们将具体叙述。模型的建立.17目标函数二：其中 表示t时刻门诊的m(1为外伤、2为白内障双眼、3为白内障单眼、4为青光眼、5为视网膜疾病)类病人中未住院的第j个病人在n+1天是否被安排入住，0表示未安排入住、1表示安排入住。表示t时刻门诊的m类病人中未住院的第j个病人到n+1天已等待的天数。模型的建立.18然后我们挖掘约束条件，下面将挖掘的约束条件进行分析：（1）n+1天入住的人数不能
10、超过n+1天出院的人数，我们以表示n+1天出院的人数。该约束可以表示为：模型的建立.19（2）假如是星期六、日，对于白内障（双眼）病人，他们在星期一就要开始做手术，而且他们术前准备时间为12天，他们只能是在星期六或星期天住进去，如果未能住入，他们将再等上一星期，所以这两天要优先安排他们入住；白内障（单眼）的可安排住院的时间相对青光眼、视网膜疾病少一些，所以前者的优先级系数也要相对后者大一些；另外外伤必须有绝对的优先。该约束可以表示为：模型的建立.20（3）假如是星期一、二，对于白内障（单眼）病人，如果还未能住入，他们将再等上一星期，所以要保证他们优先；白内障（双眼）由于两只眼睛分开做，所以这两
11、天是不安排入住的；外伤必须有绝对的优先。该约束可以表示为：模型的建立.21（4）假如是星期三、四、五，对于白内障（双眼）、白内障（单眼）这三天是不安排入住的；青光眼、视网膜疾病情况一样，可安排入住；外伤必须有绝对的优先。该约束可以表示为：模型的建立.22（5）对于同一类病人，为了合理，还是要先来先住院。该约束可以表示为：模型的建立v（6）0-1约束约束v 综上所述，我们得到问题二的双目标规划模综上所述，我们得到问题二的双目标规划模型为：型为：.23模型的建立目标函数：约束条件：.24模型的求解4.3问题二的求解4.3.1对问题二模型的求解 （1）根据各类病人术后时间观察情况，随机模拟出还未出院
12、或门诊的各类病人的术后观察情况。该步在我们模型准备中已经进行，在此只需利用结果。（2）将双目标规划模型转化为单目标规划模型。为了求解该双目标的规划模型，我们必须将其转化成单目标规划模型。一般，领导者在权衡当前效益和长远发展两方面时，总是选择一个令自己满意的组合方式。对二者赋予权重,称为偏好系数。因此目标函数为：.25模型的求解 经过调查与分析，取为0.6是比较合理的，所以我们取为0.6。（3）确定第一天，即2008年9月12日出院病人数。（4）经过用Lingo程序对模型计算，得到第一天安排哪些人入住。（6）重复（3）、（4）直到将所有的门诊病人都安排入院。在算具体某一天的安排方案时，我们按照如
13、下流程图进行计算：.26模型的求解.27模型的求解 我们得到的结果如下表：表 计算得到的每天的病床安排方案（部分结果）序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间2视网膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14/2008-9-233青光眼2008-8-302008-9-122008-9-14/2008-9-214视网膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14/2008-9-225视网膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14/2008-9-2710视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9
14、-2511视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9-2812视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9-2813青光眼2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9-2397外伤2008-9-112008-9-122008-9-13/2008-9-17.28模型的求解4.3.2用问题一的评价指标体系对问题二模型进行评价 对问题二模型结果的评价并与FCFS原则的评价结果进行比较。.29模型的求解 表2 问题二模型结果的评价并与FCFS原则的评价结果的比较 从上表中可以看出，我们模型的结果比FCFS原则
15、结果优，但不很明显。原因是原来已堆积了很多的病人，我们是在处理历史遗留问题。为了更明显的体现我们模型的优越性，我们再随机模拟出一段时间的门诊病人，运用模型来进行求解，得到结果，结果见附录三。然后再与上表进行对比，如下表：人均等待时间住院时间平均每天的入住量FCFS原则结果12.539.376.18问题二模型结果12.189.156.21.30模型的求解 表3 问题二的三种结果评价指标比较 从上表可以看出我们的模型使评价指标体系中的每一指标都比FCFS原则优，且随着时间的推移，模型的优越性越来越显著。人均等待时间 住院时间 T2+T3平均每天的入住量FCFS原则结果12.53 9.37 6.18
16、 问题二模型结果12.18 9.15 6.21 追加安排的结果11.66 8.70 9.60.31模型的评价模型的优点：模型的实用性：病床的安排问题，实际上就是一个指派问题。每位门诊病人在某一天无非是住院、不住院两种情况。用0-1规划比较合适。模型的细致性：在模型中，我们对每一天的优先分配情况都进行了考虑。程序的简约性：我们采用Lingo软件来对模型进行求解，较Matlab等其它软件的程序简约。算法的准确性：在问题三中未来门诊情况是未知的，我们采用随机模拟而得出，这和实际有一些偏差。但是我们采用多模拟97位病人进行继续迭代求解，然后效果很好。.32模型的评价模型的缺点：本文的算法是对每一天进行计算，算法虽然简单，但是要算很多次，程序的自动性不是很好。
