1、 第 1 页 共 4 页 重庆育才中学高 2025 届高一上期末复习考试 数数 学学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的.1已知集合|2Ax x=，集合|3Bx x=，以下命题正确的个数是（）0 xA，0 xA；0 xB，0 xA；xA，
2、都有xB；xB，都有xA A4 B3 C2 D1 2tan570sin300+=（）A5 36 B36 C36 D5 36 3幂函数的图像过点12,2，则它在1,2上的最小值为（）A-2 B-1 C1 D12 4已知函数0,0()e,0 xxf xx=，则使函数()()g xf xxm=+有零点的实数m的取值范围是（）A0,1)B(,1)C(,0(1,)+D(,1(2,)+5已知函数()yf x=，xD，若存在实数m，使得对于任意的xD，都有()f xm，则称函数()yf x=，xD有下界，m为其一个下界.类似的，若存在实数M，使得对于任意的xD，都有()f xM，则称函数()yf x=，xD
3、有上界，M为其一个上界.若函数()yf x=，xD既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列 4 个命题：若函数()yf x=有下界，则函数()yf x=有最小值；若定义在R上的奇函数()yf x=有上界，则该函数是有界函数；对于函数()yf x=，若函数()yf x=有最大值，则该函数是有界函数；若函数()yf x=的定义域为闭区间,a b，则该函数是有界函数.其中真命题的序号为（）A B C D 第 2 页 共 4 页 6若函数2sincos1=+yxxa在区间,2 2 上的最大值是14，则=a（）A2 B1 C0 D1 7已知函数()f x是定义在 R 上的奇函数，且()()4fxf
4、 x=+.当0,2x时，()31xf x=，则()101f=（）A8 B2 C2 D8 8已知()f x，()g x分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且()()exf xg x+=，若关于 x 的不等式()()220f xagx在()0,ln3上恒成立，则正实数 a的取值范围是（）A15,8+B)0,+C15,8 D150,8 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9下列说法正确的是（）A若的终边上的一点坐标为()8,15kk（0k），则8cos17=B若2是第一象限角
5、，则是第一或第三象限角 C若1sincos5+=，0，则tan0 D对,2，2cos1 sin=恒成立 10函数2()ln(e1)xf xx=+，则（）Af(x)的定义域为 R B()f x值域为R C()f x为偶函数 D()f x在区间0,)+上是增函数 11已知定义在R上的函数()f x的图象是连续不断的，且满足以下条件：x R，()()fxf x=；1x，()20,x+，当12xx时，()()21210f xf xxx；()10f=.则下列选项成立的是（）A()()34ff B若()()12f mf，则(),3m C若()0f xx，则()()1,01,x+Dx R，m R，使得()f
6、 xm 12定义在R上的函数()f x满足(4)()f xf x+=，函数(1)f x+为偶函数，且当1,3x时，2()2f xxx=+，则（）A()f x的图象关于点(2,0)对称 B()f x的图象关于直线2023x=对称 C()f x的值域为 3,1 D3()20f xx+=的实数根个数为 6 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知集合1,2,3,4A=，BA，1B，则集合 B 的个数为_个 第 3 页 共 4 页 14角的终边在直线2yx=上，则223sin2cos=_；15商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购
7、买同一种商品，甲每次购买a公斤，乙每次购买b元（a，b互不相等），该方案实施 2 次后_的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”）16已知函数()2sin(0)4f xx=+在区间1,1上恰有三个零点，则的取值范围为_ 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17（10 分）（1）计算：132327log 3 log 4lg2lg508+；（2）已知tan2=，求cossin的值 18（12 分）已知命题：1x2，命题：1xa(1)若 是 必要非充分条件，求实数 a的取值范围；(2)求证：a2 是 成立的充要条件 19（12 分）（1）若不等式210a
8、xbx+的解集是113xx，求,a b的值；（2）若31ba=，且关于x的方程210+=axbx有两个不同的负根，求a的取值范围.第 4 页 共 4 页 20（12 分）已知函数()2sin 26f xx=+(1)求函数()f x的单调递增区间，以及对称轴方程；(2)若()()g xaf xb=+，当02,x时，()g x的最大值为 5，最小值为1，求实数 a，b的值.21近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMvvm=计算火箭的最大速度 v（单位：m/s）.其中0v（单位 m/s）是喷流相对速度，m
9、（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为 2000m/s.参考数据：0.5ln2305.4,1.648e1.649.(1)当总质比为 230 时，利用给出的参考数据求 A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 1.5 倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加 500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？22（12 分）若函数()f x满足()32f xfx=+且()R44fxfxx+=，则称函数()f x为“M函数”.(1)试
10、判断()4sin3xf x=是否为“M函数”，并说明理由；(2)函数()f x为“M函数”，且当,4x时，()sinf xx=，求()yf x=的解析式，并写出在30,2上的单调递增区间；(3)在（2）的条件下，当()3,N22kxk+时，关于x的方程()f xa=（a为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k，求()3S.试卷第 1 页，共 13 页 重庆育才中学高重庆育才中学高 20252025 届高一上期末复习考试试题三教师版届高一上期末复习考试试题三教师版 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题一、单选题 1已知集合|2Ax x=，集合|3Bx x=，以下命题正确的个数是（）0
11、 xA，0 xA；0 xB，0 xA；xA，都有xB；xB，都有xA A4 B3 C2 D1【答案】D【详解】依题意，集合|2Ax x=，集合|3Bx x=，所以B是A的子集，根据集合元素的确定性可知错误，02.5x=，00,xA xB，故0 xA，0 xB，所以错误.对于,xB xA，所以错误，正确.所以正确的个数是1个.故选：D 2tan570sin300+=（）A5 36 B36 C36 D5 36【答案】C【详解】()()57030036021036060ooooootansintansin+=+()33318030603060326oooootansintansin=+=.故选：C
12、3幂函数的图像过点12,2，则它在1,2上的最小值为（）A-2 B-1 C1 D12【答案】D【详解】设幂函数为()af xx=，函数过12,2，则()()1222af=，故1a=，()1f xx=，函数在1,2单调递减，故()()1min1222f xf=.故选：D 4已知函数0,0()e,0 xxf xx=，则使函数()()g xf xxm=+有零点的实数m的取值范围是（）A0,1)B(,1)C(,0(1,)+D(,1(2,)+【答案】C 试卷第 2 页，共 13 页【详解】令()0g x=可得出()mf xx=+，令()()h xf xx=+，由于函数()g x有零点，所以，实数m的取值
13、范围即为函数()h x的值域.当0 x 时，()(,0h xx=；当0 x 时，由于函数e,xyyx=均为单调递增函数，故函数()exh xx=+单调递增，此时，()0e01h x+=.综上所述，函数()()h xf xx=+的值域为(),01,+.因此，实数m的取值范围是(),01,+.故选：C.5已知函数()yf x=，xD，若存在实数m，使得对于任意的xD，都有()f xm，则称函数()yf x=，xD有下界，m为其一个下界.类似的，若存在实数M，使得对于任意的xD，都有()f xM，则称函数()yf x=，xD有上界，M为其一个上界.若函数()yf x=，xD既有上界，又有下界，则称该
14、函数为有界函数.对于下列 4 个命题：若函数()yf x=有下界，则函数()yf x=有最小值；若定义在R上的奇函数()yf x=有上界，则该函数是有界函数；对于函数()yf x=，若函数()yf x=有最大值，则该函数是有界函数；若函数()yf x=的定义域为闭区间,a b，则该函数是有界函数.其中真命题的序号为（）A B C D【答案】B【详解】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可.对于，设()1f xx=()0 x，则()0f x 恒成立，即函数()yf x=有下界，但函数()yf x=没有最小值，故错误；对于，若定义在R上的奇函数()yf x=有上界，设上界为M，则0M，根据
15、题意有，x R，有()f xM成立.所以当0 x，()f xM成立，则当0 x 时，有0 x，则()fxM，即()f xM，则()f xM；试卷第 3 页，共 13 页 当0 x 时，()f xM成立，则当0 x 时，0 x，则()fxM，即()f xM，则()f xM；当0 x=时，由奇函数性质可得()()00ff=，所以()00f=.所以，当0 x 时，()Mf xM成立；当0 x 时，()Mf xM成立；当0 x=时，()00f=，显然满足()0MfM.所以x R，都有()Mf xM成立，所以函数是有界函数，故正确；对于，对于函数()yf x=，若函数()yf x=有最大值，设()f x
16、M，则()Mf xM，该函数是有界函数，故正确；对于，令()1,01,01xf xxx=，则函数()yf x=的定义域为闭区间0,1，则函数()fx的值域为)1,+，则()fx只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故错误；所以真命题的序号为.故选：B.6若函数2sincos1=+yxxa在区间,2 2 上的最大值是14，则=a（）A2 B1 C0 D1【答案】C【详解】函数22sincos1 1 coscos1yxxaxxa=+=+211cos24xa=+由,2 2 x,得cos0,1x,所以1cos=2x时,函数在区间,2 2 x 上取得最大值11+=44a,解得=0a，故选:C 7已知
17、函数()fx是定义在 R 上的奇函数，且()()4fxf x=+.当0,2x时，()31xf x=，则()101f=（）A8 B2 C2 D8【答案】B【详解】由题意，()()()4f xfxf x+=，故()()()84f xf xf x+=+=，故()fx的周期为 8.所以()()()()()()110112 8551 411312ffffff=+=+=+=.故选：B 试卷第 4 页，共 13 页 8已知()fx，()g x分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且()()exf xg x+=，若关于 x的不等式()()220f xagx在()0,ln3上恒成立，则正实数 a的取值范围是（）A1
18、5,8+B)0,+C15,8 D150,8【答案】D【详解】因为()fx，()g x分别为R上的偶函数和奇函数，()()exf xg x+=，所以()()exfxgx+=，即()()exf xg x=，联立可解得()ee2xxf x+=，()ee2xxg x=，所以不等式()()220f xagx可化为2(ee)ee04xxxxa+，因为()0,ln3x，则ee0 xx，故24(ee)(ee)xxxxa+，设eexxt+=，则()()222eeee44xxxxt=+=，故24444tattt=，因为eexxt=+在()0,ln3上是增函数，则102,3t，又因为4ytt=在102,3t时是增函
19、数，所以432015tt，则41548tt，因为24(ee)(ee)xxxxa+在()0,ln3x恒成立，所以158a 所以正实数 a的取值范围是150,8.故选：D 二、多选题二、多选题 9下列说法正确的是（）A若的终边上的一点坐标为()8,15kk（0k），则8cos17=B若2是第一象限角，则是第一或第三象限角 C若1sincos5+=，0，则tan0 D对,2，2cos1 sin=恒成立【答案】BC【详解】若0k，此时88cos1717kk=，故 A 错误；试卷第 5 页，共 13 页 若2是第一象限角，则2 22 2kk+，Zk，所以4kk+，Zk，当k为奇数时，此时是第三象限角，当
20、k为偶数时，此时是第一象限角，故 B 正确；1sincos5+=，两边平方得：112sincos25+=，则12sincos25=，因为0，所以sin0,cos0，故sintan0cos=，C 正确；,2，2cos1sin=，故 D 错误.故选：BC 10函数2()ln(e1)xf xx=+，则（）Af(x)的定义域为 R B()f x值域为R C()f x为偶函数 D()f x在区间0,)+上是增函数【答案】ACD【详解】对于函数2()ln(e1)xf xx=+，由于2e110 x+恒成立，所以()fx的定义域为R，A 选项正确.()()()()22e1ln e1ln elnln eeexx
21、xxxxf x+=+=+，由于ee2 ee2+=xxxx，当且仅当ee,0 xxx=时等号成立，所以()()ln eeln2xxf x=+，B 选项错误.由于()()()ln eexxfxf x=+=，所以()fx为偶函数，C 选项正确.对于函数()()11g xxxx=+，任取121xx，()()12121211g xg xxxxx=+()()1212121212121xxx xxxxxx xx x=，由于1212120,10,0 xxx xx x，所以()()()()12120,g xg xg xg x，所以()g x在区间)1,+上递增.当0 x 时，令e1xt=，则1ytt=+在区间)
22、1,+上递增，根据复合函数单调性同增异减可知()f x在区间0,)+上是增函数，D 选项正确.故选：ACD 11已知定义在R上的函数()fx的图象是连续不断的，且满足以下条件：x R，试卷第 6 页，共 13 页()()fxf x=；1x，()20,x+，当12xx时，()()21210f xf xxx；()10f=.则下列选项成立的是（）A()()34ff B若()()12f mf，则(),3m C若()0f xx，则()()1,01,x+Dx R，mR，使得()f xm【答案】CD【详解】根据题中条件知，函数()fx为 R 上的偶函数；根据题中条件知，函数()fx在()0,+上单调递增.根
23、据函数的单调性得，()()34ff，选项 A 错误；()f x是 R 上的偶函数，且在()0,+上单调递增()()12f mf时，12m，解得13m，选项 B 错误；()()()()001100f xf xffxx=，或()00f xx 解得1x 或10 x，即()0f xx时，()()1,01,x+，选项 C 正确；根据偶函数的单调性可得，函数()fx在(),0上单调递减()f x在 R 上有最小值，故选项 D 正确.故选：CD.12定义在R上的函数()f x满足(4)()f xf x+=，函数(1)f x+为偶函数，且当1,3x时，2()2f xxx=+，则（）A()f x的图象关于点(2
24、,0)对称 B()f x的图象关于直线2023x=对称 C()f x的值域为 3,1 D3()20f xx+=的实数根个数为 6【答案】BC【详解】由题意可知当1,3x时，2()2f xxx=+，故()()22112 1 1,332 33ff=+=+=，则(3)(1)ff，即()f x的图象不关于点(2,0)对称，A 错误；由于函数()f x满足(4)()f xf x+=，故 4 为函数的周期；函数(1)f x+为偶函数，则()f x的图象关于直线1x=对称，即有(2)()fxf x=，则(4)(2),(4)(2)f xfxfxfx+=+=，故()f x的图象也关于直线3x=对称，由于 4 为
25、函数的周期，故14,Zxk k=+和34,Zxk k=+皆为()f x的图象的对称轴，试卷第 7 页，共 13 页 当505k=时，3 42023xk=+=，故 B 正确；由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为 3,1，C 正确；方程3()20f xx+=的根即()yf x=与 1(2)3yx=的图象的交点的横坐标，因为当5x=时，17(52)333y=，当7x=时，1(92)33y=，当5x=时，1(52)13y=，所以()yf x=与1(2)3yx=的图象共有 7 个交点，即方程3()20f xx+=的实数根个数为 7，故 D 错误，故选：BC.三、填空题三、填空题 13已知集合1,
26、2,3,4A=，BA，1B，则集合 B 的个数为_个【答案】8【详解】依题意，集合1,2,3,4A=，BA，1B，所以B可能为：1,1,2,1,3,1,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,1,2,3,4，共8个.故答案为：8 14角的终边在直线2yx=上，则223sin2cos=_；【答案】2【详解】依题意得tan2=由22222222223sin2cos3tan23 223sin2cos2sincostan121=+故答案为：2 15商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买a公斤，乙每次购买b元（a，b互不相等），该方案实
27、施 2 次后_的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”）【答案】乙【详解】设每次购买时商品的价格分别为x元/公斤、y元/公斤(),0 x y，试卷第 8 页，共 13 页 则甲的平均价格为：22axayxya+=；乙的平均价格为：22bxybbxyxy=+，因为,0 x y，所以222xyxyxy+=；222xyxyxyxyxy=+,（当且仅当xy=时取“=”号），所以22xyxyxy+（当且仅当xy=时取“=”号），故乙的平均价格更低，故答案为：乙.16已知函数()2sin(0)4f xx=+在区间1,1上恰有三个零点，则的取值范围为_【答案】5 7,44【详解】()2sin4f xx=+
28、，因为1,1x 且0，所以,444x+，（1）若在y轴左侧没有零点，则函数在1,1x 上恰有三个零点，则需23404+化简得71144544此时不等式组无解；（2）若在y轴左侧恰有1个零点，则函数在1,1x 上恰有三个零点，则需2424+化简得37445944，解得5744；（3）若在y轴左侧恰有2个零点，则函数在1,1x 上恰有三个零点，则需04324+化简得34491344，此时不等式组无解；综上所述，的取值范围为5744.故答案为：5 7,44.四、解答题四、解答题 17（1）计算：132327log 3 log 4lg2lg508+；试卷第 9 页，共 13 页（2）已知tan2=，求
29、cossin的值【答案】（1）143；（2）25【详解】（1）11333232327log 3 log 4lg2lg50=log 3 2loglg100=+2+23214+2+23=38+；（2）222cossintan2cossinsincostan15=+.18已知命题：1x2，命题：1xa(1)若 是 必要非充分条件，求实数 a的取值范围；(2)求证：a2 是 成立的充要条件【答案】(1)a|a2，(2)证明见解析【详解】解：（1）设 Ax|1x2，Bx|1xa，若 是 必要非充分条件，则 B是 A 的真子集，当 B时，a1，此时满足 B 是 A的真子集，符合题意，当 B时，若 B 是
30、A的真子集，则12aa，解得 1a2，综上所述实数 a 的取值范围为a|a2，证明：（2）充分性（若 a2，则）若 a2，则x|1x2x|1xa，所以命题：1x2 可得出命题：1xa，故充分性成立，必要性（若，则 a2）若命题：1x2 可得出命题：1xa，则x|1x2x|1xa，所以 a2，故必要性成立，综上所述：a2 是 成立的充要条件 19（1）若不等式210axbx+的解集是113xx，求,a b的值；（2）若31ba=，且关于x的方程210+=axbx有两个不同的负根，求a的取值范围.【答案】（1）3,2ab=；（2）109aa.【详解】（1）由题意可得1和13是方程210+=axbx
31、的两个实根，则11,3111,3baa+=解得3,2ab=.（2）因为31ba=，所以()23110axax+=，试卷第 10 页，共 13 页 由题可知0，则1a 或19a ，由题意，方程有两个负根，即310,10,aaa+解得103a.综上，实数a的取值范围是109aa.20已知函数()2sin 26f xx=+(1)求函数()f x的单调递增区间，以及对称轴方程；(2)若()()g xaf xb=+，当02,x时，()g x的最大值为 5，最小值为1，求实数 a，b 的值.【答案】(1)单调递增区间是,Z36kkk+；Z62kxk=+，(2)23ab=或21ab=【详解】（1）由()2s
32、in 26f xx=+令2 22,Z262kxkk+，解得Z36kxkk+，即单调递增区间是,Z36kkk+；令2Z62xkk+=+，解得Z62kxk=+，即函数对称轴方程为Z62kxk=+，.（2）当0,2x时，72,666x+，则1sin 2,162x+，即()1,2f x ，又()()g xaf xb=+的最大值为 5，最小值为1，则0521aabab+=+=或0125aabab+=+=，解得23ab=或21ab=.21近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMvvm=计算火箭的最大速度 v（单位
33、：m/s）.其中0v（单位 m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知 A型火箭的喷流相对速度为 2000m/s.试卷第 11 页，共 13 页 参考数据：0.5ln2305.4,1.648e1.649.(1)当总质比为 230 时，利用给出的参考数据求 A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 1.5 倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加 500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？【答案】(1)10800m/s，(2)4
34、5【详解】（1）当总质比为 230 时，2000ln2302000 5.410800v=，即A型火箭的最大速度为10800m/s.（2）A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 1.5 倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2000 1.53000m/s=，总质比为3Mm，由题意得：3000ln2000ln5003MMmm0.50.5ln0.5e27e2727MMMmmm 因为0.51.648e1.649，所以0.544.49627e44.523，所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值为 45.22 若函数()fx满足()32f xfx=+且()R44fxfxx+=，则称函数()fx为“M函数”.(
35、1)试判断()4sin3xf x=是否为“M函数”，并说明理由；(2)函数()fx为“M函数”，且当,4x时，()sinf xx=，求()yf x=的解析式，并写出在30,2上的单调递增区间；(3)在（2）的条件下，当()3,N22kxk+时，关于x的方程()f xa=（a为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k，求()3S.【答案】(1)不是，理由见解析；(2)答案见解析；(3)()7,0220,0123230,2240,12aaaSaa=或(1)解：函数()4sin3xf x=不是为“M函数”，理由如下：因为44sinsin43433xfxx+=+=+，试卷第 12 页，共 13 页
36、44sinsin43433xfxx=，所以，()R44fxfxx+，因此，函数()4sin3xf x=不是为“M函数”.(2)解：函数()fx满足()32f xfx=+，所以，函数()fx为周期函数，且周期为32T=，因为()R44fxfxx+=，则()()R2f xfxx=.当()33,Z242kkxk+时，()3,Z24kxk，则()()33sinZ22kkf xfxxk=；当()33,Z2224kkxk+，则()3,Z22 4kxk ，则()3,Z224kxk，所以，()()333sincosZ22222kkkf xfxxxk=.综上所述，()()()333cos,Z22224333si
37、n,Z2242kkkxxkf xkkkxxk+=+，所以，函数()fx在30,2上的单调递增区间为,4 2、3,2.(3)解：由（2）可得函数()fx在,2上的图象如下图所示，下面考虑方程()f xa=在区间,2的根之和.当202a或1a=时，方程()f xa=有两个实数解，其和为2；当22a=时，方程()f xa=有三个实数解，其和为34；当212a时，方程()f xa=有四个实数解，其和为.当()3,N22kxk+时，关于x的方程()f xa=（a为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k，试卷第 13 页，共 13 页 所以，当0a=时，()()334123722S=+=；当202a或1a=时，()()33241 232042S=+=；当22a=时，()()33341 233042S=+=；当212a时，()()33441 234042S=+=.因此，()7,0220,0123230,2240,12aaaSaa=或.
